高三数学二轮复习函数与方程思想教学案

1、【特辑4】函数和方程式思想【特辑4】函数和方程式思想【考察分析】近年来高考问题、函数的主干知识、知识的综合应用、函数和方程式思想等数学思想方法的考察，一直是高考的重点内容之一。 在试卷中，函数问题总是占20%左右，存在问题灵活变化剧烈的客观问题和要求一定能力的主观问题。 函数和方程式思想是最重要的数学思想，在高考中所占比例较大，综合知识多，问题型多，应用技术多。 在高中新课的数学中，还配置了函数和方程式的节，明确了其要点。 近年来的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程式的应用分为四个阶段： (1)解方程式(2)包含参数的方程式的探讨(3)方程式的研究，如直线与圆、圆锥曲线

2、的位置关系、函数的性质、集合预计2013年高考函数和方程式思想命题主要出现在三个方面：建立函数关系式，建立函数模型，通过方程式、方程式解决实际问题利用函数、方程式、不等式相互转换的观点处理函数、方程式、不等式问题利用函数和方程式思想研究数列在构建函数模型时也重视“三个二次”的考察。 特别注意客观主题，大题一般很难。 【知识摘要】函数和方程式(不等式)的思想贯穿高中学习的各内容，评价问题涉及方程式，求值范围的问题离不开不等式，方程式、不等式离不开函数，函数和方程式(不等式)思想的运用是解决问题的重要手段。 函数和方程式是两个不同的概念，但它们之间有密切的关系，方程式f(x)=0的解是函数y=f(

3、x )的图像与x轴的交点的横轴，函数y=f(x )也可以视为二元方程式f(x)-y=0。 在初中数学中，函数思想在解题中的应用主要是利用初等函数的性质，解决评价、解(证)不等式、解方程式和讨论参数的取值范围等问题。 二是在问题的研究中，通过建立函数关系式和结构中间函数，将研究的问题转化为讨论函数的关系性质，实现困难化，简化复杂性。 许多方程问题可以用函数的方法解决，而许多函数问题也可以用方程的方法解决。 函数和方程式思想是中学数学的基本思想，也是往年高考的重点。 1 .函数思想是从运动和变化的角度分析研究数学中的数量关系，建立函数关系和结构函数，用函数的图像和性质分析问题，解决问题。 函数思想

4、是对函数概念的本质认识，指导问题的解决的是利用函数知识和函数观点来观察、分析、解决问题2 .方程式的思想是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程式和方程式，解决方程式和方程式，或者利用方程式的性质来分析、转化问题方程式数学是对方程式概念的本质认识，指导问题的解决善于利用方程式和方程式的观点处理问题。 方程式思想是在运动中安静地求出，研究运动中的等量关系3 .函数思想与方程式思想的关系在中学数学中，很多函数问题需要用方程式知识和方法来支持，很多方程式问题需要用函数知识和方法来解决。 对于函数y=f(x )，如果y=0，则可以将函数y=f(x )转换成方程式f(x)=0，并且可以将函数y=f(x

5、 )视为二元方程式y-f(x)=0。4 .函数方程式的思想的几种重要形式(1)的函数和方程式密切相关，对于函数y=f(x )，当y=0时，变换成方程式f(x)=0，也可以把函数式y=f(x )看作二项式y-f(x)=0。 可以将函数问题(例如求逆函数、求函数的值域等)变换为方程式问题来解，也可以将方程式问题变换为函数问题来解，例如求解方程式f(x)=0，函数y=f(x )的零点的(2)函数和不等式也可以相互变换，函数y=f(x )。 转换为0，通过函数图像和性质解决问题，研究函数的性质也不能解不等式(3)数列的通项或前n项和自变量为正整数的函数，在函数的观点上处理数列问题很重要(4)函数f(x

6、)=(ax b)(nN )与二项式定理密切使用该函数可以用* n代入法和比较系数法解决很多二项式定理的问题(5)解析几何学的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系的问题，需要通过解二维方程式来解决，关于二次方程式和二次函数的关系理论(6)立体几何学中的线段、角、面积、体积的计算问题类型1 :函数思想在方程式中的应用例1. (2012高考山东)函数A(x 1，g(x) ax2bx(a，br，a0 )，如果有yf(x)x的图像和yg(x )的图像，只有不同的共同点A(x 1，y1 )，B(x2，y 2 )，则以下【解析】 :在相同坐标系上画两个函数的图像，在a0的情况下，想满足条件的情况下，如图所

7、示，创建关于点a的原点的对称点c，则c点坐标为(x1，y1)，从图像中可知x1x2、y1y2，即x1x20、y1y20，但同样地另一种方法：在f(x)x3bx21中，方程F(x) 0与f(x)g(x )的解相同，因此b.a0时，x 1x20、y1y20d.a0时，x 1x20、y1y202和只有两个不同零点x1的x2.f(x)0 如果仅通过0或3 2232就为了F(0) 1需要f(b)0而得到b32.x1x 2，则因为x2b32.f(b)0 3323所以是f(x)(x1)(x32)2，因为比较系数是x1341，所以x1知道y1y211x1x20 x1x2x1x2x1x31x2x20，因此22个

8、问题类型2 :函数思想在不等式中的应用例2. (2012高考浙江) a大于0.a.2 a=2b则ab.2a=2b则ab.2a=2b则a b.2 a.2 a 【解析】如果是2 a-2 a-2 b-3 b，则f-2 x-2 x总是成立的，如果必须存在2a2b2b .结构函数： f-2 x-2 x，则函数f-2 x-2 x在x0处单调地增加，即，ab成立。 以相同方式排除该ab-ab abab馀数选项。 点评：问题中出现两个数积和这两个数和时，是构建一次二次方程式的明显信息，构建方程式后，利用方程式的知识可以巧妙地解决问题。 当问题有多个变量时，如果可以利用相同量的关系来减少变量的数量，最后将一个变

9、量表示为与另一个变量相关的公式，则可以通过研究函数的方法来解决问题。问题类型3 :函数思想在实际问题上的应用实例3. (2011陕西理14 )有植树节的班的学生20人，每人种一棵，相邻的两棵树相距10米。 最初，把苗木集中放在某个树坑旁边，使各学生从各树坑接收苗木的路程合计最小，这个最小值为(米)【解】 (方法1 )在第I个坑的旁边放置苗木(图)，在1 2i 19 20中从各坑开始第I个坑在22I10或11的情况下，往返电路的最小值是2000米，因为s的值是最小的，最小值是1000。 (方法2 )根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，得到的行程总和相同，最有价值，因此从两端的坑向中间移动时，得到的行程总和的变化相同，最后移动到第10个和第11个坑旁边时，得到的行程总和已经如果树苗放在第一个树洞旁边，则在10(12l19)210 (或11 )树洞旁边，行程之和为19(119)23800的树苗是第二个10 (12l9) 10 (12l 10 ) 210 (19 ) 10 (110 ) 21029001110