新人教高中数学重要知识点及典型例题向量08年5月收集的教案

1、向向量量 一、知识结构一、知识结构 向量的三种表示 表示 三角形法则 向量加法与减法 平 面 向 量 平行四边形法则 二、重要知识及典型例题二、重要知识及典型例题 1 1、向量的相关概念、向量的相关概念 （1）向量：既有方向，又有大小的量叫做向量.用有向线段表示或小写字母a a、b b、c c表示. （2）向量的模：就是向量AB的长度(或称模)，记作AB.向量不能比较大小，但向量的模 可以比较大小. （3）零向量与单位向量：长度为 0 的向量称为零向量，用0表示.两个特征：一长度为 0；二是 方向不定.长度为 1 的向量称为单位向量. （4）平行向量（共线向量） ：方向相同或相反：方向相同或相

2、反的非零向量称为平行向量.规定：零向量与任一零向量与任一 向量都平行向量都平行. （5 5）相等向量：长度相等且方向相同）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量，若向量a与向量b相等，记作a=b. 2 2、向量的运算、向量的运算 （1）向量的加法：将两个向量的求和运算称为向量的加法 法则适用于“首尾相接”“首尾相接”的两向量之和，Y法则适用于“共起点”“共起点”的两向量之和. rrrrrrrrrr 交换律：ab ba结合律：(a b)c a (bc) 重要不等式：两个非零向量a与b：|a-b|a+ba+b （说明：a与b同向时取后“=” ；a与b异向时取前“=” ） 特别地：AB+BA=

3、0（AB与BA互为相反向量） 向量平行的充要条件 实数与向量的积 运算 向量的数量积 平面向量的基本定理 uuuu ruuuuruuuuruuuuuu ruuuu r 推广：多边形法则：A 1A2 A 2 A 3 A 3 A 4 L A n1An A 1An （2）向量的减法：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a-b=a+(-b) 法则： （同始连终，指向被减）（同始连终，指向被减）作平移，共起点；两尾连，指被减。 重要不等式：a-ba-ba+b （说明：a与b同向时取前“=” ；a与b异向时取后“=” ） 3 3、实数与向量的积、实数与向量的积 （1）实数与向量的积：实数与向量a的积

4、是一个向量，记a，它的长度与方向规定如下： a=a; 当0 时，a的方向与a的方向相同；当0 时，a的方向与a的方向相反；当 =0 时，a=0,方向是任意的. （2）运算律：设、为实数，那么： (a)=a；(+) a=a+a；(a+b)=a+b （3）共线定理共线定理：向量b与非零向量非零向量a共线是有且只有一个实数，使得b=a. 4 4、平面向量基本定理、平面向量基本定理 如果e1，e2，是同一平面内的两个不共线向量不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a， 有且只有一对实数有且只有一对实数1 1、2 2使：a=1e1+2e2（e1，e2叫做一组基底） 向量的加法、减法、实数与向量的积的混合

5、运算称为向量的线性运算，它们的结果仍为向量. 5 5、平面向量的坐标运算、平面向量的坐标运算 和与差：ab=(x1x2,y1y2) 如果 A(x1，y1)、B(x2,y2)，则AB=(x2 x 1, y2 y 1) 若a=(x,y),则a=(x,y) 如果a=(x1,y1), b=(x 2,y2)( b0)则abx 1 y 2 x 2 y 1 0 6 6、线段的定比分点：、线段的定比分点：点 P 分有向线段P 1P2 向量式：P 2 坐标式：(x x 1, y y1) (x 2 x, y 2 y) 1P =PP x 坐标公式： y x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x 2 x x

6、 132 (-1) 中点公式：重心： y 1 y 2 y yy y y 232 y 1 y 1 213 7 7、平面向量的数量积及运算律、平面向量的数量积及运算律 (1).概念 r r ab a,b ：a，b是两非零向量两非零向量，0180. . 两平面向量和的夹角 .两平面向是a和b的数量积(或内积)：数量数量ab=abcos 规定，零向量与任一向量的数量积均为规定，零向量与任一向量的数量积均为 0.0. ab=0 是ab或a，b中至少一个为0的充要条件 几何意义：向量a的模a与b在a的方向上投影bcos的乘积. .一个向量在另一向量方向上的投影：acos称为向量a在b的方向上的投影 （2）

