有限元法的理论基础

1、计算固体力学,王志华 应用力学与生物医学工程研究所 太原理工大学 E-mail：wangzhihua Tel:13099078467,预备知识 第一章 有限单元法的理论基础 1.1微分方程的等效积分形式 1.2加权余量法 1.3变分原理,主要内容,弹性力学的基本假设,预备知识,一、连续性假设 弹性理论同其他宏观物理学一样，不考虑实际工程材料细观粒子结构。 1. 物体抽象成连续密实的空间几何体，位移、应变、应力、能量等物理量作为空间点位置的函数定义在这个几何体上。 2. 物体在整个变形过程中始终保持连续，即：定义在该连续介质上的物理性质和物理量除了在某些孤立的点、线、

2、面上可能奇异或间断外，在变形过程中始终保持为空间点位的连续函数。,预备知识,二、弹性假设 弹性体的变形与载荷在整个加载和卸载过程中存在一一对应的单值函数关系，且载荷卸去后变形完全消失。 应力小于弹性极限时应力应变关系是线性的。服从虎克定律。 小变形情况下，应变和位移导数间的关系是线性的。,预备知识,三、均匀性假设 物体在各点处的弹性性质都相同。 四、自然状态假设 假设物体不受外力作用和温度的影响，物体便没有应力和变形，即不考虑由于制造工艺引起的残余应力和装配应力。,预备知识,弹性力学问题的矩阵表示,预备知识,一、基本物理量 位移： 应变： 应力：,预备知识,一、场方程 几何方程：,预备知识,预

3、备知识,物理方程： 这里假设材料是各向同性的。,预备知识,注： 表示工程切应变，它们与张量切应变 的关系为：,预备知识,在平面问题中的弹性矩阵： 平面应力问题： 平面应变问题：,预备知识,平衡方程：,预备知识,边界条件： 力边界： 位移边界：,预备知识,本章重点和应掌握的内容 本章重点和应掌握的内容微分方程的等效积分形式及其“弱”形式的实质和构造方法，任意函数和场函数应满足的条件。 不同形式加权余量法中权函数的形式和近似解的求解步骤，以及Galerkin法的特点。 线性自伴随微分方程的变分原理的构造方法和泛函的性质，以及自然边界条件和强制边界条件的区别。,第1章 有限元法的理论基础,经典Rit

4、z方法的求解步骤、收敛条件及其局限性 两种形式虚功原理（虚位移原理和虚应力原理）的实质和构造方法。 从虚功原理导出最小位能原理和最小余能原理的途径，各自的性质以及场函数事先应满足的条件,第1章 有限元法的理论基础,本章含盖三节内容： 1.1 微分方程的等效积分形式 1. 2 加权余量法 1. 3变分原理,第1章 有限元法的理论基础,1.1 微分方程的等效积分形式,第1章 有限元法的理论基础,1.1微分方程的等效积分形式,微分方程： 微分方程是联系自变量x，未知函数u(x)和它的某些阶导数 的关系式：,1.1微分方程的等效积分形式,求解微分方程的方法有： 解析法； 半解析法； 数值法；,1.1微

5、分方程的等效积分形式,数值法主要包括： 有限差分法将微分方程化为差分形式，求近似解； 加权余量法将转化为加权积分形式，求近似解； 有限元法将转化为能量取驻值问题，并采用分片插值； 边界元法在边界上进行离散； 无网格法近似函数建立在离散点上，不需网格。,1.1.1微分方程的等效积分形式 一、连续介质问题微分方程的一般表达式 且 满足边界条件： 表示对独立变量(时间，空间) 的微分算子。,1.1微分方程的等效积分形式,1.1.1微分方程的等效积分形式,1.1微分方程的等效积分形式,1.1.1微分方程的等效积分形式,1.1微分方程的等效积分形式,1.1.1微分方程的等效积分形式,1.1微分方程的等效

