数学史选讲 (2)

1、数学史选讲,什么是数学？ 历史的理解,1、公元前4世纪的希腊哲学家亚里士多德将数学定义为：“数学是量的科学”。 2、16世纪，英国哲学家培根（F.Bacon，1561-1626）将数学分为“纯粹数学”（pure mathematics）与“混合数学”（mixed mathematics）。 3、在17世纪，笛卡尔（R.Deacartes，1596-1650）认为：凡是以研究顺序（order）和度量（measure）为目的的科学都与数学有关。 4、在19世纪恩格斯还是这样来论述数学的本质：“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关系”，即数学可以定义为：数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科

2、学。,5、在19世纪晚期，集合论的创始人康托尔（G.Cantor，1845-1918）曾经提出：“数学是绝对自由发展的学科，它只服从明显的思维。就是说它的概念必须摆脱自相矛盾，并且必须通过定义而确定地、有秩序地与先前已经建立和存在的概念相联系”。 6、20世纪50年代，前苏联一批有影响的数学家试图修正前面提到的恩格斯的定义来概括现代数学发展的特征：“现代数学就是各种量之间的可能的，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的数学”。,7、从20世纪80年代开始，又出现了对数学的定义作符合时代的修正的新尝试。主要是一批美国学者，将数学简单地定义为关于“模式”（pattern）的科学：“数学这个领域已

3、被称作模式的科学（science of pattern），其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性”。,数学分为三大块：,1、代数 （初等代数、高等代数、抽象代数） 2、几何 （欧氏几何、非欧几何、解析几何、高等几何、微分几何、射影几何、分形几何） 3、分析（数学分析、概率论）,第一部分： 代数学,1.1代数学发展概述,一、初等代数的形成,初等代数的形成，大致经历过萌芽和积累阶段，“半符号代数”阶段和符号代数阶段。,1、初等代数的萌芽和积累,初等代数是代数学的古典部分，它的萌芽可以追溯到公元前1700年以前，它是随着解方程（组）而产生，并积累和发展起来的。,在代数

4、学的早期历史上，中国的代数占有重要的地位。大约在公元前50年左右成书的九章算术就有不少代数的成就，其中有“正负术”和有一整套的有理数运算法则，为代数学的发展提供了良好的基础。它的“开方术”给出了形如 的方程的解；“开带从平方法”给出了形如 的二次方程的解；它的“方程术”则给出了线性方程组的筹式解法；此书的“开立方术”给出了形如 的方程的解。在公元5世纪，祖冲之（429500年）给出了形如 的三次方程的数值解法，并且在11世纪由贾宪等人创立“増乘开方法”，解决了高次方程的求数值根问题。,2、“半符号代数”,公元3世纪，希腊数学家丢番图（Diophantus，约246-330年）发表著作算术，其中

5、包括数论和不定方程在内，故实际上它是一部讨论数的运算和方程的“代数学”。,丢番图对代数的贡献主要有两个：一是对不定方程作了较广泛而系统的研究；二是采用字母来表示未知数和一些运算符号。当然，他所用的符号只是一种文字的缩写形式。丢番图的这种缩写代数正处于以埃及和巴比伦为代表的文字代数与后来的韦达所创立的符号代数之间，故有人称之为“半符号代数”。,对于丢番图的生平知道得非常少。他唯一的简历是从希腊诗文集中找到的。这是由麦特罗尔写的丢番图的“墓志铭”。“墓志铭”是用诗歌形式写成的： “过路的人！ 这儿埋葬着丢番图。 请计算下列数目， 便可知他一生经过了多少寒暑。 他一生的六分之一是幸福的童年， 十二分

6、之一是无忧无虑的少年。 再过去七分之一的年程， 他建立了幸福的家庭。 五年后儿子出生， 不料儿子竟先其父四年而终， 只活到父亲岁数的一半。 晚年丧子老人真可怜， 悲痛之中度过了风烛残年。,请你算一算，丢番图活到多大，才和死神见面？丢番图到底活到多少岁？,解：设丢番图x岁。 1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4=x 25/28x+9=x -3/28x=-9 x=84 答：丢番图的寿命为84岁。,还有一种运用小学六年级知识的方法： 画图 从图中可以看出丢番图一生的的（二分之一-六分之一-十二分之一-七分之一）就是（4+5）岁， 那么可列式：9（二分之一-六分之一-十二分之一-七分之一）

