计算流体力学

1、計算流體力學【課程大綱】1、 方程式之分類2、 數值方法介紹3、 數值穩定分析4、 幾何建立與網格產生5、 邊界條件一、 方程式之分類1、 物理分類 穩態問題(Steady State Problem)其狀態不隨時間而變，如穩態熱傳遞問題。, 暫態問題(Transient Problem Makching Problems)其狀態會隨時間而變，如一維熱傳導問題。 偏微分方程一定要有邊界條件：穩態： 暫態：與上面反之。 振動：兩者結合。控制器=流場分析=暫態問題 邊界條件，0X1 初始條件 X需有邊界條件，時間無限延伸，但需有初始條件。週期性(operidic)邊界亦屬態問題。 單相流，多相流

2、旋轉與否 化學反應2、 數學分類二階微分方程(Partial differential equation)之通式(General From)。3、 The well-posed problem該問題之解需存在且唯一，且其解需連續的與初始條件及邊界條件有關。 4、方程式(System of equations) 將一條high order之PDE，轉換成一組1st order之PDE 如： 1馬赫=340m/s(常溫) 拋物線方程 【數值方法介紹】1.有限差分法(Finite-Difference methods)將具連續性之問題的領域(domain)”分割解離”(discreatized)使要

3、探討的變數只存在格點上，如此可將微分方程轉為代數式。(1)將問題的領域網格(mesh on grid)化一變數u在一次方形領域中(2)將微分式差分化：對一連續函數u(x,y)在此法為Central difference中央插分法Central difference多數之流力熱傳之問題只包含1st及2nd及partial derivative且大多使用2或3個格點計算微分。(3)Consistency(一致性)若一組PDE與其有限差分表示式間的差異隨網路尺寸的細化而減小，最終其差異會完全消失時，稱consistecy。即(4)Round-Off PDE之”exact”analytic solut

4、ion在計算數值時只能取有限項，因而產生round-off error PDE之近似解，則因一個格點的數值多次反覆被計算且計算位數不夠多而產生”累進”誤差此亦為ROUND-OFF ERROR增加格點數可減少T.E但可能增加round-off error。 (5)得到FDE之方法 Taylor-series expansions Polynominal fitting Integral method Control-volume approachTayler Series 我們希望以最多三個點來表示差分 Finite volume(常用)Finite element=屬於積分方程(少用)根據(d

5、ivergence theorem)在二維中上式代表在穩定狀態下各邊界進入的熱量等於離開的熱量，是符合守恒定律之代表示。下標的”1/2”代表兩格點之中間位置，若以central difference來近似導函數，即： 此與Towlor-series expansion方法得一致的表示式，但邊界上則有不同如上圖中”B”點位置，若邊界上假設為對流邊界條件，即在壁面上下標設定為(1,j)即若以FVM來近似，則是將B點附近有限體積畫出對其進行熱平衡可得，對其進行熱平衡可得 數值穩定性 我們可以將PDE以PDM或FVM改寫為代數式，但在計算迭代的過程中不保證代數式會收斂到一個答案。如果一個控制系統，在某

6、個時間N的值為初始值，要求時間n+1時的未知數值。FINITE DIFFERENCE OPERATOR就如一個TRANSFER FUNCTION，可視為一”BLACK BOX”若是不適當的transfer fwnction可能使輸入訊號錯誤，放大為無用的輸出訊號，且將會無邊界地成長。此即數值上所謂的發散(diverqe)以暫態熱傳導為例子將之改為FDE(FINITE DIFFERENCE EQUATION)時間方面以”顯性(explicit)差分來處理，則 上面PDE之正解為D，D為計算機的計算位數很多時間所得的，N為有限位數計算得到的。Fourier of von Neumann analy

7、sis Richardsons Method此法有高精確度，但任何條件都無穩定性(unconditionally unstable)Simple explicit Method(conditionally stable)Simple implicit Method在任何條件下都穩定(unconditionally stable)即及可任意取，不會有穩定性的問題上式寫為a、b、c、d已知，未知解以上的tridiagonal matrix可解出之值Crank-Nicolson Methhod為無條件穩定與Implicit相同，亦解tridiagonal matrixCombined Method

8、A綜合simple explicit，simple implicit及Crank-Nicolson當時為implicit method當時為explicit Method當時為Crank-Nicolson Methhod當時為unconditionally stable時穩定穩條件為Combined Method B在時，為unconditionally stableDuFort-Framkel Method將Richardsons Method中的改為，可得此為explicit Method不需解 tridiagonal matrix且unconditionally stable二維熱傳導方

9、程式之求解與一維相同，然而其穩定條件較一維嚴格，若無條件穩定（unconditionally stable），在二維依然可以使用，但如implicit method，在一維解時需解tridiagonal matrix，二維則需以ADI(alternating-direction implicit)方法來解，較一維費時其方程式為其穩定度unconditionally stableADE method(alternating-direction explicit)為explicit方法，故不需解矩陣其採用兩段式計算Step1.Step2.在Step1時列為已知，從左邊計算到右邊，故可explici

10、t的解出在Step2時列為已知，從右邊計算到左邊，故可explicit的解出且為unconditionally stable對有非線性項之PDE如 N-S equations、 energy equation、upwind 、QUICK、SFCD、MARS等方法解1. upwindIf u為正，當時，之係數為負，u較大時，會出現及皆為正而為負之情形If u為負，之係數在u較大時會為負，同樣會出現及為正而為負的不合理情形，容易導致疊代發散。upwind scheme 則是forward或backward different考量u之變化加以修正，以保有數值穩定度if 0則(backward dif