6、积分形式,1.1.1微分方程的等效积分形式,1.1微分方程的等效积分形式,1.1.1微分方程的等效积分形式,1.1微分方程的等效积分形式,1.1.1微分方程的等效积分形式,1.1微分方程的等效积分形式,1.1.1微分方程的等效积分形式,1.1微分方程的等效积分形式,1.1.1微分方程的等效积分形式,1.1微分方程的等效积分形式,1.1.1微分方程的等效积分形式,1.1微分方程的等效积分形式,1.1.1微分方程的等效积分形式,1.1微分方程的等效积分形式,1.1.1微分方程的等效积分形式,1.1微分方程的等效积分形式,微分方程的等效积分形式,例： 图1：u为一个连续函数，满足C0连续 图2：有一

7、个一阶不连续点，但一阶导可积。 图3：二阶导数在区域内趋于无穷，使积分不能进行。,1.1.2微分方程的等效积分的弱形式,1.1微分方程的等效积分形式,一、构造“弱形式”目的 降低对未知函数的连续性的要求,假设：微分方程中，微分算子的 最高阶导数为2m；,1.1.2微分方程的等效积分的弱形式,1.1微分方程的等效积分形式,1.1.2微分方程的等效积分的弱形式,1.1微分方程的等效积分形式,1.1.2微分方程的等效积分的弱形式,1.1微分方程的等效积分形式,3) 代价是提高对任意函数 和 的连续性要求。 4) 在物理上更符合实际问题对连续性的要求。 5) 若 和 取特定函数，则为加权余量法 的不同

8、格式。,1.1.2微分方程的等效积分的弱形式,1.1微分方程的等效积分形式,例：简支梁的弯曲问题,微分方程和边界条件,1.1.2微分方程的等效积分的弱形式,1.1微分方程的等效积分形式,微分方程的等效积分形式如下：,对该等效积分形式 要求在域内， w 为三阶导数连续 ，很难实现 。,1.1.2微分方程的等效积分的弱形式,1.1微分方程的等效积分形式,等效积分弱形式：,对等效积分弱形式 要求在域内， w 一阶导数连续即可。,1.1.2微分方程的等效积分的弱形式,1.1微分方程的等效积分形式,方程的分类： 1）稳态问题（平衡边值问题） 场函数 解只与位置坐标有关,1.1.2微分方程的等效积分的弱形

9、式,1.1微分方程的等效积分形式,方程的分类： 1）瞬态问题（传播问题，初边值问题） 场函数 为空间与时间的函数 、可以理解为时-空域，t为开域（0，） t=0可以认为是初值条件,1.1.2微分方程的等效积分的弱形式,1.1微分方程的等效积分形式,方程的分类： 1）特征值问题 若要有非零解 某些参数取特定值 取决于问题的物理、几何特性,1.2 加权余量法,第1章 有限元法的理论基础,1.2 加权余量法,加权余量法的基本思想 加权余量法是： 基于等效积分形式或等效积分弱形式的近似方法。,1.2 加权余量法,设：定解问题,1.2 加权余量法,1.构造近似解,1.2 加权余量法,那么，当n有限时，方

10、程存在偏差（余量） 即：在域内 在边界上,1.2 加权余量法,等效积分形式：,1.2 加权余量法,2.以加权意义上为零，形成求解方程组 （等效积分的解析式） 即： 或： 为权函数，（预先设定）线性无关。 作用：强迫余量在某种平均意义上等于零,1.2 加权余量法,1.2 加权余量法,3. 加权余量法的关键(两种函数的选择) 1）与等效积分形式不同：一个是精确解，而加权余量法得到的为是近似解。 a.近似表达式为有限项。 b.对某些特定的权函数（非任意 ） 2）试函数：如能满足一定的域内条件或边界条件，使问题简化，且有一定的精确度。 3）权函数：不同的权函数，涉及不同的计算格式。 例如：,1.2 加

11、权余量法,采用使余量的加权积分为零的等效积分的“弱”形式 ，来求得微分方程近似解的方法称为加权余量法 。 它是求微分方程近似解的一种有效方法。,1.2 加权余量法,加权余量法常用的几种常用方案 为了讨论方便，不失一般性，认为 已满足边界条件，因此仅剩域内积分项； 为线性微分算子，可用 表示。,1.2 加权余量法,1.配点法 取: 则有: 注：,1.2 加权余量法,1.配点法,1.2 加权余量法,1.配点法,1.2 加权余量法,1.配点法,1.2 加权余量法,1.配点法,1.2 加权余量法,1.配点法,这种方法相当于简单地强迫若干个在 域内的点上余量等于零。 说明：Kij 非对称，不用求积分。,

