新人教版八年级数学第13章实数教案

1、第 1 课时 平方根（1） 教学 目标 教学重点 教学难点 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方 根的非负性。 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。 算术平方根的概念。 根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。 教学互动设计 一、创设情境导入新课 【问题【问题 1 1】 学校要举行金秋美术作品比赛， 小 欧很高兴， 他想裁出一块面积为 25dm的正方形 画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方 形画布的边长应取多少dm？若面积是 1、 9、 16、 36、 2 设计意图 从现实生活中提出数 学问题，使学生积极 主动地投

2、入到数学活 动中去，同时为学习 算术平方根提供背景 和生活素材 4 时，边长又是多少呢？ 25 学生独立思考回答问题 二、合作交流解读探究 在求正方形边长的活 动中，从学生已有求 教师倾听学生的解题过程，并对学生的回答总结如下： 2 一个数平方的经验出 因为 5 =25，所以正方形画布的边长是5 dm 发，求平方数的算术 4 在此基础上，学生独立求出面积为1、9、16、36、的正方形 平方根根据平方与 25 开方互逆运算的关 2 的边长为 1、3、4、6、 系，建立新旧知识之 5 间的联系，为引入一 这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题？ 种新的运算作好铺 【问题【问题 2 2

3、】已知一个数的平方，怎样求出这个数呢？ 垫 【知识储备】【知识储备】 1、什么样的运算是平方运算？ 在会求一个平方数算 2、你还记得 120 之间整数的平方吗？ 术平方根的基础上， 【自主探究】【自主探究】学生清理思路，阐述观点 给出算术平方根的定 教师对学生的回答做出总结：已知一个正数的平方，求这个正数已知一个正数的平方，求这个正数 义，有利于学生对概 的思想方法是平方运算的逆运算的思想方法是平方运算的逆运算在此基础上教师给出算术平方根的 念的理解和把握 有关概念及规定让学生用自己的语言 2 【总结】【总结】一般地，如果一个正数x 的平方等于 a，即x=a，那么 有条理地、清晰地阐 述自己求

4、算术平方根 这个正数 x 叫做 a 的算术平方根算术平方根a 的算术平方根记为 a，读作“根 的方法，提高语言表 号 a” ，a 叫做被开方数 根号达能力 被开方数 a 规定：0 0 的算术平方根是的算术平方根是 0.0. 让学生知道 a是一 2 【思考】【思考】卓玛认为，因为(4) 16，所以 16 的算术平方根是 4.你认为卓玛的看法对吗？为什么？ a表示的是正数、负数、非正数还是非负数？ 种非负数的常见的表 现形式。 三、应用迁移巩固提高 【例【例 1 1】求下列各数的算术平方根学生在了解算术平方 根及有关概念的基础 491 1000.000102 上，通过对例题的研 644 究，进一步

5、巩固算术 【教师关注】 平方根的概念，了解 （1）学生是否能正确地利用平方与开方互为逆运算的方法，求一 本节课的重点 个数的算术平方根； （2）学生对算术平方根概念的了解程度； （3）学生在活动中的参与意识，及发表个人见解的勇气 教师展示例题，学生独立思考，动手完成，教师规范学生的语言叙 述和书写，以第（1）题为例： 因为 102=100，所以 100 的算术平方根是 10，即 100 =10 让学生知道负数没有负数没有 【思考】【思考】4 4 有算术平方根吗？有算术平方根吗？ 算术平方根算术平方根。 【例【例 2 2】 1、非负数a的算术平方根表示为_，225 的算术平方根是_， 通过例 2

6、 的教学，将 0 的算术平方根是_ 学生对知识的理解转 16121 化为数学技能，给学 _, _ 2、 81 _, 2581 生获得成功体验的过 程，激发学生的积极 3、 16的算术平方根是_,0.64的算术平方根_ 性，建立学好数学的 4、若x是 49 的算术平方根，则x=【】 自信心 A. 7 B. 7 C. 49 D.49 5、若 x4 7，则x的算术平方根是【 】 A. 49 B. 53 C.7 D 53 x2 6、要使代数式有意义，则x的取值范围是【】 3 A.x 2 B.x 2 C.x 2 D.x 2 7、一个自然数的算术平方根为a，那么与这个自然数相邻的下一 个自然数的算术平方根

