2010-固体理论第一章周期性结构

1、,第一章 周期性结构 (Periodic Structure) 1.1 正格矢与倒格矢 原子（离子、原子团或分子）排列的周期性是晶体的主要特征之一,第一章 周期性结构,正点阵中任一格点的位置由正格矢确定： a1、a2、a3为正点阵的基矢；l1、l2、l3可以取所有整数,第一章 周期性结构,一般尽可能取最短的矢量为基矢。 由不共面的三个基矢a1、a2、a3所围成的原胞的体积V为：,第一章 周期性结构,原胞的选取原则（Bravais Rule） ： 1、应充分反映点阵的对称性； 2、格子直角应尽可能多 ； 3、所包括的阵点数应尽可能少 ； 4、基矢应尽可能短,第一章 周期性结构,维格纳赛茨原胞（W

2、igenrSeitz Cell） 一个格点与其最近邻（有时也包括次近邻）格点的连线的中垂面所围成的多面体。 只含一个格点，但包括了全部对称性,第一章 周期性结构,例1：二维平方格子的WS原胞 解：,第一章 晶体结构,图2 体心立方的布喇菲原胞示意图,例2：BCC结构的W-S原胞,解： 最近邻8个格点；距离 次近邻6个格点；距离a,最近邻,次近邻,第一章 周期性结构,体心立方的基矢为：,第一章 周期性结构,有8个最近邻格点：,第一章 周期性结构,有6个次近邻格点：,第一章 周期性结构,8个最近邻格点的中垂面围成一个正八面体，原点到每个面的垂直距离为： 正八面体的体积为：,第一章 晶体结构,图2

3、BCC的WS原胞示意图,例：BCC的W-S原胞,第一章 周期性结构,但体积比一个格点的体积a3/2大。 计及次近邻格点后，截去正八面体的六个顶角，体积正好等于一个格点的体积。 具体计算留给同学们计算。 WS原胞是对称性原胞，具有所属点群的全部对称性 为理论计算带来好处,第一章 周期性结构,第一章 周期性结构,为了描述晶体中的电子、声子、自旋波量子的状态等，它们均是用波矢量来进行表征， 波矢量空间引入倒点阵 （Reciprocal Lattice ）： 倒点阵的基矢b1、b2、b3与正点阵基矢a1、a2、a3满足关系：,第一章 周期性结构,可以证明：,第一章 周期性结构,在倒点阵中的任一格点可以

4、用倒格矢表示：,第一章 周期性结构,一般尽可能取最短的矢量为基矢。 由不共面的三个基矢b1、b2、b3所围成的原胞的体积为：,第一章 周期性结构,一般取倒点阵中的WS原胞为倒点阵的原胞 当倒点阵的WS原胞的中心正好为倒空间的原点时，倒点阵中的WS原胞所包含的区域为第一布里渊区（Brillouin Zone） 其余的布里渊区可以经过移动，折合到第一布里渊区。,二维布里渊区 正方格子的布里渊区,正方格子的基矢,倒格子原胞基矢, 第一布里渊区,倒格子空间离原点最近的四个倒格点,垂直平分线方程, 第一布里渊区,大小, 第二布里渊区,由4个倒格点, 第二布里渊区大小,的垂直平分线和第一布里渊区边界所围成

5、,由4个倒格点, 第三布里渊区,第三布里渊区大小,的垂直平分线和第二布里渊区边界边界所围成,第一、第二和第三布里渊区, 正方格子其它布里渊区的形成, 正方格子其它布里渊区的形状, 每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合, 二维六方晶格布里渊区的形状, 每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合,体心立方晶格的倒格子是面心立方格子。本图中用实心圆点标出了倒格点。在倒空间中画出它的第一布里渊区。如果正格子体心立方体的边长是a，则倒格子为边长等于4/a的面心立方。,主要的对称点： ： ；H： ； P： ；N：,第一章 晶体结构,可以看出： （1）布里渊区的形状与晶体结构有关；（2）布

6、里渊区的边界由倒格矢的垂直平分 面构成。 第一布里渊区就是倒格子原胞，其体积是一个倒格点所占的体积，与倒格子原胞的体积相等。,第一章 晶体结构,倒易点阵的物理意义： (1) 倒易点阵的一个基矢是与正点阵的一组晶面相对应的； (2) 倒易点阵基矢的方向是该晶面的法线方向； (3) 倒易点阵基矢的大小是该晶面族的晶面间距的倒数的2倍。单位为长度的倒数,第一章 周期性结构,倒格子的性质,(1).若h1、h2、h3为互质整数，则 Ghh1b1h2b2h3b3为该方向的最短倒格矢。 (2).正、倒格子互为倒格子。 (3). Gh h1b1h2b2h3b3垂直于晶面族 （h1、h2、h3）。,(4) 某方

