数学分析-第二十二章-曲面积分

1、第二十二章 曲面积分,1 第一型曲面积分,2 第二型曲面积分,3 高斯公式与斯托克斯公式,一、概念的引入,实例,所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.,1 第一型曲面积分,分割,取近似,求和,取极限,匀质之质量,非匀质之质量，用元素法解决,定义1 设 S 为可求面积的曲面,为定义在 S 上的函数. 对曲面 S 作分割 T , 将 S 分成,n 个小曲面块Si ( i = 1, 2, . . . , n ) , Si 的面积记为,在 Si 任取一点,若极限,存在, 则称此极限为 f ( x, y, z ) 在 S 上的第一型,曲面积分, 记作,即,2.

2、对面积的曲面积分的性质,特别，,3. 用曲面积分表示与物质曲面有关的物理量,按照曲面的不同情况分为以下三种：,记忆口诀：“ 一投，二换，三代 ”.,二 第一型曲面积分的计算, 则,三代：,二换：,一投：, 则,三代：,二换：,一投：,注：,（1）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则 可利用可加性，分块计算，结果相加,（2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程 即方程的表达形式,（3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是 把被积函数化为二元函数,（4）切记任何时候都要换面积元,（5）若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS,的表达式 ,也可将对面积的曲面积分转化为对,参数的二重积分.

3、,定理22.1 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 S 上连续,则,第一型曲面积分的计算的证明,证明 由定义知,而,(光滑),例1,解,思考:,若 是球面,被平行平面 z =h 截,出的上下两部分,则,例2,解,所以，,例3,解,例4,解,例5,解,（左右两片投影相同）,例6 计算曲面积分,其中 S 为立体,的边界曲面.,解,设,所以,例7 计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,分析 若将曲面分为前后(或左右),则,解 取曲面面积元素,两片,则计算较繁.,例8 计算,解 取球面坐标系, 则,四、小结,2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上 的二重积分计算.,1、对面积的曲面积分的概

4、念;,（按照曲面的不同情况分为三种）,作业：P282: 1 (1)(4)，2，3.,思考题,在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中, 有因子 , 试说明这个因子的几何意义.,思考题解答,是曲面元的面积,故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数.,练 习 题,练习题答案,第二十二章 曲面积分,2第二型曲面积分, 曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),一、基本概念,设连通曲面 S 上处处有连续,设 M0 为曲面 S 上一点，确定,方向为正方向，另一个方向为负方向.,L 为 S 上任一经过点 M0 且不超出 S 边界的闭曲线.

5、,设点 M 从 M0 出发，沿 L 连续移动， M 在 M0 点与M0,变动的切平面（或法线）,曲面在M0 点的一个法线,有相同的法线方向，,当点 M 连续移动时，其法线方向,也连续变动，最后当 M 沿 L 回到M0 时，若这时 M 的,法线方向仍与 M0 点的法线方向一致，则称此曲面 S 为,双侧曲面；若与 M0 的法线方向相反，则称 S 为单侧曲,面,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,典型双侧曲面,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,播放,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,决定了侧的曲面称为有向曲面.,方向余弦, 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧,外侧 内侧,侧的规定,曲面

6、的投影问题:,类似地可定义,二、概念的引入,实例: 流向曲面一侧的流量.,1. 分割,则该点流速为 .,法向量为 .,2. 求和,3.取极限,三、概念及性质,积分曲面,被积函数,有向面积元,类似可定义,存在条件:,组合形式:,物理意义:,性质:,四、计算法,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式,概括为：,代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入 被积函数，将其化成二元函数,投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy） 中两个变量同名的坐标面上（如xoy 面）,定号： 由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分 的正负号,一代、二投、三定

7、号、四换域,换域： 改变积分域，曲面变投影域,注,积分曲面的方程必须表示为单值显函数 否则分片计算，结果相加,确定正负号的原则： 曲面取上侧、前侧、右侧时为正 曲面取下侧、后侧、左侧时为负,解,例1 计算曲面积分,其中 S 为球面,外侧在第一和第五卦限部分.,把 S 分为上下两部分,思考,例2 计算,平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 所围成的 空间区域的整个边界曲面的外侧,o,x,y,z,解,分成四个部分,左侧,下侧,后侧,上侧,同理,同理,注:,对坐标的曲面积分的对称性,被积表达式具有轮换对称性，即将被积 表达式中的所有字母按,x,y,z,顺序

8、代换后原式不变,积分曲面及其侧具有对称性，这是指曲面 在各坐标面上的投影区域均相同，且配给 的符号也相同,例3 计算,其中 S 是以原点为中心, 边长为 2 的正立方,体的整个表面的外侧.,解,其中 S1 是 S 的顶部,取上侧,S2 是S 的底部,取下侧,由对称性，有,例4 计算,其中 S 是球面,取外侧为正向.,解,设 S1 是上半球面,取上侧,S2 是下半球面,取下侧,在 xy 坐标面上的投影区域,先计算积分,同理可得,所以,设光滑曲面 S ，其指定一侧的法方向余弦为：,则沿曲面 S 指定一侧的曲面积分,五、两类曲面积分的联系,一般地有,其中,为曲面 S 指定一侧的法方向余弦.,向量形式

9、,解,1. 定义,六、小结,2. 性质,3. 计算,设,上正下负,两类曲面积分的联系:,4、物理意义,5、计算时应注意以下两点,思考题,思考题解答,此时 的左侧为负侧，,而 的左侧为正侧.,练 习 题,练习题答案,第二十二章 曲面积分,3 高斯(Gauss)公式与 斯托克斯(stokes)公式,一 问题的提出,前面我们将 Newton-Lebniz 公式推广到了平面区域的情况，得到了Green 公式。此公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。下面我们再把Green 公式做进一步推广，这就是下面将要介绍的Gauss 公式，Gauss 公式表达了空间闭区域上的三重积分与

