最优化方法试卷与答案5套

1、最优化方法最优化方法1 1 一、填空题：一、填空题： 1 1最优化问题的数学模型一般为：最优化问题的数学模型一般为：_，其中，其中 _称为目标函数，称为目标函数，_称为约束函数，可行域称为约束函数，可行域 D D 可以表示可以表示 为为_，若，若_， 称称x*为问题的局部最优解，若为问题的局部最优解，若_，称，称x* 为问题的全局最优解。为问题的全局最优解。 2 2 设设 f(x)=f(x)=2x 1 2 2x 1 x 2 x 1 5x 2 ， 则则 其其梯梯度度 为为 _ ，海海色色矩矩阵阵 _,_,令令x (1,2)T,d (1,0)T,则则f(x)f(x)在在x处沿方向处沿方向d d的一

2、阶方向导数为的一阶方向导数为 _，几何意义为，几何意义为_,_,二阶二阶 方向导数为方向导数为_，几何意义为，几何意义为_ _。 3 3设严格凸二次规划形式为：设严格凸二次规划形式为： 2min f (x) 2x 1 2 2x 2 2x 1 x 2 s.t.2x 1 x 2 1 x 1 0 x 2 0 则其对偶规划为则其对偶规划为_。 4 4求解无约束最优化问题：求解无约束最优化问题：min f (x),x Rn，设，设xk是不满足最优性条件的第是不满足最优性条件的第 k k 步迭代点，则：步迭代点，则： 用最速下降法求解时，搜索方向用最速下降法求解时，搜索方向dk=_=_ 用用 Newton

3、Newton 法求解时，搜索方向法求解时，搜索方向dk=_=_ 用共轭梯度法求解时，搜索方向用共轭梯度法求解时，搜索方向dk=_=_ _ 。 二二 （1010 分）简答题：试设计求解无约束优化问题的一般下降算法。分）简答题：试设计求解无约束优化问题的一般下降算法。 三三 （2525 分）计算题分）计算题 1 1 （1010 分）用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解：分）用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解： min f (x) 2x 1 33x 1 26x 1 x 2 (x 1 x 2 1). . 2 2 （1515分）分） 用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分

4、条件求约束问题：用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求约束问题： min s.t. f (x) x 1x2 c(x) x x 1 0 2 1 2 2 的最优解和相应的乘子。的最优解和相应的乘子。 四四 证明题（共证明题（共 3333 分）分） 1 1 1 （1010 分）设分）设f (x) xTGx rTx 是正定二次函数，证明一维问题是正定二次函数，证明一维问题 2 min(a) f (xk adk) 的最优步长为的最优步长为a k f (xk)Tdk dGd kTk . 2 2 （1010 分）证明凸规划分）证明凸规划 min f (x),xD（其中（其中f (x)为严格凸函数，为

5、严格凸函数，D D 是凸集）是凸集） 的最优解是唯一的的最优解是唯一的 3.3. （1313 分）考虑不等式约束问题分）考虑不等式约束问题 min s.t. f (x) c i (x) 0,iI 1,2, ,m 其中其中f (x),c i (x)(i I)具有连续的偏导数，具有连续的偏导数， 设设x是约束问题的可行点，是约束问题的可行点， 若在若在x处处 d d 满足满足 f (x)Td 0, c i (x) d 0,iI(x) 则则 d d 是是x处的可行下降方向。处的可行下降方向。 T 最优化方法最优化方法2 2 一、填空题：一、填空题： 1 1最优化问题的数学模型一般为：最优化问题的数学

6、模型一般为：_，其中，其中 _称为目标函数，称为目标函数，_称为约束函数，可行域称为约束函数，可行域 D D 可以表示可以表示 为为_，若，若_， 称称x*为问题的局部最优解，若为问题的局部最优解，若_，称，称x* 为问题的全局最优解。为问题的全局最优解。 2 2设设 f(x)=f(x)=x 1 2 2x 1 x 2 10 x 1 5x 2 ，则则其其梯梯度度为为_ ，海海色色矩矩阵阵 _,_,令令x (1,0)T,d (1,1)T,则则 f(x)f(x)在在x处沿方向处沿方向 d d 的一阶方向导数的一阶方向导数 为为_，几何意义为，几何意义为_,_,二阶二阶 方向导数为方向导数为_，几何意

