高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题圆锥曲线训练8新人教A版

1、圆锥曲线（圆锥曲线（8 8） 1、下列四个命题中不正确的是（ D） （A）若动点P与定点A(4,0)、B(4,0)连线PA、PB的斜率之积为定值 的一部分 （B） 设m,nR R， 常数a 0， 定义运算 “” ：mn (m n) (m n)， 若x 0， 则动点P(x,xa) 的轨迹是抛物线的一部分 （C）已知两圆A:(x1) y 1、圆B:(x1) y 25，动圆M与圆A外切、与圆B内切，则动圆 的圆心M的轨迹是椭圆 （D）已知A(7,0),B(7,0),C(2,12)，椭圆过A,B两点且以C为其一个焦点， 则椭圆的另一个焦点的轨迹 为双曲线 2222 4 ，则动点P的轨迹为双曲线 9 2

2、2 x2y2 2、设双曲线 C： 2 2 1（b a 0）的左、右焦点分别为 F 1，F2若在双曲线的右支上存在一点P， ab 使得 |PF1|3|PF2|，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围为（ A） (A) (1,2 (B)( 2,2(C)( 2,2) (D) (1,2) 2222 3、已知3x 2y 6x 则m x y 1的最大值为（D ） A. B. C. D. 7 2 x2y2 4、已知双曲线 2 2 1a 0,b 0的一条渐近线的倾斜角 , ，则离心率 e 的取值范围是 ab 6 4 （ C） 2 32 32 3 A.,2 B. 2 ,2 C. ,2 D. ， 333 x2y2

3、 5、椭圆 2 2 1(a b 0)的两顶点为A(a,0), B(0,b)，且左焦点为F，FAB是以角B为直角的直角 ab 三角形，则椭圆的离心率e为（ B） A 3 15 1153 1 B C. D 2244 x2y2 6、设椭圆C：，交椭圆于A、B 两点，l1，F 是右焦点，l是过点 F 的一条直线（不与y轴平行） 259 DF2 是 AB 的中垂线，交椭圆的长轴于一点D，则的值是 AB5 x2y2 7 、 如 图 ， 已 知 椭 圆 2 2 1(a b 0)的 左 顶 点 为A， 左 焦 点 为F ，上 顶 点 为B， 若 ab BAO BFO 90，则该椭圆的离心率是 . 5 1 2

4、8、如果一个平面与一个圆柱的轴成（0 90）角，且该平面与圆柱的侧面相交，则它们的交线是 一个椭圆. 当 30时，椭圆的离心率是 . 3 2 x2y2 9、已知直线x y 1 0经过椭圆 S： 2 2 1(a b 0)的一个焦点和一个顶点 ab （1）求椭圆 S 的方程； （2）如图，M，N 分别是椭圆 S 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点，其中 P 在第一象限，过 P 作轴的垂线，垂足为 C，连接 AC，并延长交椭圆于点B，设直线 PA 的斜率为 k y 若直线 PA 平分线段 MN，求 k 的值； 对任意k 0，求证：PA PB P （1）在直线x y 1 0中令x 0得y

5、1； B M O x 2 C 令y 0得x 1 c b 1，a 2 A x2 y21 则椭圆方程为 2 （2）M( 2,0),N(0,1),M、N 的中点坐标为( N 221 ，)，所以k 222 x222 y21，解得x m，则 （3）法一：将直线 PA 方程y kx代入，记 22 2 12k1 2k P(m,mk)，A(m,mk)，于是C(m,0)，故直线 AB 方程为y 22222 0mkk (xm) (xm) mm2 2k2mm(3k22)mk3 , 2 ) 代入椭圆方程得(k 2)x 2k mxk m 8 0，由x B x A 2 ，因此B( 2k 2k 2k 2 uuu ruuu

6、r m(3k22)mk32mk22mk AP (2m,2mk)，PB (m, 2 mk) ( 2 ,) k22k 2k 2 k22 uuu r uuu r 2mk22mk APgPB 2 2m 2 2mk 0PA PB k 2k 2 法二：由题意设P(x0, y0), A(x0,y0),B(x 1, y1),则C(x0 ,0)， QA、C、B 三点共线， yy y 0 y 101,又因为点 P、B 在椭圆上， x 1 x 0 2x 0 x 1 x 0 x 0 2y 0 2x 1 2y 1 2 x x 1,1，两式相减得：k PB 01 2(y 0 y 1) 2121 k PAkPB y 0 x

