高考数学二轮复习钻石卷专题综合测试5含解析

1、专题五综合测试专题五综合测试 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后 括号内 1 若直线l1： ax2y10 与l2： 3xay10 垂直， 则 a() A1B1C0D2 解析由 3a2a0 知 a0. 答案C 2当 a 为任意实数时，直线(a1)xya10 恒过定点 C， 则以 C 为圆心，半径为 5的圆的方程为() Ax2y22x4y0 Cx2y22x4y0 Bx2y22x4y0 Dx2y22x4y0 解析将方程分离参数 a 可得 a(x1)(xy1)0， 方程表示 x10， 过两直线的交点 xy10，

2、即 C 点为(1,2)，故圆的方程为(x 1)2(y2)25，即 x2y22x4y0. 答案C x2 23(2013福建卷)双曲线 4 y 1 的顶点到其渐近线的距离等于 () 2 A.5 2 5 C. 5 4 B.5 4 5 D. 5 x2 2 1 解析双曲线 4 y 1 的顶点为(2,0)，渐近线为 y2x，所以 2 5 所求距离为 5 答案C x2y2 4设椭圆m2n21(mn0)的右焦点与抛物线 y28x 的焦点相 1 同，离心率为2，则此椭圆的方程为() x2y2 A.12161 x2y2 C.48641 x2y2 B.16121 x2y2 D.64481 21 解析因为抛物线 y2

3、8x 的焦点坐标是(2,0)，由此得m2，解 x2y2 得 m4，由 n m 2 12，所以所求的椭圆方程是16121. 222 答案B x2y2 5已知双曲线a2b21 的一个焦点与抛物线 y24x 的焦点重 合，且双曲线的离心率等于 5，则该双曲线的方程为() 25y A5x2 4 1 x2y2 B. 5 4 1 24y D5x2 5 1 y2x2 C. 5 4 1 解析由题意得抛物线焦点为(1,0)， c 22 a b 1.又ea 14 a25，b25. a2b2 a2 1 a2 5， 5 2 该双曲线的方程为 5x 4y1. 2 答案A 6设圆C 与圆 x2(y3)21 外切，与直线y

4、0 相切，则C 的 圆心轨迹为() A抛物线 C椭圆 B双曲线 D圆 解析设圆 C 的半径为 r，则圆心 C 到直线 y0 的距离为 r.由 两圆外切可得，圆心 C 到点(0,3)的距离为 r1，也就是说，圆心 C 到点(0,3)的距离比到直线 y0 的距离大 1，故点 C 到点(0,3)的距离 和它到直线 y1 的距离相等，符合抛物线的特征，故点 C 的轨迹 为抛物线 答案A 7已知圆 x2y22x4y10 关于直线 2axby20(a，b R )对称，则 ab 的取值范围是() 1 A.，4 1 C.4，0 1 B.4， 1 D.0，4 解析由题意知，圆的方程为(x1)2(y2)24，圆心

5、坐标为 (1,2)，将圆心坐标代入直线方程得 2a2b2，即 ab1，平方 1 得 1a b 2ab4ab，所以 ab4. 22 答案A 8(2013全国大纲卷)已知抛物线 C：y28x 与点 M(2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A、B 两点，若MAMB0，则 k() 1 A.2 C. 2 2 B. 2 D2 1 解析由题意知 k0，设直线 AB 方程为 xky2，与抛物线交 于 A(x 1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 与抛物线方程联立得 ky28y16k 8 0，y 1y2k，y1y216.MAMB(x12)(x22)(y12)(y22) 22 y1y2

6、8 8 2 8 2 (y 12)(y22)0，整理并结合 y1y2k，y1y2 16 得 k24k40，解得 k2，故选 D. 答案D x2y2 9过双曲线a2b21(a0，b0)的右顶点 A 作斜率为1 的直 1 线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若AB2BC， 则双曲线的离心率是() A. 2 C. 5 B. 3 D. 10 解析直线 l：y xa 与渐近线l1：bxay0 交于 2 a2ab ab a ， ， B l 与渐近线 l 2： bxay0 交于 C A(a,0)， ，abab abab abab 2a2b2a2b ， 22 . AB ，BC 22ababa b

7、a b 1 aba2b AB2BC， 22 ，b2a，c2a24a2. aba b c2 e a 25，e 5，故选 C. 2 答案C 22xy 10已知抛物线 y24px(p0)与双曲线a2b21(a0，b0)有相 同的焦点 F，点 A 是两曲线的交点，且 AFx 轴，则双曲线的离心率 为() 51 A. 2 C. 31 B.21 2 21 D. 2 解析如图所示，由抛物线的定义知|AF|2p2c.再由双曲线的 定义知：|AF|AF|2a. 又|AF|4c24c22 2c， 2 2c2c2a. c1 ea 21. 21 答案B 11已知 P 为抛物线 x24y 上一个动点，Q 是圆(x4)2

