数学秋季教案八年级1三角形的边角关系

1、第一讲第一讲三角形的边角关系三角形的边角关系 教学内容教学内容 佳一动态数学思维秋季版，八年级第一讲“三角形的边角关系” 。 教学目标教学目标 知识技能知识技能： 1、使学生了解三角形边角关系；并了解三角形的高、中线、角平分线以及外角等概念及 性质。 2、使学生在学习三角形的过程中，进一步培养观察、比较、分析和抽象概括能力。 数学思考数学思考： 1、通过合作探索理解并掌握三角形边角关系的一些性质，培养学生抽象概括与观察类推 的能力。 2、以学生为课堂的主体，让学生以自主探究、合作交流、分析讨论、概括总结等来调动 其学习积极性和主动性。 问题解决：问题解决： 能从实际生活中发现有关三角形边角关系

2、的数学问题， 并利用所学的知识加以解决；体会 与他人合作交流的快乐。 情感态度情感态度： 在三角形问题的学习与解题中，锻炼学生的耐心、细心。增强学生运用知识解决问题和独 立克服困难的能力。树立学好数学的自信心。 教学重点和难点教学重点和难点: : 教学重点教学重点： 三角形边角的关系、三角形的重要线段以及三角形的各角的关系 教学难点教学难点： 三角形的重要线段的掌握 教学准备教学准备: : 动画多媒体语言课件 第一课时第一课时 教学过程：教学过程： 教学路径学生活动方案说明 一、课前谈话：一、课前谈话： 运 用 生 活 的 实 际 问 题 来 激 起 学 习 的 兴 趣 师：同学们，欢迎大家来

3、到佳一的数学课堂，我是你 们的新老师， 我姓王， 大家以后可以称呼我为王老师。 经过这一个暑期的调整， 今天我们就来开始学习这学 期所要学习的新的知识，三角形大家都非常的熟悉， 那么今天我们就来研究一下三角形的边角之间存在 什么样的关系。学生相互探讨 (课件出示)小颖的妈妈是富士康的一名工程师， 设计 了一个零件的形状如图，按规定BAC=90， B=21，C=20，检查工人量得BDC=130，就 断定这个零件不合格， 你能运用所学的知识说出其中 的道理吗？ 小颖： （头像）作射线 AD，如图（1）所示， 因为1=3+C，2=4+B， 所以1+2=3+C+4+B =（3+4）+C+B=BAC+B

4、+C. 所以1+2=90+21+20=131， 即BDC=131 由于零件中BDC=130，故可以断定这个零件不合 格。 小萍： （头像）延长 CD 交 AB 于 E，如图（2）所示， 因为1=C+A，CDB=1+B， 所以BDC=C+A+B=20+90+21=131。 由于零件中BDC=130，故可以断定这个零件不合 格。 二、自主探究，合作交流二、自主探究，合作交流 在我们开始今天的课程之前， 我们先来回顾一下以前 所学习的内容： 1、三角形的概念 定义：由_直线上的三条线段首尾顺次相接所 组成的图形叫做三角形。 2、三角形的分类 按角分： 锐角三角形 三角形直角三角形 钝角三角形 一起回

5、顾已学基 本概念 按边分： 不等边三角形 三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形等边三角形 3、三角形的重要线段 在三角形中，最重要的三种线段是三角形的中线、三 角形的角平分线、三角形的高。 部。 （2） 三角形的三条角平分线的交点在三角形的 _部。 （3）_三角形的三条高的交点在三角形的内 说明： （1）三角形的三条中线的交点在三角形的_ 部； _三角形的三条高的交点是直角顶点； _ 三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部。 4、三角形三边的关系 定理：三角形任意两边的和_第三边； 推论：三角形任意两边的差_第三边； 以判断三条线段能否组成三角形， 也可以检验较小的 两边的和是否大