7、性质：设a、b是两非零向量，e是单位向量，是a与e的夹角， ea=ae=acos； abab=0 a、b同向ab=ab;a,b反向ab=-ab; r r 22aa aaa 特别地= 或=aa. cos= a b a b (为a，b的夹角)；abab （3）.平面向量的数量积的运算律 交换律：ab=ba； 分配律：(a+b)c =ac+bc 数乘向量与数量积的结合律：(ab)=(a)b=a(b);(R) （4）两向量的数量积与两数之间的乘法的区别 当a0时，不能由ab=0，推出b=0，因b可能不为0，但可能与a垂直. 不满足消去律，即ab=bc a=c 不满足结合律，即a (bc)(ab)c，

8、8 8、平面向量数量积的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示 r r 22 ab x 1x2 y 1 y 2 ；向量的模：若a=(x,y),则a= x y 两点间距离公式：AB= AB = (x 2 x 1 )2(y 2 y 1 )2 x 1 x 2 y 1 y 2 x y 2 1 2 1 2 r r abab x 1x2 y 1 y 2 0；夹角：cos = x y 2 2 2 2 9 9、平移、平移 uuur （1）平移公式：P (x, y),P (x , y ),PP (h,k) 前 后 uuu r OP =OP+PP(平移向量公式) x x h x xh (平移的坐标公式)；变换公式 y

9、 y ky yk r a(h,k) （2）题型： f (x) 前 f (x) 后 ? f (x) 前 ? f (x) 后 r a(h,k) （一设二找三代四换） f (x) 前 f (x) 后（待定系数法、配凑法、逆推法） r a(h,k)? 1010、正弦定理、正弦定理余弦定理余弦定理 （1）正弦定理、三角形面积公式（在VABC中,R为外接圆半径） abc111 =2R；S=bcsinA=absinC=acsinB 222sin Asin BsinC 变形：a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC；sin A:sin B:sin C a:b:c sin A= abc ,sin

10、 B=,sinC=. 2R2R2R 应用：求角、边、判断三角形的形状（实现三角形中边角关系转化） （2）余弦定理 222222222 在ABC 中，有 a =b +c -2bccosA;b =c +a -2accosB；c =a +b -2abcosC； b2 c2 a2 a2 (bc)22bc(1cos A)；a2 (bc)2 2bc(1cos A)； 变形：；cos A= 2bc c a c b c a 2bccos A； 1 2cos A b bb 222 22 （3）正、余弦定理应用：求角、边、判断三角形的形状（实现三角形中边角关系转化） 注意：A+B+C=；0A，B，C；sin 三、

11、习题 1、平面向量a (x, y),b (x2, y2),c (1,1),d (2,2),若ac bd 1,则这样的向量a有（） A1 个B2 个C多个 2 个D不存在 A BCC =sin=cos；sin(A+B)=sinC 222 2向量a=（1，2） ，向量b与a共线，且|b|=4|a|，则b=（） A （4，8）B （4，8）或（4，8）C （4，8）D （8，4）或（4，8） 3设a,b,c是平面内任意的非零向量且相互不共线，给出下列命题中真命题是（） r r rrr r (ab)c (ca)b 0； rrrr a b ab； rrrrr 2 r 2 (3a2b)(3a2b) 9 a

12、 4 b rrr rrr r (bc)a (ca)b不与c垂直； A B C D （）4设向量a (cos23,cos67),b (cos53,cos37),则ab A 3 2 B 1 2 C 3 2 D 1 2 5给定两个向量a (1,2),b (x,1),若(a 2b)与(a 2b)平行，则 x 的值等于 （） A1B 1 2 C2D 1 3 （）6若AB 3e e，CD 5e e，且| AD| BC |，则四边形 ABCD 是 A平行四边形 2 B菱形C等腰梯形 2 D非等腰梯形 7已知关于 x 的方程x xcos AcosB 2sin C 0的两根之和等于两根之积的一半，则 2 ABC

