高考数学二轮复习 第九章 平面解析几何 直线与圆、圆与圆的位置关系 理(含试题)

1、【科学备考】（新课标）2015高考数学二轮复习 第九章 平面解析几何 直线与圆、圆与圆的位置关系 理（含2014试题）理数1. (2014福建,6,5分)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“OAB的面积为”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件答案 1.A解析 1.当k=1时,l:y=x+1,由题意不妨令A(-1,0),B(0,1),则SAOB=11=,所以充分性成立;当k=-1时,l:y=-x+1,也有SAOB=,所以必要性不成立.2. (2014江西,9,5分)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴

2、上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为()A.B.C.(6-2)D.答案 2.A解析 2.由题意得以AB为直径的圆C过原点O,圆心C为AB的中点,设D为切点,要使圆C的面积最小,只需圆的半径最短,也只需OC+CD最小,其最小值为OE(过原点O作直线2x+y-4=0的垂线,垂足为E)的长度.由点到直线的距离公式得OE=.圆C面积的最小值为=.故选A.3. (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，6) 过点（4，0）作直线L与圆x2+y2+2x4y20=0交于A、B两点，如果|AB|=8，则L的方程为 ( ) A. 5x+12y+20=0 B. 5x-

3、12y+20=0C. 5x-12y+20=0或x+4=0 D. 5x+12y+20=0或x+4=0答案 3. D解析 3. 圆x2+y2+2x4y20=0的圆心为（1,2），半径为5，当|AB|=8时，可得圆心到直线L的距离为3. 显然直线L的斜率不存在时，满足题意，此时直线方程为x+4=0；当斜率存在时，设直线L的方程为，由题意可得，解得此时直线方程为5x+12y+20=0，综上可得答案为D.4. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，7) 过点（) 作直线与圆交于A、B两点，如果, 则直线的方程为（ ）(A) (B) (C) 或(D) 或答案 4. C解析 4. 因为圆的圆心为（1

4、,2），半径为5. 当弦AB的长为8时，可得圆心到直线的距离为3，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，由题意得，解得k=0或，所以所求直线的方程为或.5. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 12) 双曲线的左、右焦点分别为，, 过左焦点作圆的切线，切点为，直线交双曲线右支于点. 若，则双曲线的离心率是（ ）答案 5.C解析 5.由已知可知，且是的中点，所以，从而，在中，故.6. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 10) 在平面直角坐标系中，抛物线: 的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积，则（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8答案 6.B解析 6.因为

5、的中垂线过外接圆圆心，所以此直线与准线的距离即为外接圆半径，故=，故.7. (2014广东广州高三调研测试，7) 若点和点到直线的距离依次为1和2，则这样的直线有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条答案 7.C解析 7. 由已知可转化为圆的切线问题。以为圆心，1为半径作圆；以为圆心，2为半径作圆，显然这两圆外切，则这两个圆的外公切线有2条，内公切线有1条；从而满足条件的直线有3条.8. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，7) 直线截圆所得劣弧所对圆心角为 （ ）A. B. C. D. 答案 8. C解析 8. 如图，设直线与圆交于、，于，所以，因为圆心到直线的距离，圆

6、的半径为2，所以，即，所以.9.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，10）给定圆: 及抛物线：过圆心作直线, 此直线与上述两曲线的四个交点, 自上而下顺次记为如果线段的长按此顺序构成一个等差数列, 则直线的斜率为（ ）A B CD答案 9. C解析 9. 圆P的圆心P（1,0），抛物线的焦点坐标为（1,0）. 由圆P与抛物线的位置关系可得，点A和点D在抛物线上，点B和点C在圆上，因为直线l过圆心，可得BC=2，又因为的长按此顺序构成一个等差数列可得，设点，根据抛物线的定义可知，可得. 显然直线l的斜率存在，设直线方程为，联立直线与抛物线方程可得，解得.10.（2014吉林

7、实验中学高三年级第一次模拟，9）若抛物线的焦点是F，准线是，点M（4，4）是抛物线上一点，则经过点F、M且与相切的圆共有（ ）A0个 B1个 C2个 D4个答案 10. C解析 10. 焦点F的坐标为（1,0），准线为x=1，由圆与相切可设圆的方程为: ，则由题意可得、两式联立得，代入到中消b得关于a的一元二次方程，此方程有两个实数根，由此可得此圆共有2个.11. (2014广西桂林中学高三2月月考，3) 若直线始终平分圆的周长，则的取值范围是（ ）(A) (B) (C) (D) 答案 11. D解析 11. 由配方得，所以圆心坐标为，若直线始终平分圆的周长，则直线必过点，所以，所以，即，当且

8、仅当，即是取等号. 故的取值范围是是.12.(2014广州高三调研测试, 7) 若点和点到直线的距离依次为1和2，则这样的直线有（ ）A1条 B2条 C3条 D4条答案 12. C解析 12. 依题意作图，满足条件的直线有3条.13. (2014湖北黄冈高三期末考试) 命题，使；命题直线与圆相切. 则下列命题中真命题为（ ）A. B. C. D. 答案 13. A解析 13. 命题的真假判断. 对命题，当时，成立，则命题为真；又圆心到直线的距离为圆的半径，则命题真，故为真.14. (2014大纲全国,15,5分)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l1与l2的交点为(1,3),则l1

