安徽省数学竞赛名师专题讲座：平面几何四个重要定理

1、安徽数学竞赛名师专题讲座：平面几何四个重要定理四个重要的定理：墨涅劳斯定理(仁美线)ABC在其延长线上有三条边BC、CA、AB或点P、Q、R，则P、Q、R共线当且仅当。切瓦定理(切瓦点)如果在ABC的三个边BC、CA和AB上有p、q和r点，则AP、BQ和CR共享点的充要条件是。托勒密定理当且仅当一个四边形的两条对边的乘积之和等于它的对角乘积时，该四边形被内切圆。辛普森定理(辛普森线)当且仅当从一点画到三角形三条边的垂直线的垂直脚共线时，该点落在三角形的外接圆上。示例：1.让AD成为ABC边上的中心线，直线CF在F处与AD相交.验证：分析 CEF截面ABD(梅定理)【注释】你也可以加一条辅助线来

2、证明A，B和D中的一条是CF的平行线2.一条穿过ABC重心G的直线分别与AB和AC相交于E和F，而CB与d相交验证：【分析】如果AG与BC杂交，M是BC的中点。度切割ABM(梅定理)DGF截ACM(梅里亚姆定理)=1点评梅定理3.d、E和F在ABC的边界、CA和AB上，AD，BE，CF交叉成LMN。得到LMN。分析点评梅定理4.向外制作类似的等腰BCE、CAF、ABG，以ABC的每一边为底。验证：AE、BF和CG相交于一点。分析点评塞瓦定理5.在ABC中B=2C是已知的。验证：ac2=ab2abcc。【分析】平行直线通过一条直线作为边界，在D处与ABC的外切圆相交，并与边界相交。那么CD=DA

3、=AB，AC=BD。根据托勒密定理，ACBD=ADBCCDAB。点评托勒密定理6.已知的正七边形A1A2A3A4A5A6A7。验证：(第21届全苏联数学竞赛)分析点评托勒密定理7. ABC的BC侧的高AD延长线与外切圆与p相交，使PEAB与e相交，使ed延长线与f相交于AC。核实：BCEF=BFCEBECF。分析点评辛普森定理(辛普森线)8.正六边形ABCDEF的对角线AC和CE被内点M和N分成比率AM: AC=CN: Ce=K，并且B、M和N共线。请求k. (23-IMO-5)分析点评面积法9.o是ABC中的一个点。从0到BC、CA和AB的距离分别用da、db和dc表示，从0到A、B和C的距

4、离分别用Ra、Rb和Rc表示。验证：(1)aRabdb cdc。(2)ARaCDB BDC；(3) Ra Rb Rc2 .分析点评面积法10.在 ABC中，h、g和o分别是垂直的、重心的和外部的。验证：高、中、低共线，高=20。(欧拉线)分析评注同一法律11.在 ABC中，AB=AC，ADBC等于d，BM，bnABC，在m和n处与AD相交，在e处延伸CM并与AB相交.验证：甲基溴/氖。分析点评对称变换12.g是ABC的重心。以重心为弦长，在g处切割重心，在D处延伸重心交点.验证：AG2=GCGD。分析点评翻译转换13.c是O上的一个点，直径AB=2，p在ABC内。如果概率密度的最小值是，此时找

5、出ABC的面积。分析点评旋转变换费马点：已知O是ABC中的一个点，AOB=BOC=CoA=120；p为ABC中的任意一点，并经验证，PA、PB、PCOA、OB OC。(0是费马点)【分析】成本控制，面向对象，工艺流程，链接面向对象，工艺流程。那么b00 和b000 就是正三角形。OO=OB,PP=PB .显然bo c BOC，BP c BPC。因为 bo C= BOC=120=180- bo o，A，o，o 和c 共线。 AP PP p c AC=ao oo o c，即PA PB PCOA OB OC。14.(95全国比赛)菱形ABCD的内切圆O分别在e、f、g、h处与两边相交，弧EF和弧GH

6、上0的切线交点AB、BC、CD、DA分别与m、n、p、q相交。验证：MQ/NP。【分析】由ABCD只需要证明AMQ=尼普，结合A=C，你只需要证明它AMQ尼泊尔共产党AMCN=AQCP .交流和直流相连，交点为内切圆圆心O.让MN和O在k处切断，连接OE、OM、OK、on和OF。记住ABO=，MOK=，KON=，然后EOM=，FON=，EOF=2 2=180-2.BON=90-NOF-COF=90-=cno=nbonob=AOEmoe=aom还有OCN=MAO，OCNMAO，所以，AMCN=AOCO同样，AQCP=AOCO。评论15.(96全国比赛)O1和O2与ABC的三条边所在的直线相切，e

7、、f、g和h为切点，EG和FH的延长线与p相交.核实：PABC.分析评论16.(99年全国比赛)如图所示，在四边形ABCD中，对角AC被平均分为BAD。在CD上取一个点e，BE和AC在f处相交，并将DF延伸到BC在g处相交。验证：GAC=EAC。证明：在h点把BD和AC联系起来。利用BCD的塞瓦定理，我们可以得到因为AH是BAD的平分线，根据平分线定理，因此可用。当AB穿过c的平行线在I穿过AG的延长线，当AD穿过c的平行线在J穿过AE的延长线.然后，因此，CI=CJ。因为C1/AB，CJ/AD，ACI=-BAC=-数模转换器=ACJ。因此，ACIACJ，因此IAC=JAC，即GAC=EAC。

8、已知AB=AD，BC=DC，AC和BD与O相交，任意两条直线EF和GH与四边形ABCD的四条边E、F、G和H相交.GF和EH是相连的，BD分别给m和n。验证：开=开。(第五届CMO)证明：如果 EH E oh ，只需证明E ，m和h 共线，即EH ，BO和GF共线。记住BOG=，GOE=。将e f和BO连接到k。只需要证明=1(Ceva逆定理)。=1注：郑形状：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形。与99联赛第2名相对应的是：e ob= fob，e h，GF和BO的得分相同。核实： gob= h ob。事实上，上述条件是充分必要的，当m在OB的延长线上时，结论仍然成立。证明方法是相同的方法。蝴蝶定理：P是0的字符串AB的中点，通过它引入0的两个字符串CD和EF，在M中连接DE到AB，在n中连接CF到AB。验证：MP=NP。【分析】假设GH是大于p的直径，FFF，显然是 O.和PGH，PF=PF.PFPF,PAPB,FPN=FPM,PF=PF。和FFGH、ANGH、。fpmMDF =fpnEDF = eff EDF=180，P，m，d，f 四