7、义为，几何意义为_ _。 3 3设严格凸二次规划形式为：设严格凸二次规划形式为： 2min f (x) x 1 2 x 2 2x 1 x 2 s.t.x 1 x 2 1 x 1 0 x 2 0 则其对偶规划为则其对偶规划为_。 4 4求解无约束最优化问题：求解无约束最优化问题：min f (x),x Rn，设，设xk是不满足最优性条件的第是不满足最优性条件的第 k k 步迭代点，则：步迭代点，则： 用最速下降法求解时，搜索方向用最速下降法求解时，搜索方向dk=_=_ 用用 NewtonNewton 法求解时，搜索方向法求解时，搜索方向dk=_=_ 用共轭梯度法求解时，搜索方向用共轭梯度法求解时

8、，搜索方向dk=_=_ _ 。 二二 （1010 分）简答题：试叙述求解无约束优化问题的优化方法及其优缺点。分）简答题：试叙述求解无约束优化问题的优化方法及其优缺点。 （200200 字左右）字左右） 三三 （2525 分）计算题分）计算题 3 3 （1010 分）用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解：分）用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解： min f (x) 2x 1 33x 1 26x 1 x 2 (x 1 x 2 1). . 4 4 （1515 分）用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求解约束问分）用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求解约

9、束问 题：题： min s.t. f (x) x i p i1 n c(x) x i a 0 i1 n 其中其中p 1,a 0. 四四 证明题（共证明题（共 3333 分）分） 1 1 （1010 分）分） 1 设设f (x) xTGx rTx 是正定二次函数，证明一维问题是正定二次函数，证明一维问题 2 min(a) f (xk adk) 的最优步长为的最优步长为a k f (xk)Tdk dGd kTk . 2 2 （2323 分）考虑如下规划问题分）考虑如下规划问题 min s.t. f (x),xRn c i (x) 0,i 1,2, ,m. 其中其中f (x),c i (x)(i 1

10、, ,n)是凸函数，证明：是凸函数，证明： （1 1） （7 7 分）上述规划为凸规划；分）上述规划为凸规划； （2 2） （8 8 分）上述规划的最优解集分）上述规划的最优解集R*为凸集；为凸集； （3 3）（8 8 分）设分）设f (x),c i (x)(i 1,2, ,n)有连续的一阶偏导数，若有连续的一阶偏导数，若x*是是 KTKT 点，则点，则x*是上述凸规划问题的全局解。是上述凸规划问题的全局解。 最优化方法试题最优化方法试题 3 3 一、填空题 1.设 f (x)是凸集S Rn上的一阶可微函数，则f (x)是 S 上的凸函数 的一阶充要条件是（） ，当n=2 时，该充要条件的几何

11、意义 是（） ； 2.设 f (x)是凸集Rn上的二阶可微函数， 则f (x)是Rn上的严格凸函数 （） （填当或当且仅当）对任意 xRn，2f (x)是 （）矩阵； 2min z x 1 2 x 2 x 1x2 2x 1 3x 2 5 5 t x 1 x 2 2 3.已知规划问题s.，则在点x ( , )T处的 6 6 x 1 5x 2 5x 1,x2 0 可行方向集为（） ，下降方向集为（） 。 二、选择题 min f (x 1 2)2 x 2 2 2t x 1 x 2 0 1.给定问题 s. ，则下列各点属于 K-T 点的是 x 1 x 2 0 （） A) (0,0)T B)(1,1)T

12、 C)( , 1 1 ( , )T 2 2 1 2 2 T) D) 2 2.下列函数中属于严格凸函数的是（） A) f (x) x 1 22x 1x2 10 x 1 5x 2 B) 3f (x) x 1 2 x 2 (x 2 0) C) 22f (x) 2x 1 2 x 1x2 x 2 2x 3 6x 1x3 D) f (x) 3x 1 4x 2 6x 3 三、求下列问题 min fx 1 2 1 2x 1 x 2 5x 1 10 x 2 22 s. t2x 1 3x 2 30 x 1 4x 2 20 x 1,x2 0 T取初始点0,5。 四、考虑约束优化问题 2min fx x 1 24x