7、是_。 2 【例【例 3 3】若x1 y3 x y z 0，求 x、y、z 值。 让学生进一步认识常 见的非负数的表现形 式，并用非负数的概 念解题，使得新旧知 识结合。 【练习】【练习】课本69练习 四、总结反思拓展升华 1、算术平方根的定义和性质； 2、正确地利用平方与开方互为逆运算的方法，求一个数的算术平方根。 五、课堂作业 P75 1 2 11 教学理念/反思 第 2 课时 平方根（2） 教学 目标 教学重点 教学难点 1、会用计算器求一个数的算术平方根；理解被开方数扩大（或缩小）与它 的算术平方根扩大（或缩小）的规律. 2、能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值. 3、体验“无限不循

8、环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数。 夹值法及估计一个（无理）数的大小。 夹值法及估计一个（无理）数的大小的思想。 教学互动设计 一、创设情境导入新课 【问题【问题 1 1】 怎样用两个面积为 1 的正方形拼成一个面积为2 的大正 方形？它的边长 a 是多少？ 二、合作交流解读探究 教师提出问题，学生以小组为单位，动手拼剪，教师深入小组参与 活动，帮助指导学生完成拼图活动 方法 1、如上图，把两个小正方形沿对角剪开，将所得的四个直角 形拼在一起，就的到一个面积为2 的大正方形。 设大正方形的边长为x，则x 2 由算术平方根的意义，x 即大正方形的边长为 2 方法 2、如右图， 【

9、问题【问题 2 2】大正方形的边长是 2，表示 2 的算术平方根，它到底 是个多大的数？你能求出它的值吗？ 学生在独立思考的基础上，再次分组活动 教师深入小组参与活动， 倾听学生的交流， 对学生的探究过程进行 指导和帮助 引导对学生的探究结果进行总结和交流，在此基础上教师明确： 2 设计意图 创设设问题情境， 激发学生兴趣。 教师提出问题，学 生以小组为单位， 动手拼剪，教师深 入小组参与活动， 帮助指导学生完 成拼图活动 通过拼图活动得 到与有理数不同 的另一类数 无理数，以 2为 例子通过形的研 究来感受无理数 的存在 通过拼图活动，调 动学生思维的积 极性，为学生提供 从事数学活动的 机

10、会，建立初步的 空间观念，发展形 象思维 在探究活动中发 挥计算器的作用， 加强培养学生的 估算能力，渗透估 算的思想和方法， 感受两个方向无 限逼近的数学思 想，发展了学生的 抽象思维 2 2是无限不循环小数，许多正有理数的算术平方根都是无限不循 环小数，如 3、5、6、7等 【教师关注】 （1）探究 2大小的活动中，学生怎样初步估计2接近哪一个 数； （2）怎样利用无限逼近的方法将 2的位数不断增加； （3）在与学生沟通的过程中及时发现学生探究过程中的困难，给 予及时指导； （4） 学生能否用自己的语言来谈出对 2探究过程中采用的方法； （5）学生能否对 2的无限及不循环有所体会； （6）

11、能否感受到 2与我们以前接触的数都不一样 【问题【问题 3 3】 你对正数 a 的算术平方根 a的结果有怎样的认识呢？ 让学生对带有根 号的数能进行分 a的结果有两种情：当 a 是完全平方数时，a是一个有限数； 类。 当 a 不是一个完全平方数时， a是一个无限不循环小数。 三、应用迁移巩固提高 【例【例 1 1】用计算器求下列各式的值： 通过用计算器求 算术平方根，使学 （1） 3136（2）2（精确到 0.001） 生进一步体会无 学生独立思考，动手完成 限不循环小数的 注意计算器的用法，指出计算器上显示的也只是近似值，但我们 现实性和存在性， 可以利用计算器方便地求出一个正数的算术平方根

12、的近似值 发展数感 2【例【例 2 2】 (1)用一块面积为 400cm 的正方形纸片,沿着边的方向剪 2出一块面积为 300cm 的长方形纸片,你会怎样剪? 培养学生运用所 (2)若用上述正方形纸片剪出面积为 300cm2的长方形纸片,且其长 学知识解决实际 宽之比为 3:2,你又怎样剪?根据你的剪法回答:只要利用面积大的纸 问题的意识和能 片一定能剪出面积小的纸片吗? 力 2解:(1)面积为 400cm 的正方形纸片的边长为 20cm,沿着边的方向 剪出一刀,使长方形纸片的面积为300cm2,则其宽为 30020=15cm,于 是只要剪掉 5cm 宽的长方形纸片即可. (2)若用上述正方形