6、于第三边。 5、三角形各角的关系 定理：三角形的内角和是_度； 推论： （1）当有一个角是 90时，其余的两个角的 和为 90； （2）三角形的任意一个外角_和它不相邻的两 个内角的和。 （3）三角形的任意一个外角_任意一个和它不 相邻的内角。 说明：运用“三角形中任意两边的和大于第三边”可 说明：任一三角形中，最多有三个锐角，最少有两个 锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角。 那么回顾完这些基本的知识， 我们就来开始今天的课 程吧！ 探究类型之一三角形的计数 B、C、D 及 A、E、C 分别在同一条直线上，那么以这 五个点中的三个点为顶点的三角形有（） A、4 个 B、6 个 C、8 个 D

7、、10 个 例 1如图，平面上有 A、B、C、D、E 五个点，其中 找学生读题，看看能得到哪些有用的信息。 小组交流讨论，老师巡视， 找学生老说一下自己的做法。 课件出示解析： 动画：连接 AB、AD、BE、DE。 课件出示答案： C。 师小结：分类讨论是三角形的计数中常见的思路方 法。 解决完这个题目，我们来看看类似性问题 1. 类似性问题 1、已知ABC 是直角三角形，且BAC=30，直线 自己独立完成 EF 与ABC 的两边 AC，AB 分别交于点 M，N，那么 CME+BNF=（） A、150 B、180 C、135 D、不能确定 课件出示解析： 因为A=30，所以NMA+MNA=18

8、0-30=150， 所以CME+BNF=NMA+MNA=150.故选 A. 探究类型值二三角形的三边关系 例 2边长为整数，周长为 20 的等腰三角形的个数 是。 师：三角形的周长等于三边的长，所以周长固定，那 分类讨论 么能做成三角形的组合有哪几种呢？ 生： 分小组讨论一下，然后完成本题。 课件出示解析： 根据三角形的周长及三角形的三边关系建立不等式 和方程，求出其中一边长的范围，再求其正整数解. 课件出示答案： 解： 设三角形三边分别为a、 b、 c且abc， a+b+c=20， 则 a7，又由 b+ca，得 a10，因此7 a 9，可求 （9，6，5） ， （8，8，4） ， （8，7，

9、5） ， （8，6，6） ， （7，7，6） ，其中等腰三角形有（9，9，2） ， （8，8， 4） ， （8，6，6） ， （7，7，6） ，所以填 4. 师小结： 出（a，b，c）为（ 9，9，2） ， （9，8，3） ， （9，7，4） ， 利用已知的等量关系及三角形的三边关系， 建立不等 式与方程，进而组成不等式与方程的混合组，求其正 整数解. 现在大家再来检验一下自己的所学： 类似性问题 2、现有 3 cm，4 cm，7 cm，9 cm 长的 四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以 组成的三角形的个数是（） 。 A.1 B.2 C.3 D.4 找学生读题，独立完成本题，最后老

10、师来讲解一下。 小组讨论 师：解决完这两类简单的问题，下面我们来研究一下 三角形的内角和定理。 探究类型之三三角形的内角和定理 例 3 已知三角形三个内角的度数之比是 x：y：z，且 x+ yz，则这个三角形是（） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形 师：找学生读题，根据三角形的内角和定理和题目当 中的条件我们只能得到哪些信息呢？ 生： 师：根据 x+ y90，故这个三角形是钝角三角形。故选 C。 师小结： 利用三角形内角和为 180建立等量关系是常用的解 题方法。 x，y，z，则x+y+z=180，又x+yz，即180-zz， 探究多种解法 例 4如图（1） ，有

11、一个五角星形 ABCDE 图案， （1） 你能说明A+B+C+D+E=180吗？ （下一步出示：（下一步出示： ） （2）当 A 点向下移动到 BE 上如图 （2），上述结论是否仍然成立？（3）当 A 点移到 BE 的另一侧如图（3），上述结论是否仍然成立？ 请说明理由。 师：从题目中你能发现那些信息呢？你有什么思路 吗？ 学生先独立思考，找学生说一下自己的想法。 下自己的思路和方法，最后老师讲解一下。 课件出示解析： （1）连接 CD，设 BD 与 EC 相交于 F，分别在ACD 及BEF、CDF 中运用三角形内角和定理. 课件出示答案： （1）解：设 BD 与 CE 相交于 F 点 在BE