7、=84（岁），因此丢番图活了84岁。,3、符号代数,15世纪，欧洲的文艺复兴运动，解放了生产力并促进了科学的发展，其中代数学的发展尤为突出。对于代数的兴趣，主要是由于进行地理探险需要有准确的天文知识，需要有更合理的推测和计算，要求编制出更好的天文数表，以及制作三角函数表，这就对解方程和处理恒等式提出了更高的要求。同时，来自建筑、军火制造、航海和贸易的需要，也要求代数给出科学的定量分析，以及要求代数能提供表示曲线的方法。这些需要就促进了代数学的发展，使之发展成为符号代数。,二、高等代数和抽象代数,1、高等代数,初等代数引进了一整套的代数符号，为建立代数方程的专门理论开辟了道路。结果产生了以方程论

8、为主要内容的高等代数，其中包括行列式与矩阵理论、二次型和线性变换等。,2、抽象代数,19世纪，随着伽罗华的“群”概念的提出，四元数、向量、矩阵、线性变换等一系列更为一般性的研究对象也先后出现，这样，使代数的面貌发生了深刻的变化，虽然它仍然是一门关于运算的科学，但是它的内涵已从原来局限于研究数的运算性质的数学分支，变成研究更为一般的代数运算的规律和性质的数学分支，其中包括群论、环论、伽罗华理论、向量空间、线性代数、同调代数等内容的庞大的数学分支。这就是抽象代数，或称近世代数。,一、数的概念的形成,“数”概念的形成可能与火的使用一样古老,大约是在30万年以前,它对于人类文明的意义也决不亚于火的使用

9、. 记数是伴随着计数的发展而发展的. 亚里士多德指出:今天十进制的广泛采用,只不过是我们绝大多数人生来具有10个手指这样一个解剖学事实的结果.,1.2数的概念及其扩展,手指记数 结绳记数,公元前3000年的壁画记载了埃及人用打结的绳子丈量土地和估算收（上排）。人们将收获的谷物送往粮仓，并有记录员做统计（下排）。,刻痕记数 大约在3万年前 书写记数 又经历了数万年的发展,直到距今五千多年前,终于出现了书写记数系统。 记数的出现使数与数之间的书写运算成为可能。,中國算籌 算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具。又称为筹、策、算子等。它最初是小竹棍一类的自然物，以后逐渐发展成为专

10、门的计算工具，质地与制作也愈加精致。 算筹在中国的起源很早，春秋战国时期的老子中就有“善数者不用筹策”的记述。,中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造。按照中国古代的筹算规则，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式这样从右到左，纵横相间，以此类推，就可以用算筹表示出任意大的自然数了。,記數時，縱橫相間，且個位必是縱式，空格表示0,二、数的扩展,1、数的最先一次扩展是正分数的引入（约在公元前1700年）。,人们在实践中，发现原有的数不够使用。譬如，用尺去量一件物体的长3尺有余，4尺不足，怎样用数来表示这个长度呢？又如，3个苹果分

11、给4个儿童，每人应得多少个苹果呢？这个矛盾在数学本身也反映出来了，在自然数集里除法不是永远可以实施的，或者说不是封闭的。要解决这些问题，必须引进分数。,在我们课堂学习中，“零”的引入作为数的第一次扩展。其实，历史上“零”的引入比正分数要晚。 公元6世纪印度数学家开始运用它，我国古代筹算中用空位的方法表示零。数“0”的引入为表示数和计算带来许多方便。,2、由于测量一些具有相反意义的量的需要，引入了负数。,负数符号的使用最早是15世纪的维特曼，到了17世纪，负数的概念才在数学中占有确定的地位，至于用有向线段来表示正负数，则是笛卡尔的功劳。引入负数后，数就扩展为有理数集。,3、无理数的引入也是与量的