13、纸片剪出面积为 300cm2的长方形纸片,且其长 宽之比为 3:2,则可设其两边为 3x 和 2x,则有 3x2x=300,6x2=300 x2=50,x= 50,故长方形纸片的长为 3 50cm,宽为 250cm,而 3 5037=21cm,21cm 比原正方形的边长 20cm 更长,这是不可能的. 通过上述两例发现利用面积大的纸片不一定能剪出面积小的纸 片. 【练习】【练习】课本72练习 四、总结反思拓展升华 1、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值. 2、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？ 五、课堂作业 P75 5、6、9、10 教学理念/反

14、思 第 3 课时 平方根（3） 教学 目标 教学重点 教学难点 1、掌握平方根的概念和表示方法和开平方的概念； 2、理解平方根的性质； 3、知道平方和开平方互为逆运算； 平方根的概念和求数的平方根。 平方根和算术平方根的区别和联系。 教学互动设计 一、创设情境导入新课 【问题】 1、的平方是 49。 2、平方得 81 的数有个，分别是。 3、一对互为相反数的平方是数。 4、填表： x2 x 设计意图 由问题是引 入平方根的 概念 1163649 9 -100 81 通过练习使 学生明白平 方根可以从 平方运算中 求得，并能 规范地表述 一个数的平 方根这个 例题也为后 面探讨平方 根的特征做

15、好准备 二、合作交流解读探究 学生完成练习，师生共同归纳： 如果一个数的平方等于a， 那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根， 用 2 符号表示为：若x a,则x a；其中正数a 的正的平方根（即算术平方 根）用 a表示，正数 a 的负的平方根用-a表示。 只有非负数才有平方根； 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 例如：3 的平方等于 9，9 的平方根是3，所以平方与开平方互为逆运 算根据这种运算关系，可以求一个数的平方根。 【练一练】求下列数的平方根 100 9 0.2516 0 16 【总结归纳】 1、正数有两个平方根，它们互为相反数 2、0 的平方根是 0 3、任何数的平方都是正数

16、，所以负数没有平方根，所以 a中的被开方 数 a 必须是非负数， a才有意义。 【讨论】平方根与算术平方根之间有什么关系？ 【总结】 1、平方根与算术平方根之间的区别 定义不同：如果x a，那么x叫做a的平方根。一个正数有两个平 方根，它们互为相反数；0 有一个平方根，是 0 本身；负数没有平方根。 如果x a，并且x 0，那么x叫做a的算术平方根。一个正数的算术 平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数。 表示方法不同：正数a的平方根表示为 a；正数a的算术平方根为 2 2 a。 平方根等于本身的数是0；算术平方根等于本身的数是0 或 1 2、平方根与算术平方根之间的联系 二者有着包含

17、关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根 中的非负的那一个 存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根 0 的平方根和 0 的算术平方根都是 0 三、应用迁移巩固提高 【例【例 1 1】下列各数有平方根？如果有，求出它的平方根，如果没有，说 明理由。 64、0， 4，10 如果有要用平方根的符号来表示。 【例【例 2 2】求下列各式的值： 2 2 （1） 144 ， （2） 0.81， （3） 121 196 （4） 562，56 2 熟练应用平 方 根 的 概 念，计算有 关 算 式 的 值，是本课 的 主 要 内 容。 【例【例 3 3】当 x 为何值时，下列各式有意义？ 2x 2

18、x x 1 1 x 【例【例 4 4】求下列各数中的x值 x 25x 81 04x 4925x 36 0 【练习】【练习】课本75练习 四、总结反思拓展升华 1、什么叫做一个数的平方根？ 2、正数、0、负数的平方根有什么规律？ 3、怎样求出一个数的平方根？数a 的平方怎样表示？ 五、课堂作业 P75 3 4 7 8 12 教学理念/反思 2222 x 1 x2 本课主要是在算术平方根的基础上建立平方根的概念， 要以等式x2=a和已有 算术平方根概念为基础，并使学生明确平方根与算术平方根之间的联系与区别， 明确开平方与平方之间的互逆关系，把握了这些平方根的有关概念，正数、零、 负数的平方根的规律