11、ferent)上式之係數皆為正有極高的數值穩定性If 0，則(forward different)代入後得因0放上式各係數皆正有極高穩定度upwind有很高的穩定性，但準確度不佳有兩種改進方式(1) 保持upward之原則，但採用1side 3point difference則If 0 上式之係數中，者為負，然係數絕對值小於，除會造成皆為正而為負之情形。故穩定性及準確性都不錯，然而邊界點仍需改為一般之backward different(2) If 0則 當皆很大時若大於皆為正而為負之情況。準確度雖高，但穩定性較差(3)當0則 若要之係數皆為正，則即故只要，之係數皆正為了使之係數為正故即只要，

12、之係數皆為正a越大central different 之成份越大，準確度越高，在兼顧穩定及準確下，若1則a=1，此即 hybrid central-upwind schemeQUICK method(Quadratic upstream interpolation of convective Kinematics)(格點測試要取大一點：網格5萬10萬15萬)常用：upwind、SFCD、QUICKSTAR-CD：a QUICK+(1-a)upwind效果近似central sifferenceSIMPLE procedure(處理壓力)upwind改良SIMPLE(Semi-Implicit

13、Method for Pressure Link Equation)方法在1972年由Patankar及Spalding所發表出來這個方法是以一個”循環式”猜測-修正的方法來解方程式。先猜測一個壓力分布，代到動量方程式中解出速度，速度及壓力接必須被修正到滿足連續方程式，這個過程持續到收斂為止，在此過程中，真實壓力P可寫成Po為猜測值(或中間值)，P為修正值。相同的速度亦可寫成為速度猜測值或中間值。為速度修正值如果滿足連續方程式則=0，程序描述如下1. 猜各格點壓力(Po)Predictor2. 解動量方程式得速度場Patanker及Spalding建議使用staggered grid3. 以方

14、程式，解出(correction)4. 得到新的壓力及速度，5. 將新的P代入步驟2.重覆計算到收斂某些問題的常常過大使得收斂困難，即使是合理的速度分佈，依然造成數值上的不穩定，因此以下式來計算為under-relaxation factor，同時在動量方程式中亦需使用under-relaxation factor。由於此under-relaxation factor的最佳值無法得知Patanker在1981年提出SIMPLER取代SIMPLE主要差異在step1.先猜，step2.中以Poisson equation解壓力。Staggered grid(交錯網格)一般以數值方法計算流體特性，

15、如速度、壓力、溫度，都可以解出格點上的值為目標。然在1905年Harlaw及Welch提出Staggered grid的想法，即壓力、溫度等scalar值仍為網格上的值但速度則為contorl volume面的平均網格點如下圖：Staggered grid有以下幾個特點：1. 可用鄰近點做差分而有second-order accuracy即forward difference有contorl difference的效果。2. 此種方可確保守恆定律。3. 兩個壓力點之壓差即為流體的自然推力4. 自動滿足解壓力Poisson equation的divergence theorem5. 較易滿足邊界

16、條件Patanker及Spalding將此格點引入SIMPLE方法中，配合finite volume的應用成為現在CFD之主流計算方式SIMPLESO此方法與SIMPLE基本上相同但較SIMPLE能處理非正交格合帶來的問題，特別是嚴重扭曲的格點。在STAR-CD中SIMPLE及SIMPLESO用於steady state之計算，在steady state時每次疊代只做一次prediction及correction動作，若對較複雜之題目(如自然對流)較不易得到收斂解。PISO此方法與SIMPLE基本相同，但有較多速度修正，較易獲得收斂的答案，但較花時間。STAR-CD在transition計算時

17、，一律使用PISO方法，因為每個時間點都需要疊代計算至收斂。邊界條件(bundary condition)1. Inlet Boundary(入口條件)(1) 給定入口速度輸入三個方向的速度值，若有計算熱傳則需輸入溫度及密度，若為紊流則需輸入紊流動能(k)及紊流消散值()或紊流強度(I)及長度因子(l)選Fixed mass 則保持垂直入口的速度其餘分量將被調整選Fixed velocity固定速度分量，質量流率程式會計算質量、流量。(2) 設定入口之stagnation condition2. Outlet Boundary(出口)適用於流體全部流出計領域的位置，但其狀態未知(包含速度分佈、

18、溫度分佈、濃度分佈等)出口邊界計算上有兩個步驟，首先由上游推算出口狀態，即各變數之梯度為0(gradient，再調整速度以滿足質量流量此部份之計算由程式內自行進行以滿足連續方程式，或使用者給定的值。若有數個出口，每個出口的流量比例必須給定且總合為1。若使用者設定各出口之流量必須留一個設為壓力邊界條件以滿足質守恆。3. Pressure Boundary(壓力邊界)可輸入靜壓，Pizometric pressure：若在”environmental pressure”選”on”則輸入之數字在入流的情況下代表全壓即靜壓+動壓。在出流的情況下則為靜壓若在”mean”選”on”則表示輸入之壓力為該面的平均壓力(off是參考點上的壓力)若”uv”選”on”則表壓力面上之速度由使用者決定，”off”由