13、2 s. t3x 1 4x 2 13 用两种惩罚函数法求解。 五用牛顿法求解二次函数 f (x) (x 1 x 2 x 3 )2(x 1 x 2 x 3 )2(x 1 x 2 x 3 )2 1 1 的极小值。初始点x 0 ,1, 。 2 2 T 六、证明题 1.对无约束凸规划问题min f (x) xTQxcTx，设从点x Rn出发，沿方 vv n向d R作最优一维搜索，得到步长 t 和新的点 y x td，试证当 v T v d Qd 1时，t2 2f (x) f (y)。 1 2 2.设x (x ,x ,x ) 0是非线性规划问题* 21 * T 3 min fx x 1 2x 2 3x

14、3 44s. tx 1 4 x 2 x 3 10 的最优 解，试证 x 也是非线性规划问题 * 44min x 1 4 x 2 x 3 s. tx 1 2x 2 3x 3 f* 的最优解，其中 *f* x 1 2x 2 3x 3 。 最优化方法试题最优化方法试题 4 4 一、 是非题 1. 若某集合是凸集， 则该集合中任意两点的所有正线性组合均属于 此集合。 2. 设函数f (x)C2， 若f (x*) 0， 并且2f (x*)半正定， 则x*是min f (x) 的局部最优解。 3. 设x*是min f (x)的局部最优解，则在x*处的下降方向一定不是可 行方向。 4. 设x*是min f

15、(x)的局部最优解，则x*是min f (x)的 K-T 点。 5. 设函数f (x)C2， 则用最速下降法求解min f (x)时， 在迭代点xk处 的搜索方向一定是f (x)在xk处的下降方向。 6. 用外点法求解约束优化问题时，要求初始点是不可行点。 二、在区间1,1上用黄金分割法求函数f (x) x2 x 2的极小点，求 出初始的两个试点及保留区间。 三、验证点(1 17 1 17T ,) 与(0,3)T是否是规划问题 22 min fx x 1 2 x 2 2s. tx 1 2 x 2 9 x 1 x 2 1 0 的 K-T 点。对 K-T 点写出相应的 Lagrange 乘子。 四

16、、用外点法求解 2min fx (x 1 1)2 x 2 s. tx 2 1 五用共轭梯度法求解无约束优化问题 min x2 2 1 2x 2 2x 1x2 x 1 x 2 取初始点x T 0 (0,0) ，精度为103。 六、证明题 1.设集合S Rn是凸集，f 1(x),L fk (x)是S上的凸函数，令 f (x) maxf 1(x),L fk (x)xS 证明 f (x)也是S上的凸函数。 2.设 n X xRn|a 1, L ij x j b i ,i L ,m,x j 0, j 1,L ,n,xX L ，记 j1 I(x) n i 1,L ,m|a ij x j b i , j1

17、J(x) j1,L ,n| x j 0, 证明： p是X L 在x处的可行方向的充要条件是 n a ij p j 0,iI(x);p j 0,jJ(x)。 j1 最优化方法试题最优化方法试题 5 5 二、填空题 1.设 Q 为 n 阶对称正定矩阵， A mn 为行满秩矩阵，则问题 1 T min f (x) x Qx 的 K-T 点为（） ； 2 tAx b s. 2.min f (x) (x 1 2)4(x 1 2x 2 )2的平稳点为（ ） ，该平稳点 （） （填是或不是 ）局部最优解； min f (x) 是 问 题 s. 处 有tAx b3. 设x的 可 行 解 ， 则 在x ARmn

18、,xRn,bRm TTTT b 1, A2 x b 2 ,其中A (A 1 T, A 2 ) ,b (b 1 T,b 2 )A 1x 的下降方向，则d 0是x 的可行方向的充要条件为的充要条件为（） ，d 0是x （） 。 二 运用 0.618 法求 min f x x2 x 2 在区间1,3上的极小点。要求最终区间长度不大于原区间长度的 0.08 倍。 （计算结果精确到 0.001） 三、用最速下降法求解无约束问题 min f x 3x 1 22 4x 2 32，取 初始点x14,3T。 四、证明题 1.用牛顿法求函数f (x) xTAxbTxc（A 为对称正定矩阵）的极小值 只需一次迭代； 1 2 2.罚函数内点法定义惩罚函数G(x,r) f (x)rB(x)， （其中B(x) 0） 。设 r k1 r k (k 1,L )产生序列x(k