高考数学160分知识提醒与方法点拨

1、高考数学高考数学 160160 分知识提醒与方法点拨分知识提醒与方法点拨 第一部分第一部分集合集合 1 1理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的 取值？还是曲线上的点？ ； 2 2数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具， 将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；是任何集合的 子集，是任何非空集合的真子集。 3 3 （1）含 n 个元素的集合的子集数为2n,真子集数为 2n1；非空真子集的数为 2n-2； （2）A B A B A A B B;注意：讨论的时候不要遗忘了A 的

2、情况； （3）C I (A B) (C I A) (C I B);C I (A B) (C I A) (C I B)。 第二部分第二部分函数与导数函数与导数 1 1映射：映射：注意 第一个集合中的元素必须有象；一对一，或多对一。 2 2函数值域的求法：函数值域的求法：直接法 ；配方法 ；导数法 ；利用函数单调性 ；换元法 ； 利用均值不等式 a ba2b2 ； 利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意ab 22 x 义等） ；利用函数有界性（a、sinx、cosx等） ；判别式法 3 3复合函数的有关问题复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法： 若 f(x)的定义域为a，b,则复合函

3、数 fg(x) 的定义域由不等式 ag(x)b 解出 若 fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域， 相当于 xa,b时， 求 g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定：首先将原函数y fg(x)分解为基本函数：内函数u g(x)与外 函数y f (u)；分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；根据“同性则增，异性则减” 来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意：外函数y f (u)的定义域是内函数u g(x)的值域。 4 4分段函数：分段函数：值域（最值） 、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5 5函数的奇偶性函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要

4、条件必要条件； f (x)是奇函数 f ( x) f (x) f ( x) f (x) 0 f ( x) 1 ； f (x) f (x)是偶函数 f ( x) f (x) f ( x) f (x) 0 f ( x) 1 ； f (x) 奇函数f (x)在原点有定义，则f (0) 0； 在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； （6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6 6函数的单调性函数的单调性 单调性的定义：f (x)在区间M上是增（减）函数 x1,x2M,当x1 x2时 f (x 1 ) f (x 2 ) 0( 0) (x 1 x

5、2)f(x1) f(x2)0(0) f (x 1 ) f (x 2 ) 0( 0)； x 1 x 2 单调性的判定定义法：注意：一般要将式子f (x1) f (x2)化为几个因式作积或作商的形式， 以利于判 断符号；导数法（见导数部分） ；复合函数法（见2 （2） ） ；图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7 7函数的周期性函数的周期性 (1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有f (x T) f (x)（其中T为非零常数） ，则称函数 f (x)为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说 明，遇到的周期都指最小正周期。 （2）三角函数的周

6、期 y sin x:T 2；y cosx:T 2；y tan x :T ； y Asin(x ), y Acos(x ):T 2 ；y tanx :T ； | 函数周期的判定：定义法（试值） 图像法公式法（利用（2）中结论） 与周期有关的结论：f (x a) f (x a)或f (x 2a) f (x)(a 0) f (x)的周期为2a； y f (x)的图象关于点(a,0),(b,0)中心对称f (x)周期 2a b； y f (x)的图象关于直线 x a,x b轴对称f (x)周期为 2a b； y f (x)的图象关于点(a,0)中心对称，直线x b轴对称f (x)周期 4a b； 8

7、8基本初等函数的图像与性质基本初等函数的图像与性质 幂函数：y x（ R)；指数函数：y a (a 0,a 1)； x 对数函数:y log a x(a 0,a 1)；正弦函数:y sin x； 余弦函数：y cosx； （6）正切函数：y tan x；一元二次函数：ax bx c 0； 其它常用函数：正比例函数：y kx(k 0)；反比例函数：y “勾”函数：y x 2 k1 (k 0)；特别的y ， xx a (a 0)； x 22 9 9二次函数：二次函数：解析式：一般式：f (x) ax bx c；顶点式：f (x) a(x h) k，(h,k)为 顶点；零点式：f (x) a(x x

8、1)(x x2)。 二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式； 两根符号。二次函数问题解决方法：数形结合；分类讨论。 1010函数图象函数图象图象作法 ：描点法（注意三角函数的五点作图）图象变换法导数法 图象变换： 平移变换：y f (x) y f (x a)，(a 0)左“+”右“-” ； y f (x) y f (x) k,(k 0)上“+”下“-” ； 伸缩变换： y f (x) y f (x)， （ 0)纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 1 倍； y f (x) y Af (x)， （A 0)横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍； 对称变换：y f (x