12、度量分不开的，并引起了第一次数学危机,无理数的由来,为什么将整数和分数称为有理数，无限不循环小数称为无理数？,毕达哥拉斯学派,毕达哥拉斯为了摆脱暴政，移居意大利半岛南部的克罗顿。在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体，这就是后来人们所称的毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯死后，他的学派还继续存在两个世纪之久。,“万物皆数”,他们认为宇宙的本质就是数的和谐，万事万物背后都有数的法则在起作用(这里的数是整数和整数之比)。他们深信这一观点无比正确，因此广泛利用它来解释各种现象。,他们认为大于1的奇数象征男性，偶数象征女性5是第一个男性数与女性数之和，因此象征结婚与结合 他们还发现了完全数(等于它

13、的真因数之和的数)如6的真因数是1，2，3，而6=1+2+3数6就变为完美的象征下一个完全数是28，28有真因数1，2，4，7，14，而28=1+2+4+7+14 到目前为止发现的最大的完全数为:,他们还发现了亲和数(两个数的真因数之和互为对方) 例如284和220是一对亲和数因为220的真因数是1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110，其和为284；而284的真因数为1，2，4，71，142，其和为220 当时的人们认为，分别写上这两个数的护符会使两数的佩戴者保持友谊这种数在魔术、占星学、占卦上都起过重要作用。,他们还研究了形数，其中包括三角形数，正方形数，五边形数等等，这

14、些数被看作是某些几何图形中的点的数目。 三角形数,正方形数,长方形数,他们发现始于2的任何多个连续偶数之和为长方形数，其边长相差1,多边形数,1、4、7、10、13 1、5、9、13、17,定理1: 任何一个正方形数都是两个相继的三角形数之和 定理2: 第n个五边形数等于第n1个三角形数的三倍加上n. 定理3: 从1开始，任何个相继的奇数之和是完全平方,在研究同名正多边形覆盖平面的问题时，毕达哥拉斯学派找到了这种覆盖只有三种情况：,毕达哥拉斯学派其中一项几何成就是正多面体,我们今天知道在三维空间中正多面体 仅有五种正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. (为什么?),正八面体

15、正十二面体 正二十面体,为什么？,如果我们取这些多边形边数(同名正多边形覆盖平面)的比，那么它们等于3:4:6 毕达哥拉斯学派对周围的生活现象进行了认真而周密的观察，发现了一些奇妙的联系例如，在悦耳的音乐中用三根弦发音时，这三根弦的长度之比为3:4:6时，就得到和声的谐音 例如立方体的面数、顶点数、棱数的比等于6:8:12,毕达哥拉斯学派确信，整个宇宙的现象依附于某种数值的相互关系。 数36，它对毕达哥拉斯产生了强烈的印象。36是自然数数列中前三个数的立方和：1 +2 +3 ；另一方面，这个数又是自然数列中前四个偶数与前四个奇数之和按照毕达哥拉斯学派的看法，整个宇宙是建立在前四个偶数与前四个奇

16、数基础之上的他们认为，用数36作的誓言是最可怕的誓言,第一个被发现的无理数是 。当时，毕达哥拉斯学派的一个名叫希帕索斯的学生，他画一边长为1的正方形，设对角线为X，于是 。他想，X代表对角线长，而 ，那么X必定是确定的数。但它是整数还是分数呢？显然，2是 和 之间的数，因而X应是1和2之间的数，因而不是整数。那么X会不会是分数呢？可是，他费了九牛二虎之力，也找不到这个分数。希帕索斯认为这个数既不是整数，也不是分数，而是当时还没有认识的一种新数。,这本是数学史上伟大的发现之一，可是毕达哥拉斯学派并不欢欣鼓舞，相反感到惊讶和困扰，因为这个发现直接和毕达哥拉斯学派的错误信条“万物皆数”相抵触，动摇了

17、毕达哥拉斯学派的基础“任何两个同类量可通约”，使这个学派的许多人大为惶恐和恼怒，一方面恼火地命名这种数为“无理数”， 另一方面下令严密封锁希帕索斯的发现，如果谁敢泄露出去，就处以学派的极刑。,尽管毕达哥拉斯学派内部纪律森严，希帕索斯的发现还是被许多人知道了。他们追查泄密的人，追查的结果，发现泄密的正是希帕索斯本人。这还了得，要活埋希帕索斯。在朋友的帮助下，希帕索斯逃走了。他在国外飘泊了许多年，后来想偷偷返回故里。回乡的途中，在地中海的一艘船上被抓住了，当场被抛到海里淹死了。为了坚持真理，希帕索斯付出了生命的代价。,真理是不可能永远被淹没的，随着数学的向前发展，无理数终于在人们心目中取得了合法的

