计算方法之计算矩阵的特征值和特征量

1、1,定义 设A为 n 阶方阵，若存在常数 与 n 维非零向量X 使 AX=X成立，则称 为方阵A的特征值，非零向量 X 为A的对应于 的特征向量。,由AX=X (A- E)X=0 此方程有非零解的充要条件是: |A- E|=0 , 即：, 特征多项式方程。,2,在线性代数中按如下三步计算： 1、计算出A的特征多项式A- E； 2、求出特征方程A-E=0的全部根i 3、将i代入(A-iE)X=0 求出基础解系，即得A的对应于i的特征向量，而基础解系的线性组合即为A的对应于i 的全部特征向量。,3,解：计算特征多项式方程，即,解得A的两个特征值：1=4， 2=2。,（1）1=4 将1=4代入 (A

2、-E)X=0得(A-4E)X=0,4,取对应于1=4的基础解向量,则对应于1=4的全部特征向量为：,（2）2=2 将1=2代入(A-E)X=0得(A-2E)X=0,取对应于2=2的基础解向量,5,方法局限性：当矩阵阶数较高（如阶数n4）时，将面临两方面的难题： （1）多项式的计算对舍入误差非常敏感； （2）求高次方程的根尤其是重根存在困难。,则对应于2=2的全部特征向量为：,特,征,值,的,数,值,计,算,方,法,1、幂法：求按模最大特征值，即,2、反幂法：求按模最小特征值，即,3、Jacobi法：求实对称矩阵所有特征值和特征向量。,6,幂法是一种迭代法。 基本思想：把矩阵的特征值和特征向量作

3、为一个无限序列的极限来求得。 如对于n阶方阵A，任取一个初始向量X(0) ，作迭代计算 X(k+1) =AX(k) 则可得迭代序列X(0) , X(1) , , X(k) ,， 序列的收敛情况与A的按模最大特征值有密切关系，分析序列的极限，即可得到A的按模最大特征值及特征向量的近似值。,7,下面介绍两种简单情况： （一）按模最大特征值只有一个，且是单实根 （二）按模最大特征值是互为反号的实根,8,定理 设n 阶方阵A有 n 个线性无关的特征向量 Xi ，其对应的特征值为i （i=1,2,.,n)，且满足： |1|2| |n| 则对任何非零初始向量V(0)（至少第1个分量不为0）所构成的迭代序列

4、 V(k+1)=AV(k)（k=0,1,2,） 有：,其中,表示,中的第j个分量。,（一）按模最大特征值只有一个，且是单实根,9,证明： 因为A具有 n 个线性无关的特征向量 Xi （i=1,2,.,n） 而任一 n 维的非零向量，如V(0)：,总可以用 Xi 的线性组合来表示： V(0)=1X1+ 2X2+.+ nXn（其中10） 取 V(1)=AV(0) V(2)=AV(1)=A2V(0) ,10,V(k+1)=AV(k) =Ak+1V(0) 以构成向量迭代序列。,由矩阵特征值的定义有： AXi=iXi （i=1,2,.,n） 则有,11,同理可得：,V(k+1)的第j个分量：,V(k)的

5、第j个分量：,那么,12,由已知条件：,故有：,所以：,定理的证明已给出求矩阵最大特征值的方法：,（1）取一非零初始向量V(0) ，如V(0)=(1,1,.,1)T （2）作迭代计算：V(k+1)=AV(k) （3）当k充分大时取：,13,或者用各个分量比的平均值作为最大特征值：,（4）求1所对应的特征向量：,由：,可得：,而：,故：,则V(k)即为所求对应1的特征向量。,14,例 用幂法求下面 的按模最大特征 值及对应的特征向量。,（1）即初始非零向量V(0),（2）作迭代计算V(k+1)= AV(k)：,15,最大特征值的计算：,特征向量：V(11),16,设n 阶方阵A有 n 个线性无关