19、也就不难掌握了有关求算式的值的问题，一定要使学生体 会到这个算式所表示的具体意义，这样才能使学生在本质上掌握其求法 第 4 课时 立方根 教学 目标 教学重点 教学难点 1、了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根. 2、了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根. 3、让学生体会一个数的立方根的惟一性. 了解立方根的概念，用立方运算求某些数的立方根；会用计算器求某些数的 立方根. 明确平方根与立方根的区别，能熟练地求某些数的立方根. 教学互动设计设计意图 通过实际情 境引入，让 学生感受新 知学习的必 要性，激发 学生的求知 欲望 一、创设情境导入新课 【问题】要制作

20、一种容积为27 m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱 的边长应该是多少？ 设这种包装箱的边长为 x m,则 x3=27 这就是求一个数，使它的立方等于 27. 因为 33=27，所以 x=3.即这种包装箱的边长应为3 m. 二、合作交流解读探究 【归纳】 如果一个数的立方等于 a，这个数叫做 a 的立方根（也叫做三 次方根） ，这就是说，如果 x3=a，那么x叫做 a 的立方根。 33 =273 是 27 的立方根 求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。 【探究】根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么 特点？ 通过亲自运 3 因为2 8，所以 8 的立方根

21、是（2） 算、探究学 3 因为0.5 0.125，所以 0.125 的立方根是（0.5 ） 习立方运算 3 因为0 0，所以 8 的立方根是（ 0）的逆运算， 3 培养了学生 因为2 8，所以 8 的立方根是（2 ） 的 探 究 能 【总结归纳】 力，初步掌 正数的立方根是正数，0 立方根是 0，负数的立方根是负数。 握立方根的 一个数a的立方根， 记作 3a，读作： “三次根号a” ，其中a叫被开方数， 概念 3 3 叫根指数，不能省略，若省略表示平方。例如： 27表示 27 的立方根， 33327 3；27 表示27的立方根， 27 3。 【探究】 3333 因为 8 _, 8 _,所以8

22、 = 8 因为 327 _,327 _，所以327 = 327 利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这 种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对 值的立方根，再取其相反数，即3a 3aa 0。 三、应用迁移巩固提高 【例【例 1 1】求下列各数的立方根 8 【例【例 2 2】计算 眼于弄清立 方 根 的 概 念，因此这 里不仅用立 方的方法求 273 6 125819103 648 1027 364 3125 32 3 30.064且书写上采 2764 用了语言叙 【例【例 3 3】解方程 x3=0.1253(x-4)3-1536=0 分析：

23、我们已经学习了立方根， 也能由立方根的定义求解x3=a （a 为常数） 这一类型简单的三次方程。第小题，我们要把（ x-4）看成一个整体，依然 转化成为 x3=a 的形式，再由立方根定义去求解。 【例【例 4 4】利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么吗？你 能说说其中的道理吗？ 3 30.000216 0.2163216 述和符号表 示互相补充 的做法，学 生在熟练以 后可以简化 写法 立方根，而 【练习】【练习】课本79练习 四、总结反思拓展升华 1了解立方根的概念，会用三次根号表示一个数的立方根，能用立方运算求一个数的 立方根 2在学习中应注意以下5 点： （1）符号 3a中

24、根指数“3” 不能省略； （2）对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有一个立方根； （3）平方根和立方根的区别：正数有两个平方根，但只有一个立方根；负数没有平 方根，但却有一个立方根； （4）灵活运用公式：x3=a，x= 3a （5）立方与开立方也互为逆运算我们也可以用立方运算求一个数的立方根，或检 验一个数是不是另一个数的立方根 五、课堂作业 P80习题 教学理念/反思 第 5 课时 实数（1） 教学 目标 教学重点 教学难点 了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的 大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。 实数的意义和实数的分类；实数的运

25、算法则及运算律。 体会数轴上的点与实数是一一对应的；准确地进行实数范围内的运算。 教学互动设计设计意图 学生利用 计算器将一些 有理数转化为 小数，与前几 节学过的无限 不循环小数作 对比，为给出 无理数概念做 准备 通过让学 生参与无理数 的概念的建立 和发现数系扩 充必要性的过 程，促进学生 对数学学习的 兴趣，培养学 生初步的发现 能力 通过对实数进 行分类，让学 生进一步领会 分 类 的 思 想培养学生 的 多 角 度 思 维，为他们以 后更好地学习 新 知 识 做 准 备同时也能 使学生加深对 无理数和实数 的理解 从学生已有的 知 识 水 平 出 发，找到数轴 上 2的位置， 体会

