高考数学冲刺60天解题策略专题八 运用数学思想方法解题的策略 第一节运用函数与方程思想解题的策略

1、运用数学思想方法解题的策略运用数学思想方法解题的策略 函数的主干知识、 函数的综合应用以及函数与方程思想的考查， 一直是高考的重点内容 之一.高考试题中，既有灵活多变的客观性小题，又有一定能力要求的主观性大题，难度有 易有难，可以说是贯穿了数学高考整份试卷.高考中所占比重比较大，与函数相关的试题所 占比例始终在 20%左右，难度值一般控制在0.3 0.7之间. 考试要求：考查逻辑思维能力、等价转换能力、空间想象能力、运算能力、识别能力、 运用数学知识分析问题和解决问题能力.函数思想主要有： （1）引入变量，确定函数关系； （2）选定主元，揭示函数关系；(3)选取变元，构造函数关系；（4）实际问

2、题，建立函数 关系；（5）特殊函数，转化函数关系.方程思想主要有： （1）待定系数求解方程；（2）分 类思想讨论方程；（2）变量代换构造方程. 题型一题型一 构造函数和方程解题构造函数和方程解题 例例 1.1.已知 A.b D.b2 5bc 1， （a 、b、cR） ，则有（）. 5a 24ac B.b2 4ac C.b2 4ac 4ac 2 点拨：点拨： 方法一通过化简， 敏锐地抓住数与式的特点： 5看作是方程ax bxc 0的 2 一个实根，再利用一元二次方程有实数根的充要条件 0求得；方法二转化为b是a、c 的函数，运用重要不等式解题 解：解：方法一：依题设有5a 5bc 0 5是实系数

3、一元二次方程 ax2bxc 0的一个实根； b24ac0b2 4ac故选 B. 方法二：去分母，移项，两边平方得： 5b2 25a210acc210ac25ac 20ac b2 4ac故选 B. 易错点：易错点：不能合理地转化为b是a、c的函数或构造ax 2 2bxc 0来解题. 变式与引申变式与引申 1 1：(2009 年山东文科第 12 题)已知定义在R上的奇函数f (x)，满足 f (x4) f (x),且在区间0,2上是增函数,则( ). A.f (25) f (11) f (80)B.f (80) f (11) f (25) C.f (11) f (80) f (25)D.f (25

4、) f (80) f (11) 题型二题型二 函数、方程、不等式三者之间的相互转化函数、方程、不等式三者之间的相互转化 例例 2.2.已知f (t) log 2 ，t 2,8，对于f (t)值域内的所有实数m，不等式 t x2 mx 4 2m 4x恒成立，求x的取值范围 点拨：点拨： 首先明确本题是求x的取值范围， 这里注意另一个变量m， 不等式的左边恰是m 的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决.在多个字母变量的问题中，选准“主元” 往往是解题的关键 解：解：t 2,8，f (t) ,3，从而m ,3 原题转化为：m(x2)(x2) 0恒成立，为m的一次函数（这里思维的转化很重要） 当x

5、 2时，不等式不成立x 2 令g(m)m(x 2) (x 2)为m的一次函数，m ,3，问题转化为g(m)在 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1g( ) 0 ，解得：x 2或x 1m ,3上恒大于 0，则2 2 g(3) 0 易错点：易错点： “主元”的选取容易选错，误认为是关于x的二次函数，导致错误. 2 变式与引申变式与引申 2 2：设不等式mx2xm1 0对于满足m 2的所有m的值都成立， 求x的取值范围. 题型三题型三 函数与方程在解析几何中的应用函数与方程在解析几何中的应用 例例 3.3.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点. （1）求椭圆C

6、的方程； （2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离 等于 4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 点拨：点拨： （1）由右焦点的坐标F(2,0)求得c，设左焦点为F，由椭圆的定义求得 （2）假设直线存在，设出直线方程，并将直线 2a AF AF，进而得到椭圆C的方程； 方程和椭圆的方程联立，表示出直线OA与l的距离，由距离等于 4 列方程解得. 3 y xt 2 22 由 2 得3x 3txt 12 0,因为直线l与椭圆有公共点， 2 x y 1 1612 22 所以有 (3t) 43(t 12) 0解得4 3 t 4 3 另一方面，由直