12、1.2 加权余量法,2.最小二乘法 最小二乘法是加权余量法的一种。 标准最小二乘法是： 要使域 内每一点的残数（或误差）的平方和最小，或平方的积分最小。,1.2 加权余量法,2.最小二乘法,1.2 加权余量法,2.最小二乘法,1.2 加权余量法,2.最小二乘法,1.2 加权余量法,2.最小二乘法,1.2 加权余量法,2.最小二乘法,可见：矩阵对称，但需要数值积分,1.2 加权余量法,3.伽辽金（Galerkin ）法,非对称，系数矩阵含积分运算。,若自伴随问题 利用格林公式,可以构造有限元格式,1.2 加权余量法,3.伽辽金（Galerkin ）法,说明： 如果要形成有限元格式，则希望得到对称

13、 系数矩阵，同时希望积分中的微分阶数降低。 Galerkin加权余量法（见后）,1.2 加权余量法,3.伽辽金（Galerkin ）法,1.2 加权余量法,3.伽辽金（Galerkin ）法,如果L为二阶微分算子，则C、D均为一阶。 如果L为四阶微分算子，则C、D均为二阶。 如果L为自伴随算子，第一项将得到对称系数矩阵。,1.2 加权余量法,3.伽辽金（Galerkin ）法,例：二维稳态热传导方程（ Galerkin 格式）,1.2 加权余量法,3.伽辽金（Galerkin ）法,1.2 加权余量法,3.伽辽金（Galerkin ）法,1.2 加权余量法,3.伽辽金（Galerkin ）法,

14、1.2 加权余量法,利用格林公式分部积分,1.2 加权余量法,不考虑温度边界条件，上式整理得： 其中：,1.2 加权余量法,说明： （1）由 Galerkin 法得到与变分法相一致的方程形式，与有限元格式类似。 （2）如离散后采用上法，即可得到有限元格式。 （3）如果一个问题存在变分泛函，则采用加权 余量法 Galerlin 格式与变分方法可得相同结果的方程。,变分原理 自然变分原理 修正泛函的变分原理,有限元法的理论基础,线性、自伴随微分算子 如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则： 不仅可以建立它的等效积分形式，并可利用加权余量法求其近似解； 还可建立与之相等效的变分原理，基于它的另一种近

15、似求解方法Ritz法,自然变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,线性、自伴随微分方程的定义： 微分方程： 为微分算子 若 具有性质： 则称 为线性微分算子。,有限元法的理论基础-变分原理,自然变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,自然变分原理,泛函的构造 设有微分方程：,有限元法的理论基础-变分原理,自然变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,自然变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,自然变分原理,自然变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,变分原理是针对以下积分形式定义的标量泛函而言，,有限元法的理论基础-变分原理,自然变分原理,原问题微分方程和边界条件的等效积分Galerkin 提法

16、等效于泛函取驻值。反之泛函取驻值则等效于微分方程和边界条件。 这里泛函可以通过等效积分的Galerkin提法得到。 这种变分原理称为自然变分原理。 例如，弹性力学中的最小位能原理、粘性流体中最小能力耗散原理，称为自然变分原理。,有限元法的理论基础-变分原理,自然变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,自然变分原理,最小位能原理： 真实位移使体系总位能取极小值， 即：,有限元法的理论基础-变分原理,自然变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,自然变分原理,自然变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,Ritz（里兹）法基于变分原理的近似解法 求解步骤 假设近似解： 为待定参数，满足强制边界条件。

17、将 代入 泛函 的极值问题（求函数u），转化为求多元（ ）函数的极值问题。,有限元法的理论基础-变分原理,求解线性方程组,有限元法的理论基础-变分原理,解的收敛性 1) 连续性要求 满足Cm-1 阶连续性 2) 完备性要求 取自完备的函数序列,有限元法的理论基础-变分原理,特点 1) 近似解对全域而言 2) 试探函数要求满足一定的边界条件，近似解 的精度与试探函数的选择有密切关系。 3) 待定系数不表示特定的物理意义。 4) 如果我们对问题了解比较清楚，能找到合适 的试函数，可以说事半功倍，但缺乏一般性。,有限元法的理论基础-变分原理,提示 经典意义上的泛函变分理论只适应于线性自伴随 微分方程