9、) y f (x)；y f (x)y f (x)； x0yxy f y f (x)y f (x)； y f (x) 1 (0,0)y0 (x)； 翻转变换： y f (x) y f (| x |)右不动，右向左翻（f (x)在y左侧图象去掉） ； y f (x) y | f (x) |上不动，下向上翻（|f (x)|在x下面无图象） ； 1111函数图象（曲线）对称性的证明函数图象（曲线）对称性的证明 (1)证明函数y f (x)图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心 （对称轴）的对称点仍在图 像上； （2）证明函数y f (x)与y g(x)图象的对称性，即证明y f (x)图象上任意

10、点关于对称中心 （对称轴）的对称点在y g(x)的图象上，反之亦然； 注：曲线 C1:f(x,y)=0 关于点（a,b）的对称曲线 C2方程为：f(2ax,2by)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=a 的对称曲线 C2方程为：f(2ax, y)=0; 曲线 C1：f(x,y)=0,关于 y=x+a(或 y=x+a)的对称曲线 C2的方程为 f(ya,x+a)=0(或 f(y+a, y=f(x)图像关于直线 x= x+a)=0);f(a+x)=f(bx) （xR） a b 对称； 2 y=f(x)图像关于直线 x=a 对称； 特别地：f(a+x)=f(ax) （xR） 函数 y

11、=f(xa)与 y=f(bx)的图像关于直线 x= ab对称； 2 1212函数零点的求法：函数零点的求法：直接法（求f (x) 0的根） ；图象法；二分法. 1313导数导数 导数定义：f(x)在点 x0处的导数记作 y 常见函数的导数公式: C 0；(x ) nx xx n xx0 f (x 0 ) lim x0 f (x 0 x) f (x 0 ) ； x n1；(sin x) cos x； x (cos x) sin x；(a ) a lna；(e ) e； x (log a x) 11 ；(ln x)。 xlnax u v uv uv ; 2v 导数的四则运算法则：(u v) u v

12、;(uv) uv uv;( ) 导数的应用：利用导数求切线：注意：所给点是切点吗？所求的是“在”还是“过”该点 的切线？利用导数判断函数单调性：f (x) 0 f (x)是增函数； f (x) 0 f (x)为减函数；f (x) 0 f (x)为常数； 利用导数求极值：求导数f (x)；求方程f (x) 0的根；列表得极值。 利用导数最大值与最小值：求的极值；求区间端点值（如果有） ；得最值。 第三部分第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形三角函数、三角恒等变换与解三角形 1 1角度制与弧度制的互化：角度制与弧度制的互化：弧度180，1 180 1 2 1 弧长公式：弧长公式：l R；扇形面

13、积公式：；扇形面积公式：S R Rl。 。 22 弧度，1弧度 (180 ) 5718 2 2三角函数定义：三角函数定义：角中边上任意一点P为(x, y)，设|OP | r则： sin yxy ,cos, tan rrx 3 3三角函数符号规律：三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦； 4 4诱导公式记忆规律：诱导公式记忆规律： “函数名不（改）变，符号看象限” ； 5 5y Asin(x )对称轴： x k 2 ；对称中心：(k ,0)(kZ)； ,0)(k Z)； y Acos(x )对称轴： x k ；对称中心：( 22 k 2 6 6同角三角函数的基本关系：同角三角函数的基本

14、关系：sin x cos x 1; sin x tan x； cosx 7 7两角和与差的正弦、余弦、正切公式：两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin() sincos cossin; cos() coscossinsin;tan() 8 8二倍角公式：二倍角公式：sin2 2sincos； cos2 cos sin 2cos11 2sin；tan2 9 9正、余弦定理正、余弦定理正弦定理 2222 tan tan 。 1 tantan 2tan 。 21 tan abc 2R（2R是ABC外接圆直径） sin Asin BsinC 注：a :b:c sin A:sin B:sinC；a 2

15、Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC； abca b c 。 sin Asin BsinCsin Asin B sinC b2 c2 a2 余弦定理：a b c 2bccos A等三个；注：cos A 等三个。 2bc 222 1010。几个公式。几个公式: :三角形面积公式： S ABC 11 ah absinC 22 a b c p(p a)(p b)(p c),(p 1 (a b c)； 2 内切圆半径 r= 2S ABC ；外接圆直径 2R= abc ; sinA sinBsinC 1111已知已知a,b, A时三角形解的个数的判定：时三角形解的个数的判定： C b h

16、A a 其中 h=bsinA,A 为锐角时：ah 时，无解； a=h 时， 一解（直角） ；h0； 7 7圆的方程的求法：圆的方程的求法：待定系数法；几何法；圆系法。 8 8圆系：圆系：x y D1x E1y F 1 (x y D 2 x E 2 y F 2 ) 0,( 1)； 注：当 1时表示两圆交线。 x y Dx Ey F (Ax By C) 0,( 1)。 9 9点、直线与圆的位置关系：点、直线与圆的位置关系： （主要掌握几何法）（主要掌握几何法） 点与圆的位置关系： （d表示点到圆心的距离） d R 点在圆上；d R 点在圆内；d R 点在圆外。 直线与圆的位置关系： （d表示圆心到