7、线OA与l的距离为 4，可得 t 9 1 4 4，从而t 2 13 由于2 134 3,4 3，所以符合题意的直线l不存在. 易错点：易错点：忽略 0. 变式与引申变式与引申3 3：已知ABC的边AB边所在直线的方程为x3y 6 0 M(2， 0)满足 BM MC, 点T(11)，在 AC 边所在直线上，且满足AT AB 0 （I）求 AC 边所在直线的方程； （II）求ABC外接圆的方程； （III）若动圆过点N(2， 0)，且与ABC的外接圆外切， 求动圆的圆心的轨迹方程 题型四题型四应用函数与方程研究实际问题应用函数与方程研究实际问题 例例4.4.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正

8、在航行 的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西 30且 与该港口相距 20 海里的A处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设 该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； (3)是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮 船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由. 点拨：(1)首先把S表示为t的函数，再利用函数的性质求最小值.

9、 (2)把v表示为t的函数，再利用函数的性质求最小值. (3)把v表示为t的函数,由总能有两种不同的航行方向与轮船相遇, 把函数问题转化为一元二次方程的根的分布问题再去求解. 解解： （1）方法一：设相遇时小艇的航行距离为S海里，如图 8-2， 则 S 900t2400230t20cos(900300) 1 900t2600t 400900(t )2300 3 故当t 10 31 30 3 时，Smin10 3,v 1 3 3 即小艇以30 3海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小. 方法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方 向为 正北方向. 设小艇与

10、轮船在C处相遇.在RtOAC中，OC 20cos30 10 3AC 30t,OC vt 此时，轮船航行时间t 0 101 10 3 ,v 1 30 3 303 3 即小艇以30 3海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小. （2）设小艇与轮船在 B 处相遇由题意可得： (vt)2 900t2400230t20cos(900300) 化简得: v 2 40060013 2 11 由于，即 900 400( ) 6750 t 2， 2ttt42t 所以当 2时，v取得最小值10 13. 即小艇航行速度的最小值10 13海里/小时. （3）由（2）知 1 t v2 4006001 ，设 900

11、 u(u 0) 于是 t2tt 400u2600u 900v2 0 (*) 小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程(*)应有两个不等正根，即： 60021600(900v2) 0 ，解得15 3 v 30所以v的取值范围是(15 3,30) 2 900v 0 易易 错错 点点 ：（ 1 ） 不 能 建 立 正 确 的 函 数 关 系 S 900t2600t 400 以 及 v2 400600 900； t2t （2）对一元二次方程的根的分布不能做出正确判断. 变式与引申变式与引申 4 4： （2010 年湖北理科第 17 题）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗， 房屋的屋顶和外

12、墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的 隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm）满足关系：C(x) k (0 x 10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 3x5 8 万元.设f (x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. 本节主要考查：本节主要考查： （1）本节考查的是函数与方程的思想方法； （2）主观题即选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算， 解答题中，则是更深层 次地在知识网络的交汇处、从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查. 点点 评：评： 1.函数思想，是用运动和变化的

13、观点， 分析和研究数学中的数量关系， 建立函数关系或 构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.函数思想 是对函数概念的本质认识， 用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、 分析和解 决问题. 2.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系， 建立方程或方程组，或者构造 方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方 程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处 理问题.方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系. 3.(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数y f (x)，当y 0时，

14、就转化为方程 f (x) 0，也可以把函数式y f (x)看做二元方程y f (x) 0.函数问题（例如求函数 的值域等）可以转化为方程问题来求解， 方程问题也可以转化为函数问题来求解， 如解方程 f (x) 0，就是求函数y f (x)的零点. (2) 函数与不等式也可以相互转化， 对于函数y f (x)，当y 0时，就转化为不等式 f (x) 0，借助于函数图象与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式 . (3) 数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数， 用函数的观点处理数列问题十分 重要. (4) 函数f (x) (ax b)（nN）与二项式定理是密切相关的， 利用这个

15、函数用赋 值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题. (5) 解析几何中的许多问题， 例如直线和二次曲线的位置关系问题， 需要通过解二元方 程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论. (6) 立体几何中有关线段、角、 面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表 达式的方法加以解决. 习题习题 8-18-1 1.设f (x)是周期为 2 的奇函数，当 0x1 时，f (x)=2x(1 x)，则f ( )= (A) - n* 5 2 1111 (B) (C) (D) 4242 1 x ,对任意x1,), f (mx)mf (x) 0恒成立，则2.设函数 f (x) x 实数m的取