18、。 2) 收敛性有严格的理论基础（泛函分析）。 3) 事先满足强制边界条件，则解有明确的上下界性质。如不事先满足，需要进行处理(约束变分原理)。,有限元法的理论基础-变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,关于强制边界条件与自然边界条件 若微分算子是线性自伴随的， Galerkin法的等效积分形式 问题泛函 近似场函数 应满足强制边界条件,假如微分算子是2m阶 0至m-1阶导的边界条件称为强制边界条件 m至2m-1阶导的边界条件称为自然边界条件 未知场函数无需事先满足自然边界条件,有限元法的理论基础-变分原理,关于泛函取极值 根据Galerkin格式或变分原理， 微分算子线性自伴随： 假设微分

19、算子L的最高阶导数是2m偶数阶， 则：,有限元法的理论基础-变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,关于解的下限性：,有限元法的理论基础-变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,最小余能原理： 真实解使得系统的总余能最小。 考虑平衡方程：,有限元法的理论基础-变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,最小势能原理解的下限性： 由能量守恒定理知： 变形过程中的功等于弹性体变形后的应变能。,有限元法的理论基础-变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,同样的分析得到： 由最小余能原理

20、得到的近似应力场， 总体偏大。,有限元法的理论基础-变分原理,修正泛函变分原理 建立了自然变分原理后, 问题的解为泛函取驻值。,有限元法的理论基础-变分原理,修正泛函（约束）变分原理,但是未知函数 往往还需要服从一些附加条件， 约束条件 把这些变分原理称之为： “具有附加条件的变分原理”。,修正泛函（约束）变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,解决的办法 可以将附加条件引入泛函，重新构造一个“修正泛函”，把原问题转化为求修正泛函的驻值问题。 常用方法：Lagrange 乘子法，罚函数法。,修正泛函（约束）变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,2. Lagrange 乘子法（乘子法）,修正泛

21、函（约束）变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,修正泛函（约束）变分原理,2. Lagrange 乘子法（乘子法）,有限元法的理论基础-变分原理,修正泛函（约束）变分原理,2. Lagrange 乘子法（乘子法）,修正泛函（约束）变分原理,2. Lagrange 乘子法（乘子法）,有限元法的理论基础-变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,修正泛函（约束）变分原理,2. Lagrange 乘子法（乘子法）,讨论（放松约束条件的代价）： 1) 很明显方程的 阶数增加了。 2) 方程的系数矩阵主元（对角元素）出现零元素 ，对求 解方程增加了困难。（不能用一般的消元法

22、） 3) 一般的物理问题中得到的自然变分问题 是一极值问题。 而对修正的泛函，由于 附加项的积分性质不清，一般 为驻值问 题。（ 不再有极值性质 ） 4) 利用 乘子法，可以得到弹性力学各种 变分原理的转换。,修正泛函（约束）变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,3. 罚函数,对为极小值问题，取正数； 值越大，约束条件满足的越好。(近似性越好) 这种方法好处很明显，不增加任何未知函数。 ( 是事先给定的),有限元法的理论基础-变分原理,修正泛函（约束）变分原理,例：极值问题（函数极值问题）,有限元法的理论基础-变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,讨论：,有限元法的理论基础-变分原理,修正

23、泛函（约束）变分原理,修正泛函（约束）变分原理,有限元法的理论基础-变分原理,讨论：,关键概念： 等效积分形式 等效积分“弱”形式 加权余量法 Galerkin方法 线性自伴随算子 泛函和变分原理 强制边界条件 自然边界条件 泛函的驻值和极值 Ritz方法 虚位移原理 虚应力原理 最小位能原理 最小余能原理,有限元法的理论基础,有限元法的理论基础-课后作业,等效积分形式和等效积分“弱”形式的区别何在？为何后者在数值分析中得到更多的应用？ 不同形式的加权余量法之间的区别，你能提出其它形式的加权余量法吗？ 加权余量法的Galerkin方法特点， 自然边界条件和强制边界条件的区别 里兹法的特点及优缺点，与Galerkin方法的异同 虚功原理有