总变差正则化的应用

1、总变差正则化方法的应用,如有雷同，纯属巧合！,数字图像复原过程是一个反卷积问题，由于观测图像无可避免的受到噪声的 影响，图像复原的过程无论是理论分析或是数值计算都有一定的困难,图像复原 最基本的任务是在去除由降质系统引入的噪声的同时，不丢失原始数据的细节信 息，然而抑制噪声和保持细节往往是一对矛盾，也是图像复原中至今尚未很好解 决的一个问题总变差正则化方法正是在这种背景下提出并发展起来的,总变差正则化方法发展背景,一般来讲，凡是由“效果、表现、输出反求“原因、原象、输入”的问题， 都称为反问题反问题应用前景广阔，已经成为数学发展中的热点问题之一求 解反问题的难点在于如何利用问题本身的特性及一些

2、处理手段将其转化为适定 问题，目前研究较为成熟完善的便是正则化理论，是由前苏联数学家Tikhonov (吉洪诺夫)于上个世纪60年代提出的 除此之外，截断奇异值分解和总变差正则化方法也 在反问题求解中取得了广泛的应用目前，反问题的研究主要集中在三个方面： (1)不适定性和正则化理论研究，主要是针对如何设计正则化算子使得求解更加 稳定；(2)正则化参数的选取方法及其快速求解算法，目前已经形成了各种迭代 求解算法：(3)反问题在具体的实际问题中的应用，比如医学图像、地理遥感、 通信控制等领域有很多问题可以从数学求解的角度将其归结为反问题,研究背景及意义:,图像复原是一类典型的反问题，起源于20世纪

3、50年代开始的苏联与美国的 太空竞赛I枷，当时的太空计划，如美国为获取月球表面影像等数据而进行的探 月计划(Ranger,19611965年)、为未来阿波罗登月计划进行筹备的月球轨道计划 (Lunar Orbiter,1966-1967年)、火星探测计划(Mariner Mission，19641965年)获得 了一批令人难以置信的地球与太阳系的图像这些图像的获取，代价极为高 昂 例如，火星探测计划中的Mariner 4，经过几亿千米的航行靠近火星，在1 万多千米的范围内，每48s获取一张200X200像素、每像素分辨率仅为3km的 电视图像，而且仅仅获得了22张这些图像传回地球用了4天的时间

4、按照比 特传输计算其成本，大约是每l比特消耗1000万美元在太空中获取图像，由 于相对较慢的成像速度与相对极快的飞行器速度，加上飞行器本身的震动等因 素，质量不高，需要进行后期的图像处理,图像复原是一种客观的图像处理任务，它要求根据退化的(模糊的)、含有噪 声的观测图像，复原出“精确的”原始图像而图像增强则主要是为 了做出适合人眼观看的改良图像，是主观的图像处理任务图像复原的基本手 段包括代数复原(最小二乘、奇异值分解、正则化技巧等)、统计复原(Bayes模 型、Markov随机场等)、分析复原模型(偏微分方程或者变分模型等)以及各种混 武汉理上大学硕士学位论文 合模型在图像复原模型中，起主导

5、作用的两个因素是保真性与光滑性前者 的目的是复原的图像与观测图像应当保持一致的图像特征，后者的目的是尽可 能使图像平滑以便消除图像中的噪声但是，在实际应用中的绝太多数模型内， 这两个因素实际上互相是冲突的在代数复原中，通常在保真项与正则化项之 间有一个可调节的正则化参数，用阻在保留图像特征和去噪之间做出适当的折 中,数字图像的成像过程可I=上用积分方程进行描述，对退化图像的复原过程可 以看作是一个反卷积问题，这是一类重要的反问题，由于观测图像无可避免的 受到噪声的影响，图像复原的过程无论是理论分析或是数值计算都有一定的困 难图像复原要求我们分析图像变质的原因，建立图像退化的数学模型，然后 沿着

6、逆向的过程来获得对原始图像的估计值 目前常用的图像复原的模型和方 法有很多，例如，基于统计的方法，由于噪声具有一定的统计模型，通过对噪 声模型的分析可以得到去除噪声的目的，维纳滤波就是一种基于统计的滤波方 法：基于频谱分析的方法，利用噪声往往在高频段的特点，通过频谱变换后去 掉高频信息而达到去噪的目的；正则化方法，通过Tikhonov正则化方法构造合 适的变分模型来进行复原；小波分析的方法，通过构造具有特殊性质的小波基 进行小波分解，然后对小波系数进行处理达到去噪的目的：PDE方法 图像复原最基本的任务是在去除由降质系统引入的噪声的同时，不丢失原始 数据的细节信息，将反问题的理论和方法应用于图

7、像处理，不失为一种有意义 的探索,总变差正则化方法的数学模型,图像复原是一个不适定(病态)的问题，即解不能同时满足存在、唯一和连 续，图像复原的结果受噪声的干扰很大正则化方法通过引入一定约束将图像 复原转换成适定(良态)问题，能确保图像复原结果的存在、唯一和受噪声干 扰较小，因而正则化方法对于图像复原来说是一种有效的方法图像复原的目 的是为了复原在成像和传输过程中被模糊的边缘和纹理细节，并抑制噪声，以 增加图像的信息量和改善图像的视觉效果在图像中，由于噪声和边缘都对应 着高频成分，因此在图像复原过程中保持边缘和抑制噪声是一对难于调和的矛 盾相对于其它的图像复原方法，正则化方法在保持图像边缘与平

8、滑噪声问题 上具有更好的特性，因而是一种更受人关注的方法 Tikhonov正则化也称为线性正则化，其基本想法是限制解为一平滑解，因 而，采用以上方法所得到的解常常过分平滑(丢失了图像细节)并会引入寄生 波纹，而在实际的图像复原应用中，解的平滑常常是不希望的，因为实际图像 总有许多棱边和点构成的特征细节，损失这些细节就意味着丢失信息；另一方 面，图像的特征细节常常难于和噪声相区别，为克服或缓解这些矛盾，近十年 来人们一直在致力研究可以保持图像边缘特征的正则化方法I玎1 图像是以存在的突变(边缘)为其故有特征的，若以九Vz|l。作为平滑性的度 ， 。 量，则它将特别强调对大的梯度的“惩罚”，这与图像的故有