7、向最短倒格矢 Ghh1b1h2b2h3b3 之模和晶面族（h1、h2、h3）的面间距dh成反比。 （5）倒格矢Gh和正格矢Rn的标积是2的整 数倍 GhRn2m,（6）正、倒格子初基元胞体积间满足 （2）3 (7) 晶体的傅立叶变换,设函数V(x)具有正晶格周期性，它可以作付里叶级数展开：,n是整数,V(Gn)是V(x)在倒空间的“映像和表述”，它们之间满足傅立叶变换的关系。,一个具有正格子周期性的物理量，在正格子中的表述与在倒格子中的表述之间满足傅立叶变换的关系。 同一晶体的正、倒点阵具有相同的点群对称性 BZ具有晶体点阵点群的全部对称性。,第一章 周期性结构,1.2 平移对称性 格点在三维

8、空间无限周期性排列组成点阵 空间点阵沿任意正格矢平移后具有不变性。 由波恩卡门循环边界条件有：,第一章 周期性结构,这里， 是平移算符 ： 对函数的作用为：,第一章 周期性结构,对于原胞数为NN1N2N3的晶体，共有N个平移算符，它们的集合满足： 1）任意两次相继的平移仍为一平移，即 2）满足乘法的结合律 3） 代表反方向的平移,第一章 周期性结构,4）存在着恒等操作 所组成的群为平移群。 平移群的最大特点为： 相继两次平移的效果与其作用的先后次序无关 平移算符之间可以对易。,第一章 周期性结构,1.3 布洛赫定理 当N（N1N2N3）个原胞组成的晶体满足波恩卡门条件时，具有平移对称性。 正格

9、矢Rl可以取N个不同的值， 有N个 组成N阶平移群,第一章 周期性结构,这个N阶群的每个元素本身自成一个共轭类 群中的共轭类数与不可约表示数相同。 故平移群有N个不可约表示。,第一章 周期性结构,不可约表示的维数n为：,表明平移群的N个不可约表示都是一维的,第一章 周期性结构,设 （r）为此一维表示的基函数：,第一章 周期性结构,这里D是表示的一维矩阵，实际是一个数。 由波恩卡门循环边界条件：,第一章 周期性结构,由此可知，有：,第一章 周期性结构,在倒空间定义波矢量k: 故对任意正格矢的平移,有：,第一章 周期性结构,由D定义的波矢k可以作为平移群的不可约表示的标记。 第k个不可约表示的一维

10、矩阵是exp（ikR1） 因此，式（1.3.8）可以理解为：,（1.3.9）为布洛赫定理,第一章 周期性结构,(1.3.9)可以改写为：,第一章 周期性结构,这说明uk(r)是正点阵的周期函数， 布洛赫函数为： 具有调幅波的特性 晶体周期势场中的电子波函数、格波、自旋波等均具有布洛赫函数的形式。,第一章 周期性结构,由于布洛赫定理是从晶体的平移对称性推导出来的， 凡属周期性结构中的波均具有布洛赫函数的形式。,第一章 周期性结构,以k表示平移群的不可约表示，还存在是否唯一的问题。,对应的布洛赫函数为k和k,第一章 周期性结构,这表明，除k出外，还有一组与k等效的kKn对应于同一个不可约表示。 需

11、要限制k的取值范围以保证在这个区域内，任意两个波矢之差均小于一个最短的倒格矢。,第一章 周期性结构,这个区域就称为第一布里渊区（1st Brillouin Zone； BZ） 在BZ中的波矢称为简约波矢；BZ中共有N个不同的波矢k，可以唯一地标记平移群的N个不可约表示。 第k个不可约表示可以标记为:,第一章 周期性结构,因此，相应的特征标为：,通常简约区是取相对于k0的对称多面体（倒空间的WS原胞）,第一章 周期性结构,有时，也对k进行限制：,因此，由此限制的波矢k也只有N个。,第一章 周期性结构,几个重要的关系式： 1）平移群不可约表示的正交关系： 群论中两个不可约表示i与j的矩阵元满足正交

12、关系：,g为群的阶数，ni为第i个不可约表示的维数，求和遍及所有群元R,第一章 周期性结构,对于平移群，有： 表明平移群的矩阵是一维的。,第一章 周期性结构,2）平移群特征标的正交关系,第一章 周期性结构,3）求和与积分的关系 由于沿着bi方向相邻k值的间距为： 则每一个唯一的k值所占据的体积为：,第一章 周期性结构,V为晶体体积，因此在k空间的单位体积内 有 个不同的波矢，即为波矢密度或 状态密度。 由于N很大，因此，对BZ的k的求和可以变化为对k的积分：,第一章 周期性结构,平移不变性对于晶体的能谱有重要的影响 在周期性势场下运动的电子，其能量的本征值与n，k有关： 同一个n不同的k的所有

