高三数学大一轮复习94直线与圆圆与圆的位置关系教案理新人教A版

1、9.49.4直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 2014高考会这样考 1.考查直线与圆的相交、相切问题，判断 直线与圆、圆与圆的位置关系；2.计算弦长、面积，考查与圆有关的最值；根据条件求圆的 方程 复习备考要这样做 1.会用代数法或几何法判定点、直线与圆 的位置关系；2.掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等 直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几何问题的思想 1 直线与圆的位置关系 设直线l：AxByC0 (AB0)， 圆：(xa) (yb) r (r0)， 222 22 d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二

2、次方程的 判别式为. 方法 位置关系 相交 相切 相离 2.圆与圆的位置关系 设圆O1：(xa1) (yb1) r1(r10)， 222 几何法代数法 dr 0 0 0). 方法 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 难点正本疑点清源 1 直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法” 是从不同的方面和思路来判断的 2 计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算 (2)代数方法 运用根与系数关系及弦长公式 |AB| 1k|xAxB| 1k2 2 222 几何法： 圆心距d与r1， 代数法

3、： 两圆方程联立组成方程组的 r 2 的关系 dr 1r2 dr 1r2 |r1r2|dr1r2 解的情况 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解 d|r 1r2|(r1r2) 0d|r1r2|(r1r2) xAxB 24x AxB. 1 (2011重庆)过原点的直线与圆xy2x4y40 相交所得弦的长为 2，则该直线 的方程为_ 答案2xy0 解析圆的方程化为标准形式为(x1) (y2) 1，又相交所得弦长为 2，故相交弦 为圆的直径，由此得直线过圆心(1,2)，故所求直线方程为2xy0. 22 22 2 若圆xy1 与直线ykx2 没有公共点，则实数k的取值范围为_ 答案(

4、3， 3) 解析由圆与直线没有公共点， 可知圆的圆心到直线的距离大于半径， 也就是 解得 3k 3，即k( 3， 3) 3 在平面直角坐标系xOy中，已知圆xy4 上有且只有四个点到直线 12x5yc0 的距离为 1，则实数c的取值范围是_ 答案(13,13) 解析由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d满 足 0d1， |c| ，0|c|13，即c(13,13) 22 12 5 13 2 |c| 4 从圆x2xy2y10 外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦 值为 C. () 1 A.2 答案B 3 B.5 3 2 D0 解析圆的方程整理

5、为(x1) (y1) 1，C(1,1)， 22 sinAPC 1 5， 则 cosAPBcos 2APC 1 2 3 12 . 55 5 圆C1：xy2x2y20 与圆C2：xy4x2y10 的公切线有且仅有() 2222 A1 条B2 条C3 条D4 条 答案B 解析C 22 1：(x1) (y1) 4， 圆心C1(1，1)，半径r12. C2：(x2)2(y1)24，圆心C2(2,1)，半径r22. |C1C2| 13，|r1r2|00，即dR，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点 (2)解由平面几何知识， 知|AB|2Rd2 22 22 2 84k11k ，下同方法一 2 1k

6、2 方法三(1)证明因为不论k为何实数， 直线l总过点P(0， 1)， 而|PC| 523R， 所以点P(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P. 所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点 (2)解由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦， 只有和AC(C为圆心)垂直时才最短， 而此时点P(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|2 1252 7， 即直线l被圆C截得的最短弦长为 2 7. 探究提高(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系， 也可利用直线的方程 与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系； (2)勾股定

7、理是解决有关弦问题的常用方法 (2012安徽)若直线xy10 与圆 (xa) y2 有公共点，则实数a的取值范围是 () B1,3 D(，31，) 22 A3，1 C3,1 答案C 解析由题意知，圆心为(a,0)，半径r 2. 若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于或等于半径， 即|a01| 2，|a1|2.3a1. 2 题型二圆与圆的位置关系 例 2a为何值时，圆C1：xy2ax4y 22 a250 和圆C 2：x 2y22x2aya23 0. (1)外切；(2)相交；(3)外离；(4)内切 思维启迪：(1)分别表示出两圆的圆心坐标和半径；(2)利用圆心距与两圆半径的关系求 解 解将两圆

8、方程写成标准方程 C 1：(xa) 2(y2)29， C 2：(x1) 2(ya)24. 两圆的圆心和半径分别为 C 1(a，2)，r13，C2(1，a)，r22， 设两圆的圆心距为d， 则d(a1) (2a) 2a6a5. (1)当d5，即 2a6a525 时，两圆外切， 此时a5 或a2. (2)当 1d5，即 12a6a525 时，两圆相交，此时5a2 或125 时，两圆外离，此时a2 或a0，即b6b90. 解得33 2b0， 即直线AB的方程为xy40，或xy10.12 分 答题模板答题模板 第一步：假设符合要求的结论存在 第二步：从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求解 第三步：

9、确定符合要求的结论存在或不存在 第四步：给出明确结果 第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范 温馨提醒(1)本题是与圆有关的探索类问题，要注意充分利用圆的几何性质答题(2) 要注意解答这类题目的答题格式 使答题过程完整规范 (3)本题的易错点是转化方向不 明确，思路不清晰 2222 2 222 22 方法与技巧 1 过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 1 先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为 ，由点斜式方程可求切线方 k 程若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程xx0. 2 过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 (1)几何方法 当斜率存在时，设为k，切线