17、直线的距离） d R 相切；d R 相交；d R 相离。 圆与圆的位置关系： （d表示圆心距，R,r表示两圆半径，且R r） d R r 相离；d R r 外切；R r d R r 相交； d R r 内切；0 d R r 内含。 1010与圆有关的结论：与圆有关的结论： 过圆 x2+y2=r2上的点 M(x0,y0)的切线方程为：x0 x+y0y=r2； 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点 M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2； 以 A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0。 22

18、 2222 2222 222222 第六部分第六部分圆锥曲线圆锥曲线 1 1定义：定义：椭圆：| MF 1 | | MF 2 | 2a,(2a | F 1F2 |)； 双曲线：| MF 1 | | MF 2 | 2a,(2a | F 1F2 |)；抛物线：略 2 2结论结论 焦半径：椭圆：PF； （左“+”右“-” ） ； 1 aex 0, PF2 a ex 0 （e 为离心率） 抛物线：PF x0 p 2 弦长公式：AB 1 k2 x 2 x 1 (1 k2)(x 1 x 2 )2 4x 1x2 1 1 y 2 y 1 k2 (1 1 2)(y y ) 4y 1 y 2 ； 12 k2 注：

19、 （）焦点弦长：椭圆：| AB | 2a e(x1 x2)；抛物线：ABx1+x2+p= 通径（最短弦） ：椭圆、双曲线：2b；抛物线：2p。 a 2 2p ； （） sin2 过两点的椭圆、 双曲线标准方程可设为：mx ny 1 （m,n同时大于 0 时表示椭圆，mn 0 时表示双曲线） ； 椭圆中的结论：内接矩形最大面积 ：2ab； P，Q 为椭圆上任意两点，且OP0Q，则 22 1111 ； |OP |2|OQ |2a2b2 椭圆焦点三角形： S PF 1F2 b tan 交F 1F2于点 N，则 2 2 ， （ F 1PF2 ） ；点M是PF 1F2 内心，PM | PM |a ； |

20、 MN |c 当点P与椭圆短轴顶点重合时F 1PF2 最大； 双曲线中的结论： 2222yy xx 双曲线 2 1（a0,b0）的渐近线： 2 2 0； 2abab 22by x 共渐进线y x的双曲线标准方程为； 2 (为参数， 0） 2aab 双曲线焦点三角形： S PF 1F2 x2y2 （ F 1PF2 ） ；P 是双曲线 2 2 =1(a0， b cot， ab2 2 b0)的左（右）支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则PF1F2的内切圆的圆心横坐标为 a,(a)； 双曲线为等轴双曲线e （6）抛物线中的结论： 2 抛物线 y2=2px(p0)的焦点弦 AB 性质： x1x2=

21、p ；y1y2=p2； 4 2 渐近线为y x渐近线互相垂直； 112 ；以 AB 为直径的圆与准线相切；以 AF（或 BF）为直径 | AF | BF |p p2 。 2sin 的圆与y轴相切；S AOB 抛物线 y2=2px(p0)内结直角三角形 OAB 的性质： x 1 x 2 4P , y 1 y 2 4P ；l AB 恒过定点(2p,0)； A,B中点轨迹方程：y p(x 2p)； 2222 OM AB，则M轨迹方程为：(x p) y p ；(S AOB ) min 4p 。 22 2 抛物线 y2=2px(p0)，对称轴上一定点A(a,0)，则： 当0 a p时，顶点到点 A 距离

22、最小，最小值为a； 当a p时，抛物线上有关于x轴对称的两点到点 A 距离最小，最小值为2ap p。 3 3直线与圆锥曲线问题解法：直线与圆锥曲线问题解法： 直接法（通法） ：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。 注意以下问题：联立的关于“x”还是关于“y”的一元二次方程？ 直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？ 设而不求（代点相减法） ：-处理弦中点问题 步骤如下：设点 A(x1，y1)、B(x2,y2)；作差得k AB 2 y 1 y 2 ；解决问题。 x 1 x 2 4 4求轨迹的常用方法：求轨迹的常用方法： （1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式） ；