18、地位。 最初，人们认识的无理数，都是像 那样由开方产生的（后来被称为初等无理数） 。但是，仅用有理数开方定义无理数是不对的，比如（1+ ）就不能通过对某有理数开方得到。怎么解决这个问题呢？数学家们很容易想到了，用有理数的加减乘除、乘方、开方定义新的数，后来被称为复合无理数。这样做的目的之一是使代数方程有解。,既然如此，数学家们索性将新的数系定义为所有有理系数方程的根（后来称为代数数），有理数、初等无理数、复合无理数都被包括在内。 代数数的概念建立以后，并没有万事大吉，十八世纪30年代，因证明了圆周率与 e =1 + 是无理数，动摇了代数数的概念，因为在1873年、1883年数学家埃尔米特与林德

19、曼先后证明e、不是代数数。,如何解决这些问题？数学家们伤透了脑筋。他们想到有理数都是有限小数或无限循环小数，为什么不把无理数定义为无限不循环小数呢？于是就有了现在这样对无理数的定义。,1874年康托尔证明了无理数比有理数多得多、非代数数比代数数多得多！这也意味着，无形的、不是根式的无理数竟比直观的、根式的无理数多得多！数轴上代表有理数的点虽然是稠密的任何两个有理数点之间恒有无数多个有理数点，但是除有理数点外的“空隙”更多。“空隙”一旦填满，稠密概念发展成了连续的概念，数轴上的点与实数完全对应，从而建立起实数概念，无理数问题画上了永远的句号。,任何素数的平方根都是无理数。 定理：如果在自然数A的

20、素因数分解中，至少有一个素数出现奇数次，那么 是无理数。 定理：如果在自然数A的素因数分解中，每个素数都出现偶数次，那么 是有理数。,4、虚数的引入，形成数的第四次扩充,圆周率的证明,1、古人的证法 “割圆术”,刘徽的“割圆术”,在祖冲之之前，中国数学家刘徽提出了计算圆周率的科学方法“割圆术”，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长，用这种方法，刘徽计算圆周率到小数点后4位数。刘徽所求得的圆周率，后来被称为“微率”。 祖冲之在前人的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，将圆周率推算至小数点后7位数（即3.1415926与3.1415927之间），并得出了圆周率分数形式的近似值。祖冲之究竟用什么方法得出这

21、一结果，现在无从查考。如果设想他按刘徽的“割圆术”方法去求的话，就要计算到圆内接16000多边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！,古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。阿基米德用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；鲁道夫用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。,2、现代的证法,马青公式 =16arctan1/5-4arctan1/239 这个公式由英国天文学

22、教授约翰马青于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。马青公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。 还有很多类似于马青公式的反正切公式。在所有这些公式中，马青公式似乎是最快的了。虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，马青公式就力不从心了。,（2）拉马努金公式 1914年，印度天才数学家拉马努金在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。 1989年，大卫丘德诺夫斯

23、基和格雷高里丘德诺夫斯基兄弟将拉马努金公式改良，这个公式被称为丘德诺夫斯基公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。1994年丘德诺夫斯基兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。丘德诺夫斯基公式的另一个更方便于计算机编程的形式。,（3）AGM（Arithmetic-Geometric Mean）算法 高斯-勒让德公式： 这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。1999年9月，日本的高桥大介和金田康正用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。,（4）波尔文四次迭代式： 这个公式由乔纳森波尔文和彼得波尔文

24、于1985年发表的。,（5）bailey-borwein-plouffe算法 这个公式简称BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发表。它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n位，而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。,神奇的斐波那契,一、斐波那契数列,十秒钟加数,请用十秒，计出左边一条加数的答案。,夠钟！,答案是 231。,十秒钟加数,再来一次！,夠钟！,答案是 6710。,细看这两个数列：,一、斐波那契数列,若一个数列，首两项等于 1，而从第三项起，每一项是之前两项之和，则称该数列为