12、F 中， B+E+1=180 又A+C=2 有1=2+D=A+C+D 所以 A+B+C+D +E=180 第二种解法（课件不出示） ： 解： （1）以题图（1）为例，说明如下： 如图，连接 CD，设 BD 与 EC 相交于 F，在BEF 中， B+E+3=180 在CDF 中，1+2+4=180， 所以B+E+3=1+2+4 所以B+E=1+2 在ACD 中，A+ACD+ADF=180， 即A+ACF+1+ADF+2=180， 根据学生汇报情况分小组来讨论， 然后找学生来说一 所以A+ACF+ADF+B+E=180 下一步（下一步（2 2） （3 3） ： 师带领大家根据 （1） 的解答方法独

13、立完成 （2） 和 （3） 的探索。 师小结： 在解决新问题时，往往将其转化为比较熟悉的问题， 再加以解决.（2）本例中出现的“对顶三角形” （如 图） ，有如下结论：1+23+4. 类似性问题 4 如图，BDC=98，C=38，B=23，A 的度 数是（） A、61 B、60 C、37 D、39 解析：解析：连接 AD 并延长，可证明BDC=A+ B+C,所以A=98-38-23=98-61=37. 故选 C. 学生自主完成本题。 三、课堂小结三、课堂小结 通过这节课的学习，我相信大家都有了不小的收获， 下节课我们继续来学习有关三角形的知识。 第二课时第二课时 教学过程：教学过程： 教学路径

14、学生活动方案说明 一、课前谈话一、课前谈话 通过上节课的学习我们学习了三角形的计数和三角形 三边关系等知识， 现在我们继续来学习三角形的外角的 性质。 二、自主探究、合作交流二、自主探究、合作交流 探究类型之四三角形的外角和 例 5如图 3-7，ABC 中，A、B、C 的外角分 别记为，若：=3：4： 5，则A：B：C =（） A、3：2：1B、1：2：3 C、3：4：5D、5：4：3 独立完成 找学生读题，然后分小组来讨论，老师巡视，帮助有困 难的学生，最后找学生来说一下自己的思路和方法。 课件出示解析： 设=3x,=4x,=5x,根据三角形的外角和等于 360列方程，再求A、B、C. 课件

15、出示答案： 解：设=3x，=4x，=5x，则 3x+4x+5x=360 解得 x=30 即：=90，=120，=150， 所以A=180-=180-90=90， B=180-=180-120=60， C=180-=180-150=30 所以A：B：C=90：60：30=3：2：1 师小结： （1）三角形的外角和等于 360； （2）方程思想是解决几何计算的常用方法. 类似性问题 5、 将一副直角三角板如图 3-11 放置， 使含 30角的三 角板的短直角边和含 45角的三角板的一条直角边重 合，则1 的度数为（） 分类探讨 学生分小组来解决这道题目， 老师给予适当的指导， 最 后来讲解一下。

16、课件出示解析： 145+3075. 类似性问题 6、如图 3-12 所示，求A+B+C+D+E+F 的度 数。 分小组讨论， 老师给予适当的指导， 最后老师对本题进 行讲解。 课件出示解析： 设 BE、CF、AD 相互交于 G、H、K. 因为在AFK 中，A+F+4=180, 在BCG 中，B+C+5=180, 在EDH 中，D+E+6=180, 所以A+F+4+B+C+5+D+E+ 6=1803540. 又因为1+3+2180，14，25， 36， 所以A+F+B+C+D+E=360. 探究类型之五三角形与平行线的综合运用 例 6如图，直线 ACBD，连接 AB，直线 AC,BD 及线 段