9、与l2的夹角的正切值等于_.答案 14.解析 14.依题意设过点(1,3)且与圆x2+y2=2相切的直线方程为y-3=k(x-1),即kx-y-k+3=0.由直线与圆相切得=,即k2+6k-7=0.解得k1=-7,k2=1,设切线l1,l2的倾斜角分别为1,2,不妨设tan 1g(x)恒成立,则实数b的取值范围是_.答案 18.(2,+)解析 18.函数g(x)=的图象是以坐标原点为圆心,2为半径的圆在x轴上及其上方的部分.由题意可知,对任意x0I,都有h(x0)+g(x0)=2f(x0),即(x0, f(x0)是点(x0,h(x0)和点(x0,g(x0)的中点,又h(x)g(x)恒成立,所以

10、直线f(x)=3x+b与半圆g(x)=相离且b0.即解之得b2.所以实数b的取值范围为(2,+).19. (2014山西太原高三模拟考试（一），14) 已知P是直线上的动点，PA、PB是圆的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是 . 答案 19. 解析 19. 圆C的圆心为（1,1），半径为1，圆心C到直线的距离为. 四边形PACB的面积等于CAP的面积的二倍，其值为，欲使其值最小只需使PC的长度最小即可，结合圆的性质可得PC的长度的最小值为即为圆心C到直线的距离，所以四边形PACB的面积的最小值为.20.(2014山东青岛高三第一次模拟考试, 12) 圆的圆心到直线

11、的距离_.答案 20. 3解析 20. 因为，所以，即圆心为，所以.21. (2014福州高中毕业班质量检测, 13) 若直线与圆相交于、两点, 则的值为 . 答案 21. 0解析 21.因为圆心到直线的距离为，圆的半径为2，所以弦长，所以是直角三角形，且，所以.22. (2014北京东城高三第二学期教学检测，12) 已知圆的方程为, 设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为_.答案 22.解析 22. 圆的方程可化为，故圆心为，半径为. 由题意知，且为圆的直径长为，最短弦的中点为，由勾股定理可算出. 故.23. (2014重庆七校联盟, 11) 已知圆的方程为，直线的方程为，若圆

12、与直线相切，则实数 .答案 23. 或解析 23. 圆与直线相切，解得或.24. (2014天津七校高三联考, 9) 直线被圆截得的弦长为_答案 24. 4解析 24. 由 得，圆系的坐标为，半径为，直线被圆截得的弦长为.25.(2014福建,21(2),7分)选修44:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(为参数).()求直线l和圆C的普通方程;()若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.答案 25.查看解析解析 25.()直线l的普通方程为2x-y-2a=0,圆C的普通方程为x2+y2=16.()因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d=4

13、,解得-2a2.26.(2014江苏,18,16分)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tanBCO=.(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?答案 26.查看解析解析 26.(1)解法一:如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0,60),C(170,0),直线BC的斜率

14、kBC=-tanBCO=-.因为ABBC,所以直线AB的斜率kAB=.设点B的坐标为(a,b),则kBC=-,kAB=.解得a=80,b=120.所以BC=150.因此新桥BC的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m(0d60).由条件知,直线BC的方程为y=-(x-170),即4x+3y-680=0.由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,即r=.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,所以即解得10d35.故当d=10时,r=最大,即圆面积最大.所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大.解法二:如图,延长OA,CB交于点F.

15、因为tanFCO=,所以sinFCO=,cosFCO=.因为OA=60,OC=170,所以OF=OCtanFCO=,CF=,从而AF=OF-OA=.因为OAOC,所以cosAFB=sinFCO=.又因为ABBC,所以BF=AFcosAFB=,从而BC=CF-BF=150.因此新桥BC的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连结MD,则MDBC,且MD是圆M的半径,并设MD=r m,OM=d m(0d60).因为OAOC,所以sinCFO=cosFCO.故由(1)知sinCFO=,所以r=.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,所以即解得10d35.故当d=10时

16、,r=最大,即圆面积最大.所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大.27.(2014天津,18,13分)设椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.()求椭圆的离心率;()设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.答案 27.查看解析解析 27.()设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.所以椭圆的离心率e=.()由()知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.设P(x0,y0).由F1(

17、-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c0,故有x0+y0+c=0.又因为点P在椭圆上,故+=1.由和可得3+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-c,代入得y0=,即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1=-c,y1=c,进而圆的半径r=c.设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得=r,即=c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4.所以直线l的斜率为4+或4-.28.(2014北京,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.()求椭圆C的离心率;()设O为原点.若点A

18、在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OAOB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.答案 28.查看解析解析 28.()由题意知,椭圆C的标准方程为+=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e=.()直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x00.因为OAOB,所以=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.当x0=t时,y0=-,代入椭圆C的方程,得t=,故直线AB的方程为x=.圆心O到直线AB的距离d=.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0t时,直线AB的方程为y-2=(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.圆心O到直线AB的距离d=.又+2=4,t=-,故d=.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.29. (2014周宁、政和一中第四次联考，16) 已知动点到点的距离是它到点的距离的倍（）试求点的轨迹方