8、y21 上一个动点，那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线准线的距离之 和的最小值是() A5 C. 171 B8 D. 52 解析由抛物线定义知， 点 P 到抛物线准线的距离等于到焦点的 距离， 所以问题转化为抛物线上的点到圆上的点和到焦点的距离之和 的最小值，易知此最小值即为圆心到焦点的距离减去圆的半径 抛物 线的焦点坐标为(0,1)，圆的圆心坐标为(4,0)，半径为 1，故点 P 到点 Q 的 距 离 与 点 P 到 抛 物 线 准 线 的 距 离 之 和 的 最 小 值 为 4020121，即 171. 答案C 12. (2013湖南卷)在等腰直角三角形 ABC 中，ABAC4

9、，点 P 是 边 AB 上异于 A，B 的一点光线从点 P 出发，经 BC，CA 反射后又 回到点 P(如图所示) 若光线 QR 经过ABC 的重心， 则 AP 等于() A2 8 C.3 B1 4 D.3 解析以 AB、AC 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标 4 4 系， 则A(0,0)， B(4,0)， C(0,4)， 则ABC的重心G3，3， 设APt(00) 的两个焦点，P 是 C 上一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小 内角为 30，则 C 的离心率为_ 解析不妨设|PF1|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a， 又结合|PF 1|PF2|6a，

10、从而|PF1|4a，|PF2|2a，|F1F2|2c，所以 |PF2|为最小边， 从而PF1F230， 由余弦定理得|PF2|2|PF1|2|F1F2|2 c 2|PF 1|F1F2|cos30，即 4a 16a 4c 8 3ac，解得a 3. 222 答案3 16 已知抛物线 y24x， 过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1， 2y1)、B(x2，y2)两点，则 y2 1y2的最小值是_ 解析(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为 x4，代入 y2 24x，得交点为(4,4)，(4，4)，y2 1y2161632. (2)当直线的斜率存在时，设直线方程为 yk(x4)，与 y24

11、x 4 联立，消去 x 得 ky 4y16k0，由题意知，k0，则 y 1y2k， 2 22y1y216.y1y2(y1y2)22y1y2 2 3232. 2 综合(1)(2)知(y 1y22)min32. 16 k 答案32 三、解答题：本大题共6 小题，共70 分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 x2y22 17 (本小题 10 分)已知椭圆 C： a2b21(ab0)的离心率为2 ， 其中左焦点 F(2,0) (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 yxm 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，且线段的中 点 M 在圆 x2y21 上，求 m 的值 解(1)由题意得c2， a b

12、 c ， 222 c2 a2 ， a2 解得 b2. 2， x2y2 椭圆 C 的方程为 8 4 1. (2)设点 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB 的中点为 22xy 8 4 1， M(x0，y0)，由 yxm 消 y 得，3x24mx2m280. 968m20，2 3m0， 3 3 解得40，直线 l 与抛物线 E 恒有两个不同的交点 M，N. x1x210k， 设 M(x 1，y1)，N(x2，y2)，则 x2100.x1 因为 SOCM4SOCN，所以|x 1|4|x2|. 又 x 1x20. 82bk 由根与系数的关系得，x 1x2k2 ， b2 x1x2

13、k2， y1y2 因为 x 轴是PBQ 的角平分线，所以， x11x21 即 y 1(x21)y2(x11)0， (kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0， 2kx1x2(bk)(x1x2)2b0， 将代入，得 2kb2(kb)(82bk)2k2b0， kb，此时 0， 直线 l 的方程为 yk(x1)， 直线 l 过定点(1,0) 22(本小题 12 分)(2013广东卷)已知抛物线 C 的顶点为原点， 3 2 其焦点 F(0，c)(c0)到直线 l：xy20 的距离为 2 .设 P 为直线 l 上的点，过点P 作抛物线 C 的两条切线 PA，PB，其中A，B 为切点 (1)求抛物线

14、C 的方程； (2)当点 P(x0，y0)为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程； (3)当点 P 在直线 l 上移动时，求|AF|BF|的最小值 |0c2| 3 2 解(1)依题意， 设抛物线 C 的方程为 x 4cy， 则 2 ， 2 2 结合 c0，解得 c1.所以抛物线 C 的方程为 x24y. 1 2 1 (2)抛物线 C 的方程为 x 4y，即 y4x，求导得 y2x. 2 22x1x2 设 A (x 1，y1)，B(x2，y2)(其中 y14 ，y 24 )，则切线 PA，PB 的 11 斜率分别为2x 1，2x2. 2x1x1x1 所以切线 PA 的方程为 yy 12 (xx1)，即 y 2 x 2 y 1，即 x1x2y2y10. 同理，可得切线 PB 的方程为 x 2x2y2y20. 因为切线 PA，PB 均过点 P(x 0，y0)，所以 x1x02y02y10，x2x0 2y 02y20. 所以(x 1，y1)，(x2，y2)为方程 x0 x2y02y0 的两组解 所以直线 AB 的方程为 x 0 x2y02y0. (3)由抛物线定义可知|AF|y11，|BF|y21， 所以|AF|BF|(y 11)(y21)