13、能级保持在同一个边界内，从而形成能带。,第一章 周期性结构,有能带存在是由布洛赫函数的振幅是正点阵的周期函数所决定的。 因此，所有周期结构中一切波的能（频）谱都应该形成带状结构,第一章 周期性结构,1.4布里渊区和晶体对称性 在布里渊区中，能带En(k)的对称性和简并度与晶体的空间群有关 空间群包括平移、旋转、反射、滑移反映（位移反射）以及螺旋轴（位移旋转）等,第一章 周期性结构,空间群的算符为： 代表旋转、反映等点群对称操作； t 代表平移。 当E及t Rl时，为平移群E|Rl 当t 0 ，即无平移，为点群 当t Rl时，代表螺旋轴或滑移反映面,第一章 周期性结构,第一章 周期性结构,晶体的

14、空间群所有|t的集合，平移群是其不变子群 空间群的任意元素对平移群作下列乘积： 要求Rl仍为正格矢，也就是说，点阵经过旋转等操作后与自身重合，晶体只有2，3，4，6次旋转轴，表明晶体空间群是有限群,第一章 周期性结构,1、BZ中En(k)的对称性 如果某个晶体属于空间群|t ，则其哈密顿量H应该与|t对易，即H对于空间群|t的一切操作是不变的。,第一章 周期性结构,对两个矢量作同一个正交变换，其标量积不变，则有：,第一章 周期性结构,考虑到BZ中的k经过操作后变化为k，但仍在BZ之中，故有平移算符的本征方程： 比较（1.4.9）和（1.4.10）: 具有相同的平移算 符本征值exp(-i kR

15、l),第一章 周期性结构,由于平移群的不可约表示是一维的，因此，这两个函数最多只差一个相位因子： 故可以计算 能量本征值：,第一章 周期性结构,对于简单空间群，晶体与点阵才具有相同的点群对称性， 即如果把En（k）看成是布里渊区中的“位置”的函数，则En（k）便具有点阵点群|0的全部对称性。,第一章 周期性结构,例1：二维正方点阵，BZ为正方形，有8个对称操作：,4mm点群（,第一章 周期性结构,。,kx,ky,二维正方点阵的布里渊区,k1,k6,k5,k4,k3,k2,k8,k7,第一章 周期性结构,对k1进行4mm点群操作后，将变化到k1，k2，k3，k4，k5，k6，k7，k8 。这8个

16、点在同一个能级内具有同样的能量：,第一章 周期性结构,2 En(k)的简并度 在某些高对称性的点和线上，En(k)可能有简并能级存在，引入k波矢群的概念： k波矢群就是点群|0中使k不变的那些对称操作元素的集合所构成的群，满足：,第一章 周期性结构,k波矢群就是点群|0的子群。 波矢群不可约表示的维数给出正交基函数的个数。 不可约表示的基函数有相同的能量，因此，k波矢群不可约表示的维数就给出k点能级的简并度dn。,第一章 周期性结构,例2：二维正方点阵的波矢群 二维正方点阵的BZ为正方形，保持BZ不变的操作为4mm点群： 有6个高对称点和线： 1） ； X 表示BZ中心 (k0)、顶角及边界面

17、中心点,第一章 周期性结构,。,kx,ky,二维正方点阵BZ的高对称点与线,M,X,Z,第一章 周期性结构,2）；分别代表位于线；上任意一点（但不包括 ； X这三个点） （i） 点（k0） 有8个操作， 可以分为5个共轭元素类，有5个不同的不可约表示。,第一章 周期性结构,表明在波矢群中有四个一维的不可约表示；一个二维的不可约表示。 在点有4种单重态和1种双重简并态。,第一章 周期性结构,（ii）M 点 也有8个操作， 可以分为5个共轭元素类，有5个不同的不可约表示。 表明在M波矢群中有四个一维的不可约表示；一个二维的不可约表示。 在M点有4种单重态和1种双重简并态。,（iii）X 点 只有4

18、个操作， 可以分为4个共轭元素类，有4个不同的不可约表示。 表明在X波矢群中有四个一维的不可约表示； 在X点有4种单重态，无双重简并态。,第一章 周期性结构,（iV）； 点 均只有两个对称元素： 波矢群（E，my） 波矢群（E，md） Z波矢群（E，mx） 均只有2个共轭元素类，有2个不同的不可约表示。 表明在； 波矢群中只有2个一维的不可约表示； 在； 点只有2种单重态，无双重简并态。,第一章 周期性结构,（V）一般的点k1 除了E外，其他操作将k1变成k2,k3,.k8等。 波矢群只有E，能带是非简并的。 在二维正方格子的布里渊区里，能带的简并只发生在中心和顶角M上。,第一章 周期性结构,对三维情况，当晶体不含滑移反映面及螺旋轴时，波矢群均属于32点群之一。 可查点群品格表获得恒等元素E的特征标， 即可知道波矢群的不可约表示的维数，从而求出能带En（k）的简并度,第一章 周期性结构,3 时间反演对称性 时间反演是：tt 对于无磁场的薛定谔方程，时间反演操