23、（3）代入法（相关点法或转移法） ； 待定系数法； （5）参数法； （6）交轨法。 第七部分第七部分平面向量平面向量 设 a a=(x1,y1),b b=(x2,y2)，则： a ab b(b b0 0)a a=b b （R)x1y2x2y1=0； a ab b(a a、b b0 0)a ab b=0x1x2+y1y2=0. a ab b=|a a|b b|cos=x2+y1y2； cos= ab ； | a | b | 注：|a a|cos叫做 a a 在 b b 方向上的投影；|b b|cos叫做 b b 在 a a 方向上的投影； a ab b 的几何意义：a ab b 等于|a a|与

24、|b b|在 a a 方向上的投影|b b|cos的乘积。 三点共线的充要条件 P，A，B 三点共线OP xOA yOB(且x y 1)； 第八部分第八部分数列数列 1 1定义：定义： 等差数列a n an1 a n d(d为常数） 2a n a n1 a n1 (n 2,nN*) a n kn b s n An2 Bn； 等比数列an a n1 2 q(q 0) a n a n-1 a n1 (n 2,n N) a n a n cqn(c,q均为不为0的常数） Sn k kqn(q 0,q 1,k 0)； 2 2等差、等比数列性质等差、等比数列性质 等差数列等比数列 n1 通项公式 a n

25、a 1 (n 1)da n a 1q 前 n 项和Sn 1.q 1时， S n na 1 ;n(a 1 a n )n(n1) na 1 d na (1 q ) 22 2.q 1时， S n 1 1 q a 1 a n q 1 q 性质an=am+ (nm)d,an=amqn-m; m+n=p+q 时 am+an=ap+aqm+n=p+q 时 aman=apaq S k ,S 2k S k ,S 3k S 2k , 成 APS k ,S 2k S k ,S 3k S 2k , 成 GP m ak,akm,ak2m,成 AP,d mdak,akm,ak2m,成 GP,q q 等差数列特有性质：项数

26、为 2n 时：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n)；S 偶 S 奇 nd ； S 奇 S 偶 a n ；项数 a n1 为 2n-1 时：S2n-1=(2n-1)a 中 ；S 奇 -S 偶 a 中 ； S 奇 S 偶 n ； n -1 若an m,am n,(m n)，则amn 0；若S n m,S m n,则S mn (m n)； 若S n S m ,(m n)，则S mn 0。 3 3数列通项的求法：数列通项的求法： S1(n=1) a = n a S a n c n ；归纳法；定义法（利用AP,GP的定义） ；公式法：累加法（ nn-11 (nSn2) 叠乘法（ a n1 c

27、 n 型） ；构造法（an1 kanb型） ； （6）迭代法； a n 11 4） ； a n a n1 间接法（例如：an1 an 4anan1 作商法（a1a2 an cn型） 注：注：当遇到an1 an1 d或 a n1 q时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。 a n1 4 4前前n项和的求法：项和的求法：拆、并、裂项法；倒序相加法；错位相减法。 5 5等差数列前等差数列前 n n 项和最值的求法：项和最值的求法： a n 0 a n 0 ；利用二次函数的图象与性质。 或 a n1 0 a n1 0 第九部分不等式 a b 1 1均值不等式：均值不等式：ab 2 a2b2 2 ab

28、 2 a2b2 。 ) 22 注意：一正二定三相等；变形，ab ( 2 2 （了解）绝对值不等式：（了解）绝对值不等式：| a | |b | a b | a | |b | 3 3不等式的性质：不等式的性质： a b b a；a b,b c a c； a b a c b c；a b,c d a c b d； a b,c 0 ac bd；a b,c 0 ac bc；a b 0,c d 0 ac bd； a b 0 a b 0(n N )； ； （6 6）a b 0 nnna nb(n N)。 4 4不等式等证明（主要）方法：不等式等证明（主要）方法：比较法：作差或作比；综合法；分析法。 第十部分第

29、十部分复数复数 1 1概念：概念：z=a+biRb=0 (a,bR)z=zz20； z=a+bi 是虚数b0(a,bR)； z=a+bi 是纯虚数a=0 且 b0(a,bR)zz0（z0）z20 时，变量x, y正相关；r0，a=0， a0)求最值时，要注意取得最值的条件“一正二定三相等” 。 a 1(n 1), 3数列问题：已知 Sn，求 an时，an=（若能合并，则尽量合并成一个式子。 ） s s(n 2). nn1 求等比数列求等比数列aan n 的前的前 n n 项和项和 S Sn n时，必须考虑时，必须考虑 q=1q=1 与与 q q1 1 两种情况。两种情况。 等比数列的公比和任一项都不为等比数列的公比和任一项都不为 0 0，即，即 q q0 0，a an n0 0。有时对等比数列的公比分 q=1，q1，0q1 三种情况讨论。 在等差或等比数列中，注意基本量思想等差或等比数列中，注意基本量思想( (用用 a a1 1，d d 或或