6、的特征向量 Xi ，其对应的特征值为i （i=1,2,.,n)，且满足： |1| = |2|3| |n|，设其中10, 1=- 2,（二）按模最大特征值是互为反号的实根,由迭代变换：,17,迭代计算中V(k)呈规律性摆动，当k充分大时有,则有：,同理：,（k充分大时）,再由：,可得：,取,18,规范化幂法运算,由,（1）当|1|1时，V(k)与V(k+1)的各个不等于0的分量将随k的增大而过快地增大，而可能“溢出”； （2）当|1|0,此时迭代向量序列 V(k) 将正常收敛。,23,由向量知识：X1是对应1的特征向量，那么,也是对应1的特征向量。 即可用 U(k) 作为所求对应于 1 的特征向

7、量。,由,那么：,24,即：当k充分大时可用V(k+1)中的最大分量作为所求最大特征值1,25,解：取初始向量V(0)=U(0)=(1,1,1)T，结果如下：,由表可知，最大特征值为： 1=44.99953 对应特征向量为：( 1 , 0.33333 , -0.66667 )T,26,此种情形下，按模最大特征值为,（二）按模最大特征值1是单实根，但1|3| |n|，设其中10, 1=-2,（三）按模最大特征值是互为反号的实根，即,此时迭代向量序列V(2k)和V(2k+1)将分别收敛于两个互不相同的向量。 当规范化运算到k充分大时停止，再作一次非规范化运算：,则按模最大特征值：,而特征向量仍为：

8、,28,验证：当k充分大时,29,故有：,30,规范化幂法算法描述（1是单实根，且10） 一、数据说明 ann 存放方阵A中各元素； V0n 表示迭代式中的V(k); V1n 表示迭代式中的V(k+1); Un 规范化向量 lamda 按模最大特征值 EPS 精度控制量 二、操作步骤 Step1 输入A中元素,31,Step2 V0n(0,0,.,0)T； V1n (1,1,.,1)T Step3 While |V1-V0|EPS DO Step4 V0 V1; Step5 计算V(k+1)=AV(k): Ui V0i/max(V0i) 计算V(k+1)=AU(k) Step6 计算|V1-V

9、0| EndWhile Step7 Output( lamda= max(V1n) , Un ),32,设待求n阶矩阵A可逆，且其特征值为 i（i =1,2,n） 对应的特征向量为Xi，二者满足关系式 AXi=iXi 等式两边同时乘以A-1，得 Xi=iA-1Xi ，即,由特征值与特征向量的定义，知,为A-1的特征值，而Xi为对应的特征向量。,33,显然，如果 i 是A的按模最小特征值，那么其倒数则是A-1的按模最大特征值。 问题的解决：求规范化幂法求出A-1的按模最大特征值，取其倒数即A的按模最小特征值。 即,考虑A-1的计算烦琐，将上式变换为：, 反幂法。,34,计算步骤： （1） 将A进

10、行LU分解； （2） 取初始向量U(0)=V(0) 计算V(1)=AU(0) U(1)=V(1)/|V(1)|，代入AV(2)=U(1) , 求V(2) U(2)=V(2)/|V(2)|，代入AV(3)=U(3) , 求V(3) 当| V(k+1) V(k) |0，当变换次数k充分大时，使满足,此时，矩阵A(k)的主对角线元素即所求特征值。,另外：在每次选取正交矩阵V(p,q,)时，若使,即选取旋转主元，则可加快正交变换的效率。,如,取,49,雅可比方法的算法描述 先对下式做简化处理：,令,则有,求出此方程的根，即确定了正交矩阵V(p,q, )的旋转角度 ，分两种情形考虑： （1）若app=aqq，则t=1，取=45 （2）若appaqq，则t取绝对值较小的根,50,确定了旋转角度后即可计算,一、数据说明 ann初值为n阶实对称A，结果为对角矩阵，其主对角线元素为所求特征值； v_pqnn每次变换前所选取的正交矩阵； vnn各个正交矩阵的乘积V1V2Vk，其列向量为对应某特征值的特征向量； EPS误差控制量,51,二、操作步骤 Step1