25、斐波那契数列。即：,1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , ,1 + 1 = 2,1 + 2 = 3,2 + 3 = 5,3 + 5 = 8,5 + 8 = 13, ,斐波那契（Leonardo Pisano Fibonacci ; 1170 1250 ）,意大利商人兼数学家 他在著作算盘书中，首先引入阿拉伯数字，将十进位值记数法介绍给欧洲人认识，对欧洲的数学发展有深远的影响。,一、斐波那契数列,人们发现，Fn有如下定义：F1=1，F2=1，Fn=Fn-2+Fn-1（n=3，4，5，）。 再后来有人求出了斐波那契数列的通项为 Fn= 一个正整数数列的通项公式竞要用无理数来表达

26、，这是一个令人惊讶的结果。,问题提出,在 1202 年，斐波那契在他的著作中，提出以下的一个问题：,假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始，12 个月后会有多少对兔子呢？,解答,1 月 1 对,解答,1 月 1 对,2 月 1 对,解答,1 月 1 对,2 月 1 对,3 月 2 对,解答,1 月 1 对,2 月 1 对,3 月 2 对,4 月 3 对,解答,1 月 1 对,2 月 1 对,3 月 2 对,4 月 3 对,5 月 5 对,解答,1 月 1 对,2 月 1 对,3 月 2 对,4 月 3 对,5 月 5 对,6 月 8 对,解

27、答,1 月 1 对,2 月 1 对,3 月 2 对,4 月 3 对,5 月 5 对,6 月 8 对,7 月 13 对,解答,可以将结果以表列形式列出：,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,因此，斐波那契问题的答案是 144 对。 以上的数列，亦被称为斐波那契数列,人们发现斐波那契数列与我们熟知的杨辉三角形有关，与著名的黄金分割也有关系。 我们知道，二项式展开式的系数构成杨辉（贾宪）三角形。 1 如果我们将杨辉 1 1 三角形斜线上的 1 2 1 数字相加，其和 1 3 3 1 就能得到一列 1 4 6 4 1 数，所得的这 1 5 10 10 5 1 列数，恰好是 1

28、 6 15 20 15 6 1 斐波那契数列 ,二、大自然中的斐波那契数列,花瓣的数目,海棠（2）,铁蘭（3）,花瓣的数目,洋紫荆（5）,黄婵（5）,蝴蝶兰（5）,二、大自然中的斐波那契数列,花瓣的数目,雏菊（13）,雏菊（13）,二、大自然中的斐波那契数列,树枝的数目（喷嚏麦的分枝）,13 8 5 3 2 1 1,二、大自然中的斐波那契数列,种子的排列（松果）,二、大自然中的斐波那契数列,种子的排列（松果）,二、大自然中的斐波那契数列,种子的排列（松果）,二、大自然中的斐波那契数列,三、斐波那契数列与音乐,三、斐波那契数列与音乐,四、斐波那契数列与数学,后来的数学家发现了许多关于斐波那契数列

29、的特性。例如：,1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , ,第 3、第 6、第 9、第 12 项的数字，能夠被 2 整除。,1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , ,第 3、第 6、第 9、第 12 项的数字，能夠被 2 整除。,第 4、第 8、第 12 项的数字，能夠被 3 整除。,后来的数学家发现了许多关于斐波那契数列的特性。例如：,四、斐波那契数列与数学,1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 ,

30、144 , ,第 3、第 6、第 9、第 12 项的数字，能夠被 2 整除。,第 4、第 8、第 12 项的数字，能夠被 3 整除。,第 5、第 10 项的数字，能夠被 5 整除。 其余的，如此类推。,后来的数学家发现了许多关于斐波那契数列的特性。例如：,四、斐波那契数列与数学,十秒钟加数的秘密,数学家又发现：连续10 个斐波那契数之和，必定等于第 7 个数的 11 倍！,所以右式的答案是：,21 11 = 231,十秒钟加数的秘密,又例如：,右式的答案是：,610 11 = 6710,第二部分： 几 何,一、“几何”一词的由来,“几何”，在我国文言文中原是“多少”的意思。 意大利传教士利玛窦