16、值范围是_. 2* 3设Sn为数列an的前n项和，Sn kn n，nN，其中k是常数 （1） 求a1及an； （2）若对于任意的mN，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值. * 4. 已知函数f (x) | lgx |.若0 a b,且f (a) f (b),求a2b的取值范围. x2y2 5.设F 1 ，F 2 分别为椭圆C : 2 2 1(a b 0)的左、 右焦点， 过F 2 的直线l与椭圆C相 ab o 交于A,B两点，直线l的倾斜角为60，F 1 到直线l的距离为2 3. uuuu ruuu u r （1）求椭圆C的焦距；（2）如果AF 2 2F 2B ,求椭圆C的方程. 【答案

17、】【答案】 变式与引申变式与引申 1 1 解：因为f (x)满足f (x4) f (x),所以f (x8) f (x), 所以函数是以 8 为周期的周期函数, 则f (25) f (1),f (80) f (0),f (11) f (3), 又因为f (x)在R上是奇函数， f (0) 0,得 f (80) f (0) 0,f (25) f (1) f (1), 而由f (x4) f (x)得f (11) f (3) f (3) f (1 4) f (1), 又因为f (x)在区间0,2上是增函数,所以f (1) f (0) 0,所以 f (1) 0, 即f (25) f (80) f (11

18、),故选 D. 变式与引申变式与引申 2 2： 解：令g(m) (x 1)m2x1为m的一次函数,m2,2 2 g(2) 0 7 1 x 问题转化为g(m)在m2,2上恒小于 0，则,解得： 2 g(2) 0 变式与引申变式与引申 3 3： 解： （I）AT AB 0 3 1 2 AT AB,又T在AC上 AC AB，ABC为RtABC, 又AB边所在直线的方程为x3y 6 0，所以直线 AC 的斜率为3 ，在直线 AC 上， 又因为点T(11) 所以 AC 边所在直线的方程为y1 3(x1)即3x y 2 0 C x3y6 0， ON 2)， （II）AC 与 AB 的交点为 A，所以由解得

19、点的坐标为(0， A3x y2 = 0 BM MC y M B M(2,0)为RtABC斜边上的中点,即为RtABC外接圆的圆心 22 又 r=AM (20) (02) 2 2 从ABC外接圆的方程为: (x2) y 8 （III）因为动圆过点N，所以PN是该圆的半径，又因为动圆与圆M外切， 所以PM PN 2 2， 即PM PN 2 2 故点的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2 2的双曲线的左支 因为实半轴长a 22 2，半焦距c 2 所以虚半轴长b c2a22 x2y2 1(x 2) 从而动圆的圆心的轨迹方程为 22 变式与引申变式与引申 4 4： 解：解： （1）设隔热层厚度为xcm，由题

20、设，每年能源消耗费用为C(x) 再由C(0) 8,得k 40，因此C(x) k 3x5 40 ，而建造费用为C1(x) 6x 3x5 最后得隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和为 f (x) 20C(x)C 1(x) 20 （2）f (x) 6 40800 6x 6x(0 x 10) 3x53x5 2400240025 6 ，令，即解得（舍去）x 5,x f (x) 0 (3x5)2(3x5)23 当0 x 5时，f (x) 0，当5 x 10时，f (x) 0 故x 5是f (x)的最小值点，对应的最小值为f (5) 65 当隔热层修建5cm厚时，总费用f (x)达到最小值 70 万元

21、. 习题习题 8-18-1 1.选 A. 解:先利用周期性，再利用奇偶性得: f ( ) f ( ) f ( ) 2.m 1.提示：由已知得f (x) x 800 70 155 5 2 1 2 1 2 1 . 2 1 为1,)上的增函数且m 0. x 若m 0，由复合函数的单调性可知f (mx)和mf (x)均为增函数，此时不符合题意. 1m111 mx 0 2mx(m) 0 1 2 2x2 mxxmxm 1 22 因为y 2x在x1,)上的最小值为 2，所以1 2 2，即m 1,解得m 1. m 3解： （1）解法一：当n 1,a1 S1 k 1， 故m 0，有mx n 2,a n S n S n1 kn2