7、 x(y y 0 )(x 0 x 1)01 1 1PA PB x 0 2(y 0 y 1) (x 1 x 0 )(y 0 y 1) x2y251 10、 已知椭圆C： 2 2 1(a b 0)的一条准线L方程为： x=- ,且左焦点F到L的距离为 . () ab22 求椭圆 C 的方程；()过点 F 的直线交椭圆 C 于两点 A、B，交 L 于点 M,若MA 1 AF,MB 2 BF, 证明 1 2 为定值. x2 y21 4 分 () 5 ()当斜率为 0 时，易知 1 2 =0；5 分 当斜率不为 0 时，可设直线AB 的方程为x my 2(m 0)，设A(x1, y1)，B(x2, y2

8、)由方程（组）知 识结合 MA 1 AF , MB 2 BF 得： 1 - 11 1 ，故：1， 2 - 2my 2 2my 1 1 2 = 2 1y 1 y 2 =0.综上所述 1 2 为定值.12 分 2my 1 y 2 13 ，且点(1, )在该椭圆上； （）求椭 22 6 2 ，求圆心在原 7 11、已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率e 圆C的方程； （）过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若AOB的面积为 点，且与直线l相切的圆的方程 x2y2 （1）设椭圆 C 的方程为 2 2 1(a b 0)， ab 由题意可得e c1 ， a2 又a2 b2

9、c2,所以b2 3 2 3 a，因为椭圆 C 经过(1, )， 42 9 x2y21 2 4 1. 代入椭圆方程有 2 1，解得a 2，所以c 1,b 41 3故椭圆 C 的方程为 3 2 43a a 4 33 （2）解法一：当直线l x轴时，计算得到：A(1,),B(1, ), 22 113 S AOB | AB |OF 1 |13 ，不符合题意。当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为： 222 yk(x1) y k(x 1),k 0，由 x 2y2 ,消去 y,得(34k2)x28k2x4k2120 1 43 8k24k212 ,x 1 x 2 显然 0成立,设A(x 1 , y 1 )

10、,B(x 2 , y 2 )，则x 1 x 2 223 4k3 4k 又| AB| (x 1 x 2 )2(y 1 y 2 )2(x 1 x 2 )2 k2(x 1 x 2 )2 1 k2(x 1 x 2 )21 k2(x 1 x 2 )24x 1 x 2 = 1 k2 64k44(4k212) 222(3 4k )3 4k 2 | k 00 k | k |12 k2112(k21) r 即| AB | 1 k ,又圆 O 的半径 22 3 4k23 4k2 1 k1 k 所以SAOB 11 12(k21)| k |6| k | 1 k26 2 | AB |r 22 223 4k73 4k 1

11、 k 4222 化简，得17k k 18 0,即(k 1)(17k 18) 0, 2 解得k 1 21,k 2 | k |2181 ,故圆 O 的方程为：x2 y2 （舍）,所以，r 2172 1 k2 （2）解法二：设直线l的方程为x ty 1， x ty1 由 x 2y2 ,消去x,得(43t2)y26ty 9 0,因为0恒成立 ,设A(x 1,y1),B(x2,y2) ， 1 3 4 则y 1 y 2 6t9 2| y y |(y y ) 4y 1 y 2 所以, y y 121212 2243t43t 36t23612 t21 2222(4 3t )43t43t 所以SAOB 16 t

12、216 2 | F 1O | y1 y 2 | , 22743t 42222 化简得到18t t 17 0,即(18t 17)(t 1) 0，解得t 1 21,t 2 17 （舍）, 18 又圆O的半径为r | 0t01| 1t2 1 1t2 ,所以r 1 1t2 2 ， 2 故圆O的方程为：x2 y2 1 2 x2y21 12、已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的离心率为 ，直线l过点A(4,0) ， B(0,2) ，且与椭圆C 相切于 ab2 点P. （）求椭圆C的方程； （）是否存在过点A(4,0)的直线m与椭圆C相交于不同的两点M、N，使得 36 AP35 AM AN?若存在，试

13、求出直线m的方程；若不存在,请说明理由. （）由题得过两点A(4,0) ， B(0,2)直线l的方程为x2y 4 0. 1 分 因为 2 c1 ，所以a 2c，b 3c. a2 x2y4 0, x2y2 22 设椭圆方程为 2 2 1,由 x 2消去x得，4y 12y 123c 0.y2 4c3c 2 2 1, 4c3c 又因为直线l与椭圆C相切,所以 12 44(123c ) 0,解得c21. 22 x2y2 1. 5 分所以椭圆方程为 43 （）易知直线m的斜率存在,设直线m的方程为y k(x4)， 6 分 y k(x4), 2222 由 x 2y2消去y，整理得(34k )x 32k x