13、 一定是（） A直角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形 8已知点 A（2，1） ，B（0，2） ，C（2，1） ，O（0，0）. 给出下面四个结论： 直线 OC 与直线 BA 平行； AB BC CA； OAOC OB； AC OB 2OA，其中正确结论的个数是 A1 个B2 个C3 个 （） D4 个 9. 已知| a a | = | b b | | = 2, a ab b = -2, 且(a a + b b)(a a + tb b), 则实数t的值为（ ） (A) 1 (B) 1 (C) 2 (D) 2 10已知向量 a=（2，3） ，b=(1,2)，且(a+b)(a-b)，则等于

14、( ) A 55 B.- C.-3 D.3 33 11给定两个向量a (3,4),b (2,1),若(a xb) (a b)，则 x 的等于（） A3B 3 2 C3D 3 2 uu ruu ruu r uu r 12已知空间向量a （1，0） ，b （2，k） ， a，b 60，则 k 的值为（） A2 3B2 3C2 3D 2 3 3 rrrrrr 13设向量a (1,2),b (1,1),c (3,2)，且c pa qb，则实数p,q的值为（） Ap 4,q 1Bp 1,q 4Cp 0,q 4Dp 1,q 4 14在ABC中，若A为钝角，则tanCtanB的值（） A大于0且小于1B等于

15、1 C大于1D不能确定 15已知向量 a a = (2,3) ,b b= (-1,2), ma a+nb b 与 a a-2b b 共线，则 . m 等于 ( ) n 11 B.2 C. - D.-2 22 16设 O 为坐标原点，OP (x, y),OB (1,1).若点 P 到 x 轴、y 轴的距离之和既不大于 2，又 不小于 1，则| BP|的取值范围是 0, 10 . 17已知非零向量a、b满足2a b a b，则a与b夹角的大小为 60 18 向量 a a、b b 满足（a ab b） （2a+ba+b）=4，且|a a|=2，|b b|=4，则 a a 与 b b 夹角的余弦值等于

16、_ 1 _. 2 19设a,b为非零向量，下列命题中： |a b|=|a b|a与b有相等的模；|a b|=|a|+|b|a与b的方向相同； | a |+| b | a b | a与b 的 夹 角 为 锐 角 ； | a b |=| a | |b|a |b|且a与b方向相反. 其中真命题的序号是（将所有真命题的序号都填上） 。 20若点 P 分有向线段P 1P2 的比为 22 1 ，则点 P1分有向线段PP 2 所成的比为1 . 2 21 已知a ( 3,1),b (1, 3 )， 且存在实数k和 t， 使得x a(t 23)b，y katb且x y， k t27 则的最小值是. t4 22已

17、知向量m (1,1),向量n与向量m夹角为 ，且mn 1. （1）求向量n； （2）若向量n与向量q=（1，0）的夹角为 3 4 2 ,向量p (cos A,2cos2 C )，其中 A，C 为 2 ABC 的内角，且 A，B，C 依次成等差数列，试求|n+p|的取值范围. C 1) (cos A,cosC), 2 1 cos2A1 cos2C14 | n p |2 cos2A cos2C 1cos2A cos( 2A) 2223 1 1cos(2A), 23 251 0 A , 2A,1 cos(2A) . 333332 1151 525 1cos(2A) .即| n p |2 , ).|

18、n p |,). 22342 422 若n (0,1),则n p (cos A,2cos2 23设a、b是两个不共线的非零向量（t R） （1）记OA a,OB tb,OC 1 (a b),那么当实数 t 为何值时，A、B、C 三点共线？ 3 （2）若| a |b|1且a与b夹角为 120，那么实数 x 为何值时| a xb|的值最小？ 解： （1）A、B、C 三点共线知存在实数,使OC OA(1)OB 即(a b) a (1)tb，则 （2）ab | a |b | cos120 2 2 2 2 1 3 11 ,实数t 32 1 , 2 | a xb| a x b 2xab x2 x 1, 当x 时,| a xb |取最小值 1 2 3 2 24 （1）已知|a|=4，|b|=3， （2a3b） （2a+b）=61，求a与b的夹角； （2）设OA=（2，5） ，OB=（3，1） ，OC=（6，3） ，在OC上是否存在点 M，使 MA MB，若存在，求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由. 解： （1）（2a3b） （2a+b）=61，4a 4ab