数学高考复习名师教案：第13课时：第二章函数反函数

1、第第 1313 课时：第二章课时：第二章函数反函数函数反函数 一课题：反函数 二教学目标：理解反函数的意义，会求一些函数的反函数；掌握互为反函数的 函数图象间的关系，会利用y f (x)与y f 些问题 三教学重点：反函数的求法，反函数与原函数的关系 四教学过程： （一）主要知识： 1反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数； 2反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若y f (x)与 y f1(x)互为反函数， 1(x)的性质解决一 函 数y f (x)的 定 义 域 为A、 值 域 为B， 则f f1(x) x(xB)， f1 f (x) x(x A)；

2、 3互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y x对称 （二）主要方法： 1求反函数的一般方法： （1）由y f (x)解出x f1(y)，（2）将x f1(y)中 的x, y互换位置，得y f1(x)，（3）求y f (x)的值域得y f1(x)的定义域 （三）例题分析： 例 1求下列函数的反函数： （1）f (x) x2 x(x 1)；（2）f (x) （3）y x33x23x1 11 解：（1）由y x2 x(x 1)得y2 (x)2(x 1)， 24 x21(0 x 1) x (1 x 0) 2 ； x 11 y2(y 0)， 24 11 所求函数的反函数为y x2(x 0

3、) 24 （2）当0 x 1时，得x y1(1 y 0)，当1 x 0时， 得x y(0 y 1)， x1(1 x 0) 所求函数的反函数为y x(0 x 1) （3）由y x33x23x1得y (x1)32，x 13y2(yR)， 所求反函数为f1(x) 13x2(xR) 例 2函数y 解：由y 1ax1 (x ,xR)的图象关于y x对称，求a的值 1axa 1 y1ax1 (y 1)，(x ,xR)得x a(y 1)1axa 1 x (x 1)， a(x1) 1 x1ax ，a 1 a(x1)1ax f1(x) 由题知：f (x) f1(x)， 例 3若(2,1)既在f (x) mx n

4、的图象上，又在它反函数图象上，求m,n的值 解：(2,1)既在f (x) mx n的图象上，又在它反函数图象上， f (1) 2 m 3 mn 2 ， f (2) 1n 7 2mn 1 例 4（高考A计划考点 12“智能训练第 5 题”）设函数f (x) 函数g(x)与y f1(x1)的图象关于y x对称，求g(2)的值 解法一：由y g(x)与y 1 2x ，又 1 x 1 y12x1 xx 得x ，f1(x) ，f1(x1)， y21 xx2x3 xx 互为反函数，由2 ，得g(2) 2 x3x3 解法二：由y f1(x1)得x f (y)1，g(x) f (x)1， g(2) f (2)

5、 1 2 例 5已知函数y f (x)（定义域为A、值域为B）有反函数y f1(x)，则方程 f (x) 0有 解x a， 且f (x) x(x A)的 充 要 条 件 是y f1(x)满 足 f1(x) x(xB)且f1(0) a a2x1 (aR)，例 6 （ 高考A计划 考点 12“智能训练第 15 题” ）已知f (x) x2 1 是R上的奇函数 （1） 求a的值， （2） 求f (x)的反函数， （3） 对任意的k(0,) 解不等式f1(x) log 2 1 x k 解：（1）由题知f (0) 0，得a 1，此时 2x12x12x112x f (x) f (x) x 0， 2 12x

6、12x112x 即f (x)为奇函数 2x121 y (1 y 1)，1 x （2）y x ，得2x 1 y2 12 1 f1(x) log 2 1 x (1 x 1) 1 x 1 x 1 x x 1k1 x （3）f1(x) log 2 ， 1 x ，k， k1 x 1 1 x 1 当0 k 2时，原不等式的解集x|1k x 1， 当k 2时，原不等式的解集x|1 x 1 （四）巩固练习： 1设f (x) x 21(0 x 1) 1 5 ，则f( ) 42x(1 x 0) 2 设a 0,a 1， 函数y log a x的反函数和y log 1 x的反函数的图象关于( ) a (A)x轴对称(B)y轴对称(C)y x轴对称(D)原点 对称 1 3已知函数f (x) ( )x1，则f1(x)的图象只可能是（） 2 y