31、和我国明末科学家徐光启1607年合译的几何原本中，首先把它作为一个数学专有名词的译名，并被沿用下来，成为现在数学分支的名称，甚至被日本等国所接受。,一、“几何”一词的由来,利玛窦和徐光启为什么用“几何”这个译名，国内外学者对此有三种说法： 1音译说：“几何”是拉丁文Geometria的字头“Geo”的音译； 2意译说：“几何”是多少的意思，我国数学书上经常要问：“几何”； 3音意并译说：是上述两种说法的折衷。,一、“几何”一词的由来,经考证，以上三种说法都不太确切。这是因为，音译的说法是与当时利玛窦处处力求符合中国传统习惯、迎合中国人民的心理、以便于传教的做法相违背的。更重要的是，利玛窦和徐光

32、启合译几何原本的底本是德国数学家克拉维乌斯的注释本，书名中根本没有“Geometria”这个词，因此，音译的说法不能成立。当然，音意并译的说法也就不能成立了。,一、“几何”一词的由来,至于意译的说法，认为“几何”是“多少”的意思，也未必确切。用“几何”（量）作为这本书的书名，似乎过份强调了量，而忽略了它的图形性质的内容，有些欠妥当。但是如果从全书十五卷内容来看，研究“量”的内容居多，“形”的内容居少。两位译者也着眼于量的研究，甚至把数学看成是研究量的学科，,这可能是既受着中国传统数学的影响，又受到当时欧洲特别重视数量关系的影响，他们把这本书推崇为“度数之宗”，故取名为几何原本。这个名称在当时就

33、被接受，所以尽管后来曾出现过“形学”的名称，而“几何”一词却一直沿用至今。,一、“几何”一词的由来,二、数学家的“圣经” 欧几里得几何原本,欧几里得生于雅典，是柏拉图的学生。他的科学活动主要是在亚历山大进行的，在这里，他建立了以他为首的数学学派。欧几里得，以他的主要著作几何原本而著称于世，他的工作重大意义在于把前人的数学成果加以系统的整理和总结，以严密的演绎逻辑，把建立在一些公理之上的初等几何学知识构成为一个严整的体系。,亚历山大里亚的欧几里得（希腊文： ，约公元前330年前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年前283年）时期的亚历山大里亚，他最著名

34、的著作几何原本是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品,是几何学的奠基人,欧几里得建立起来的几何学体系之严谨和完整，就连20 世纪最杰出的大科学家爱因斯坦也不能对他不另眼相看。爱因斯坦说：“一个人当他最初接触欧几里得几何学时，如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么他是不会成为一个科学家的。” 几何原本中的数学内容也许没有多少为他所创，但是关于公理的选择，定理的排列以及一些严密的证明无疑是他的功劳，在这方面，他的工作出色无比。,欧几里得的几何原本共有13 篇，首先给出的是定义和公理。比如他

35、首先定义了点、线、面的概念。他整理的5 条公理其中包括： 1.从一点到另一任意点作直线是可能的； 2.所有的直角都相等； 3.a=b，b=c，则a=c； 4.若a=b 则ac=bc 等等。 这里面还有一条公理是欧几里得自己提出的，即：整体大于部分。,虽然这条公理不像别的公理那么一望便知，不那么容易为人接受，但这是欧氏几何中必须的，必不可少的。他能提出来，这恰恰显示了他的天才。 几何原本的出现说明人类在几何学方面已经达到了科学状态，在经验和直觉的基础上建立了科学的、逻辑的理论。 欧几里得，这位亚历山大大学的数学教授，已经把大地和苍天转化为一幅由错综复杂的图形所构成的庞大图案。,他又运用他的惊人才

36、智，指挥灵巧的手指将这个图案拆开，分成为简单的组成部分：点、线、角、平面、立体把一幅无边无垠的图，译成初等数学的有限语言。 据说，亚历山大国王多禄米曾师从欧几里得学习几何，有一次对于欧几里得一遍又一遍地解释他的原理表示不耐烦。国王问道：“有没有比你的方法简捷一些的学习几何学的途径？”欧几里得答道：“陛下，乡下有两种道路，一条是供老百姓走的难走的小路，一条是供皇家走的坦途。但是在几何学里，大家只能走同一条路。走向学问，是没有什么皇家大道的，请陛下明白。” 欧几里得的这番话后来推广为“求知无坦途”，成为传诵千古的箴言。,希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，