10、其边界曲面上的曲面积分之间的关系，同时Gauss 公式也是计算曲面积分的一有效方法。,二、高 斯 公 式,1. 定理:,证明,根据三重积分的计算法,根据曲面积分的计算法,投影法（先一后二法）,同理,-高斯公式,和并以上三式得：,Gauss公式的实质,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.,由两类曲面积分之间的关系知,注,不满足上述条件，可以引进若干张辅助曲面,分成几个有限的小区域使之都满足上述条件,注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分绝对值 相等，而符号相反，相加时正好抵消，因此上述公 式对这样的区域也成立，,故一般地,1. 若,2.公式成立的条件,根据Gauss

11、公式，用三重积分来计算曲面积分是比较方便的，但Gauss 公式同时也说明，可用曲面积分来计算三重积分,三 高斯公式的简单应用,解,(利用柱面坐标得),思考: 若 改为内侧, 结果有何变化?,若 为圆柱侧面(取外侧) , 又如何计算?,解,空间曲面在 面上的投影域为,曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式,故所求积分为,例3,计算,其中 S 是由 x = y = z = 0, x = y = z = a 六个平面所,围的正立方体表面并取外侧为正向.,解,例1,计算,所围的空间区域的表面，方向取外侧.,解,其中 S 为锥面,与平面,课堂练习,设 S1 为上半球体的底面，,例3,计算,的外侧.,解,其中

12、 S 是上半球面,取下侧.,于是,(1). 通量的定义:,3. 物理意义:,(2). 散度的定义:,散度在直角坐标系下的形式,积分中值定理,两边取极限,高斯公式可写成,高斯(1777 1855),德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域 ,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创,性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等.,他在学术上十分谨慎,原则:,代数、非欧几何、 微分几何、 超几何,在对天文学、大,恪守这样的,“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.,斯托克斯公式

13、建立了沿曲面 S 的曲面积分与沿 S,的边界曲线 L 的曲线积分之间的联系.,对曲面 S 的侧与其边界曲线 L 的方向作如下规定：,设人站在曲面 S 上的指定一侧，沿边界曲线 L 行走，,指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线,L 的正向.,这个规定方法也称为右手法则.,二 斯托克斯(stokes)公式,斯托克斯公式,右手法则,是有向曲面 的 正向边界曲线,证明,如图,思路,曲面积分,1,二重积分,2,曲线积分,1,根椐格林公式,平面有向曲线,2,空间有向曲线,同理可证,故有结论成立.,情形2,则可通过作辅助线把 分成与z 轴只交,于一点的几部分,在每一部分上应用,斯托克斯公式, 然后

14、相加,由于沿辅助曲线,方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.,证毕,曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个,便于记忆形式,另一种形式,斯托克斯公式的实质：,例1 利用斯托克斯公式计算积分,其中 L 为平面 x+ y+ z = 1 与各坐标面的交线，,解,取逆时针方向为正向如图所示.,记三角形ABC为 S , 取上侧, 则,解,则,即,例3 利用斯托克斯公式计算积分,其中 L 为 y2+ z2 = 1 , x = y 所交的椭圆正向.,解,记以 L 为边界的椭圆面为 S , 其方向按,右手法则确定，于是有,空间曲线积分与路径无关的条件,定理22.5,设 是空间单连

15、通区域, 函数 P, Q, R,在上具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:,(1) 对 内任一按段光滑闭曲线 L, 有,(2) 对 内任一按段光滑曲线 L,与路径无关,(4) 在 内处处有,(3) 在 内存在某一函数 u, 使,与路径无关,解: 令, 积分与路径无关,因此,例4. 验证曲线积分,并求函数,五、物理意义-环流量与旋度,1. 环流量的定义:,利用stokes公式, 有,2. 旋度的定义:,斯托克斯公式的又一种形式,其中,斯托克斯公式的向量形式,其中,Stokes公式的物理解释:,三、小结,3、应用的条件,4、物理意义,2、高斯公式的实质,1、高斯公式,6, 斯托克斯公式成立的

16、条件,5, 斯托克斯公式,作业: P295: 1, 2, 3, 4, 5.,思考题解答,曲面应是分片光滑的闭曲面.,思考题,曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？,练习题,练习题答案,斯托克斯(1819-1903),英国数学物理学家.,他是19世纪英国,数学物理学派的重要代表人物之一,其,主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题,的有效且一般的新方法,在1845年他导,出了著名的粘性流体运动方程 ( 后称之,为纳维 斯托克斯方程 ),1847年先于,柯西提出了一致收敛的概念.,他提出的斯托克斯公式,是向量分析的基本公式.,他一生的工作先后分 五卷,出版 .,曲线积分与曲面积分习题课,（一）曲线积分与曲面积分,（二）各种积分之间的联系,（三）场论初步,一、主要内容,曲线积分,曲面积分,对面积的 曲面积分,对坐标的 曲面积分,对弧长的 曲线积分,对坐标的 曲线积分,定义,计算,定义,计算,（一）曲线积分与曲面积分,定积分,曲线积分,重积分,曲面积分,计算,计算,计算,Green公式,Stokes公式,Guass公式,（二）各种积分之间的联系,积分概念的联系,定积分,二重积分,曲面积分,曲线积分,三重积分,曲线积分,计算上的联系,其中,理论上的联系,1.定积分与不定积分的联系,牛顿-莱布尼茨公式,2.二重积分与曲线积分的联系,格林公式,3.三重积分与曲面积分的联系,高斯公式,4.曲