26、无理数是 一、创设情境导入新课 【问题】【问题】使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发 现？ 3 ， 3 5 479115 ， 81199 我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式， 即： 3 3.0 ， 347911 & ， 5 0.5 & ，1.2 0.6， 5.875， 0.81 581199 二、合作交流解读探究 【归纳】【归纳】 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 【观察】【观察】通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的平方根和立方根 都是无限不循环小数， 无限不循环小数又叫无

27、理数，3.14159265L也是 无理数。 【结论】【结论】 有理数和无理数统称为实数。 【试一试】【试一试】 把实数分类： 整数 有限小数或无限循环小数有理数 实数分数 无理数无限不循环小数 像有理数一样，无理数也有正负之分。例如 2，33，是正无理数， 2，33， 是负无理数。由于非0 有理数和无理数都有正负之分，所 以实数也可以这样分类： 正有理数 正实数 正无理数 实数 0 负有理数 负实数 负无理数 我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以 用数轴上的点来表示呢？ 【探究】【探究】如图 13.3-1 所示，直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右 滚动一周，圆

28、上的一点由原点到达点O，点 O的坐标是多少？ 从图中可以看出 OO的长时这个圆的周长，点O的坐标是，这样， 无理数可以用数轴上的点表示出来。 【结论】【结论】 1、事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来， 这就是说， 实实在在存在 的数 数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数 当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每 一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是 表示一个实数。 2、与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总 比左边的点表示的实数大。 【讨论】【讨论】当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值

29、的 意义同样适合于实数吗？ 让学生知道有 【结论】【结论】 理数中的相关 数a的相反数是a，这里a表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是 概念在实数中 本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。 同样适用。 三、应用迁移巩固提高 通 过对 实 【例【例 1 1】把下列各数分别填入相应的集合里： 数分类的练习 227 338,3,3.141, 2,0.1010010001L ,1.414,0.020202L , 7与巩固，加深 378 学生对各种数 正有理数 负有理数 的认识，加深 正无理数 负无理数 对实数概念的 理解 【例【例 2 2】求下列各数的相反数和绝对值： 2.5，

30、7， ，0， 3 2 ，3 5 【练习】【练习】课本86练习 12 四、总结反思拓展升华 这节课你有什么新发现？知道了哪些新知识？ 无理数的特征: 1圆周率及一些含有的数 2开不尽方的数 3无限不循环小数 注意:带根号的数不一定是无理数。 五、课堂作业 P86 1 2 3 教学理念/反思 第 6 课时 实数（2） 教学 目标 教学重点 教学难点 1、会按要求用近似有限小数代替无理数，再进行计算。 2、学会比较两个实数的大小；能熟练地进行实数运算。 实数的运算法则及运算律。 准确地进行实数范围内的运算。 教学互动设计设计意图 让学生回忆 有理数范围 内比较大小 的方法，体 会在实数范 围内这些比

31、 较两个数大 小的方法依 旧成立。 通过例题， 使学生掌握 比较两数大 小的方法。 鼓励学生多 举一些实际 例 子 来 验 证。其意义 一是为了避 免学生产生 片面认识， 以为从几个 例子就可以 得出普遍结 论，二让学 生了解结论 的重要性。 例 1 在运算 中遇到无理 数但并不需 要求出结果 的近似值。 一、创设情境导入新课 【问题【问题 1 1】 利用数轴，我们怎样比较两个有理数的大小？ 在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大。这个结论在实数范围内也 成立。 我们还有什么方法可以比较两个实数的大小吗？ 两个正实数的绝对值较大的值也较大；两个负实数的绝对值大的值反而 小；正数大于零，负数小于零，正数大于负数。 二、合作交流解读探究 【问题【问题 2 2】比较下列各组数里两个数的大小： （1） 2，1.4； （2）5，6； （3）2，33 分析：像例1（1） ，即可以将 2，14 的大小比较转化为2，1.96 的大小比较；也可以先求出 2的近似值，再通过比较它们近似值（取近似 值时，注意精确度要相同）的大小，从而比较它们的大小。 【问题【问题 3 3】在数从有理数扩充到实数后，我们已经学过哪些运算？ 答：加、减、乘、