14、64k 12 0. 7 分 1, 43 由题意知 (32k ) 4(34k )(64k 12) 0，解得 2222 11 k . 8 分 22 32k264k212 设M(x 1, y1) ， N(x 2 , y 2 ) ，则 x 1 x 2 . 9 分 ， x 1x2 34k234k2 x2y2 1相切， 又直线l : x2y 4 0与椭圆C : 43 x2y4 0, 33 由 x 2y2解得x 1,y ，所以P(1, ). 10 分 221, 43 则AP 2 45364581 . 所以AM AN . 43547 2222 又AM AN (4 x 1) y1 (4 x 2 ) y 2 (4

15、 x 1) 2k2(4 x 1) 2 (4 x 2 )2k2(4 x 2 )2 (k21)(4 x 1)(4 x2 ) 64k21232k2 (k 1)(x 1x2 4(x 1 x 2 )16) (k 1)(416) 2234k34k 22 (k21) 36 . 234k 23681 k ，解得.经检验成立. 13 分 434k27 2 (x4). 14 分 4 所以(k21) 所以直线m的方程为y x2y2 13、 已知椭圆 2 2 1(a b 0)的右焦点为F(1,0)，M为椭圆的上顶点，O为坐标原点， 且OMF ab 是等腰直角三角形 （）求椭圆的方程； （） 是否存在直线l交椭圆于P，

16、且使点F为PQM的垂心 （垂心： 三角形三边高线的交点） ？Q两点， 若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由 （）由OMF是等腰直角三角形，得b 1，a 2b 2， x2 y21 5 分故椭圆方程为 2 （）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为PQM的垂心， 设P(x1, y1)，Q(x2, y2),因为M(0,1)，F(1,0)，故k PQ 17 分 于是设直线l的方程为y xm，由 y x m, 22 得3x 4mx 2m 2 0 22 x 2y 2, 2m2 24m 由 0，得m 3， 且x1 x2 ,x1x29 分 33 2 uuu ruuu u r 由题意应有MPFQ 0

17、，又MP(x 1,y1 1), FQ(x 2 1,y 2 )， 故x1(x21) y2(y11) 0，得x1(x21)(x2 m)(x1 m1) 0 即2x1x2 (x1 x2)(m 1) m m 0 2 2m2 244 m(m 1) m2 m 0解得m 或m 112 分整理得2 333 经检验，当m 1时，PQM不存在，故舍去m 1 当m 44 时，所求直线l存在，且直线l的方程为y x 13 分 33 x2y21 13、已知椭圆C: 2 2 1 (a b 0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为 . ab2 （）求椭圆C的方程； （）设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点，线段MN的垂直平分

18、线交y轴于点 P(0, y 0 )，求y 0 的取值范围. （）解：设椭圆C的半焦距是c.依题意，得c 1.1 分 因为椭圆C的离心率为 1 ，所以a 2c 2，b2 a2c2 3.3 分 2 x2y2 1. 4 分故椭圆C的方程为 43 （）解：当MN x轴时，显然y0 0.5 分 当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y k(x1) (k 0). 由 y k(x1), 22 3x 4y 12, 消去y整理得 (3 4k )x 8k x 4(k3) 0.7 分 2222 8k2 设M(x 1, y1),N(x2 , y 2 )，线段MN的中点为Q(x 3 , y 3 )，则x 1 x 2

19、 .8 分 234k x 1 x 2 4k23k 所以 x 3 ，.y k(x 1) 33 234k23 4k2 3k14k2 (x ). 线段MN的垂直平分线方程为y 22k3 4k3 4k 在上述方程中令x 0，得y0 k1 .10 分 233 4k 4k k 当k 0时， 33 4k 4 3；当k 0时， 4k 4 3. kk 所以 33 y 0 0，或0 y 0 .12 分 1212 33 ,. 13 分 1212 22 综上，y 0的取值范围是 14、如图，已知点A(2,0)，点P是B：(x 2) y 36上任意一点，线段AP 的垂直平分线交BP 于点 Q ，点 Q 的轨迹记为曲线C. （）求曲线C的方程； 222x y r O （）已知：（ r 0 ）的切线 l 总与曲线 C 有两个交点 M、N ，并且其中一条切线满 足MON 90，求证：对于任意一条切线l总有MON 90. 00 （I）由题意，|QA| |QB |QP | |QB | 6， Q 点轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆，且a 3,c 2, x2y2 1.5分 曲线 C 的轨迹方程是 95 （II）先考虑切线的斜率存在的情形. 设切线l：y kx m，则 由l与O 相切得