37、这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。 尺规作图 仅限于有限次地用没有刻度的直尺和圆规进行作图称为尺规作图。 由于古希腊数学家特别重视尺、规在数学上训练逻辑思维和智力的作用，因此在作图中对尺、规的使用方法以很多限制。,历史上最早提出作图要有尺规限制的是古希腊的恩诺波备斯；以理论形式具体明确这个规定的是欧几里得，他在几何原本中对作图作了三条规定(公设): (1)從某一點向另一點畫直線； (2)將一有限直線連續延長； (3)以任意中心和半徑作圓。 由于几何原本的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来。 由于对作图工具的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决。,

38、最著名的是被称为“几何三大难题”的三个古希腊古典作图难题： （1）三等分任意角问题 （2）立方倍积问题 （3）化圆为方问题 当时很多有名的希腊数学家,都曾着力研究过三大问题，虽然借助于其他工具或曲线这三大难题都可以解决,但由于尺规作图的限制,却一直未能如愿以偿。以后近两千年来,几十代人为之绞尽脑汁,均以失败告终。直到1837年,凡齐尔（ 18141848）首先证明立方倍积和三等分任意角问题都属尺规作图不可能问题,1882年林德曼证明是超越数,化圆为方问题不可能用尺规作图解决,这才结束了历时两千年的数学难题公案。,实际上，一个作图题中要求作出的未知量，如果能够并且只有由若干个已知量经过有限次有理

39、运算及开平方而求出时，这个作图题才可能用尺规作图来完成。若题中要求作出的未知量的表达式的运算超出了以上运算的范围，就不可能用尺规作图作出，该问题即属尺规作图不可能问题了。,（1）三等分一个角的问题，对于某些角如90、180三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如60，若能三等分则可以做出20，那么在圆中正18边形及正九边形也都可以做出来了。也许三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。这些问题困扰人类二千多年都不得其解。,人们发现，只要放弃尺规作图的戒律，三等分角并不是一个很难的问题。古希腊数学家阿基米德发现只要在直尺上固定一点，问题就可解决了。其法如下：在直尺边缘上添加一点F

40、，命尺端为G。设所要三等分的角是XOY，以O为圆心，GF为半径作半圆交角边于D，E；使G点在XO延线上移 动，F点在圆周上移动，当尺通过E时，联GFE（见图）。由于GFFOOE，所以OGEXOY。,（2）立方倍积问题,相传在两千多年前，古希腊的德里群岛中有一个叫杰罗西的岛上，发生了一场大瘟疫，死亡的阴影笼罩在人们头上.人们对瘟疫束手无策，于是就到神庙去祈求太阳神阿波罗的保护。阿波罗神的全权大使神庙的负责人对大家说： “这次发生瘟疫，是因为你们对神不够虔诚。你们看，我殿前的祭坛是多么小啊！要使瘟疫不再流行，除非把祭坛的体积扩大一倍，但不许改变祭坛的形状。” 神庙中的祭坛是个立方体，杰罗西的居民们

41、赶紧量好立方体的尺寸，制作了一个新祭坛送到神的面前。新的祭坛的长、宽、高都比原来的增加了1倍，居民们以为这样就满足了神的要求。可是瘟疫非但没有停止，反而流行得更厉害了。岛上的居民又向神祈祷：“我们已经把祭坛扩大了一倍。为什么灾难仍没有结束呢？”神冷冷地回答道：“不，你们没有满足我的要求，新的祭坛是原来体积的8倍！”,不准改变立方体的形状，只准加大1倍的体积，岛上的居民没有办法解决这个问题，只好派人到首都雅典去向当时的数学家请教，但数学家们也一筹莫展。 这个故事当然是虚构的，但是故事却提出了一个举世闻名的几何作图难题，叫做立方倍积问题，这就是尺规作图三大难题之一。 设已知正方体棱长为a，则立方倍积问题的实质，是求作一个长度为x= a的线段.由于尺规作图不可能作出 a的线段，因此立方倍积是尺规作图不可能解决的问题.,古希腊的希波克拉底首先发现，立方倍积问题可以转化为在一