17、AB 把平面分成、四部分，规定：线上 各点不属于任何部分。 当动点 P 落在某个部分时，连接 PA,PB，构成PAC，APB，PBD 三个角。 （提示：有 公共端点的两条重合的射线所组成的角是 0角。 ） （1） 当动点 P 落在第部分时， 求证： APB=PAC+ PBD； （2） 当动点 P 落在第部分时， APB=PAC+PBD 是否成立（直接回答成立或不成立）？ （3） 当动点 P 在第部分时， 全面探究PAC， APB， PBD 之间的关系，并写出动点 P 的具体位置和相应的 结论。选择其中一种结论加以证明。 课件出示解析： （1）延长 BP 交 AC 于点 E，运用平行线的性质和三

18、角 形内角和定理及推论； 课件出示答案: （1）解法一：如图（1） ，延长 BP 交直线 AC 于点 E。 ACBD，PEA=PBD APB=PAE+PEA APB=PAC+PBD 解法二：如图（2） ，过点 P 作 FPAC， PAC=APF， ACBD， FPBD FPB=PBD APB=APF+FPB=PAC+PBD （2） 课件出示解析： 动画画图 课件出示答案: 由观察可知：不成立 （3） 课件出示解析: 运用平行线的性质或三角形内角和定理的推论解决. （a）当动点 P 在射线 BA 的右侧时，结论是PBD= PAC+APB （证明）按钮：如图（3） ，连接 PA、PB，设 PB 交

19、 AC 于 M， ACBD，PMC=PBD。 又 PMC=PAM+APM， PBD=PAC+APB （b）当动点 P 在射线 BA 上时，结论是PBD=PAC+ APB 或PAC=PBD+APB 或APB=0，PAC= PBD（任写一个即可） 。 （证明）按钮（证明）按钮：证明：如图（4） 点 P 在射线 BA 上，APB=0 ACBD， PBD=PAC， PBD=PAC+APB 或PAC=PBD+APB 或APB=0，PAC=PBD。 （c）当动点 P 在射线 BA 的左侧时，结论是PAC= APB+PBD。 （证明）按钮证明）按钮：证明： 如图（5） ，连接 PA、PB，设 PB 交 AC

20、 于 F， ACBD ，PFC=PBD， PAC=APF+PFA， PAC=APB+PBD。 师小结： 解此类探索性命题的关键是由图形提供的信息，探索、 猜想、归纳出点在不同位置上有关角之间的变化规律. 类似性问题 3： 如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC 纸片，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，将ABC 沿着 DE 折叠压平， A 与 A重合，若A=75，则1+2=（） A.150 B.210 C.105 D.75 学生独立完成本题，师找学生讲解。 三、课堂总结三、课堂总结 通过今天这节课的学习， 我们对三角形的有关性质有了 初步的了解和掌握， 希望在以后的学习中能继续和老师 一起

21、学习，一起探讨。 教后反思： 本讲教材及练习册答案：本讲教材及练习册答案： 教材：教材： 例题：例题： 略 类似性问题：类似性问题： 1. A 解析：因为A=30，所以NMA+MNA=180-A=150，所以CME+BNF=NMA+ MNA=150.故选 A. 2.B 3.A 解析：ADE 是由ABC 沿 DE 翻折变换而成， AED=AED，ADE=ADE，A=A=75， AED+ADE=AED+ADE=180-75=105， 1+2=360-2105=150故选 A 4. C 解析：连接 AD 并延长，可证明BDC=BAC+B+C,所以BAC=98-38-23=37. 故选 C. 5. 75解析：145+3075. 6. 解析：设 BE，CF，AD 相互交于 G，H，K，如图所示，分别在图中的四个三角形中运用内角 和定理，再运用对顶角转换. 第 6 题答图解：设 BE，CF，AD 相互交于 G，H，K. 因为在AFK 中，A+F+4=180, 在BCG 中，B+C+5=180, 在EDH 中，D+E+6=180, 所以A+F+4+B+C+5+D+E+6=1803540.又因为1+3+2180， 14，2