10、方程为yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圆心到 直线的距离等于半径，即可得出切线方程 (2)代数方法 设切线方程为yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圆方程，得一个关于x的一元 二次方程，由0，求得k，切线方程即可求出 3 两圆公共弦所在直线方程求法 若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x和y就得到两圆的公共弦所在的直线方程 4 圆的弦长的求法 (1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为 l，则 rd. 2 (2) 代 数 法 ： 设 直 线 与 圆 相 交 于A(x1，y1) ，B(x2，y2) 两 点 ， 解 方 程 组 ykxb， 2 xx 0 22 l 222 y

11、y 0 2r，2 消y后得关于x的一元二次方程， 从而求得x1x2，x1x2， 则弦长为 |AB| 失误与防范 1 求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可 以用勾股定理或斜率之积为1 列方程来简化运算 2 过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得 一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解 1k2x1x2 24x 1x2(k 为直线斜率) A 组专项基础训练 (时间：35 分钟，满分：57 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 20 分) 1 “a3”是“直线yx4 与圆(xa) (y3) 8

12、相切”的 A充分不必要条件 C充要条件 B必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 22 () 答案A |a34| 22 解析若直线yx4 与圆(xa) (y3) 8 相切，则有2 2，即|a 2 1|4，所以a3 或5.但当a3 时，直线yx4 与圆(xa) (y3) 8 一定相 切，故“a3”是“直线yx4 与圆(xa) (y3) 8 相切”的充分不必要条件 2 (2012重庆)对任意的实数k，直线ykx1 与圆xy2 的位置关系一定是 () A相离B相切 D相交且直线过圆心 22 22 22 C相交但直线不过圆心 答案C 解析xy2 的圆心(0,0)到直线ykx1 的距离 22 d|001

13、| 1 1， 22 1k1k 又r 2，0d0)的公共弦长为 2 3，则a_. 答案1 解析方程xy2ay60 与xy4. 1 2 相减得 2ay2，则y .由已知条件2 2222 a 3 2 1 ， a 即a1. 7 (2012江苏)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为xy8x150，若直线y 22 kx2 上至少存在一点， 使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大 值是_ 4 答案 3 解析圆C的标准方程为(x4) y1，圆心为(4,0) 由题意知(4,0)到kxy20 的距离应不大于 2， 即|4k2| 4 2 2.整理，得 3k4k0.解得 0k . 3 k21

14、22 4 故k的最大值是 . 3 三、解答题(共 22 分) 8 (10 分)求过点P(4，1)且与圆C：xy2x6y50 切于点M(1,2)的圆的方程 解设所求圆的圆心为A(m，n)，半径为r， 则A，M，C三点共线，且有|MA|AP|r， 因为圆C：xy2x6y50 的圆心为C(1,3)， 22 22 n223 m111 则 m12n22m42n12r ， 解得m3，n1，r 5， 所以所求圆的方程为(x3) (y1) 5. 9 (12 分)已知点A(1，a)，圆xy4. (1)若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程； (2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求a的值及

15、切线方程 解(1)由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故 1 a4，a 3. 当a 3时，A(1， 3)，切线方程为x 3y40； 当a 3时，A(1， 3)，切线方程为x 3y40， a 3时，切线方程为x 3y40， 22 22 22 a 3时，切线方程为x 3y40. (2)设直线方程为xyb，由于直线过点A，1ab， 直线方程为xy1a，即xya10. |a1| 又直线与圆相切，d2，a2 21. 2 切线方程为xy2 20 或xy2 20. B 组专项能力提升 (时间：25 分钟，满分：43 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 15 分) 1 (2012天津)设m，nR，若

16、直线(m1)x(n1)y20 与圆(x1) (y1) 1 相 切，则mn的取值范围是 () 22 A1 3，1 3 B(，1 31 3，) C22 2，22 2 D(，22 222 2，) 答案D 解析圆心(1,1)到直线(m1)x(n1)y20的距离为 1 2 所以mn1mn (mn) ， 4 所以mn22 2或mn22 2. 2 (2011江西)若曲线C1：xy2x0 与曲线C2：y(ymxm)0 有四个不同的交点， 则实数m的取值范围是 () 22 |mn| m1 2n121， A( 33 ，) 33 33 ， 33 B( 33 ，0)(0，) 33 33 )(，) 33 CD(， 答案

17、B 解析C1：(x1) y1， 22 C 2：y0 或 ymxmm(x1) 当m0 时，C2：y0，此时C1与C2显然只有两个交点； 当m0 时，要满足题意，需圆(x1) y1 与直线ym(x1) 有两交点，当圆与直线相切时，m m0 或 0m 综上知 3. 3 33 ，即直线处于两切线之间时满足题意，则 33 22 33 m0 或 032a 22 3 ，解得a3 或 1a . 2 5 若过定点M(1,0)且斜率为k的直线与圆C：x4xy50 在第一象限内的部分有 交点，则k的取值范围是_ 答案(0， 5) 解析圆的标准方程为(x2) y9，令x0 得圆与y轴的两个 交点为(0， 5)，如图，直线kAM 5.若过定点M(1,0)且斜率 为k的直线与圆x4xy50 在第一象限内的部分有交点，则 22 22 22 k的取值范围是 0k 5. 1 22 6 过点M，1的直线l与圆C：(x1) y4 交于A、B两点，C为圆心，当ACB最小 2 时，直线l的方程为_ 答案2x4y30 1 12 1 解析由题意得，当CMAB时，ACB最小，从而直线方程y1x，即 012 2x4y30. 三、解答题 7 (13分)已知以点A(1,2)为圆心的圆与直线l1：x2y70 相切 过 点B(