人教版高中数学《二项式定理》全国一等奖教学设计

1、二项式定理（一）二项式定理（一） 教学设计教学设计 一、教学内容解析一、教学内容解析 1.3.1 二项式定理是普通高中课程标准实验教科书-数学选修 2-3 第一章 第三部分第一节的内容， 这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续， 也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用 到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变 量及分布做准备。 二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、 近似计算 问题的一种方法，并能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多 项式乘法的拓展，它又是学生进一步学

2、习数学分析中函数级数展开式的一个特例，在 组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用，因此这节课在高中数 学中有着十分重要的作用。通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学 生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。 教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，二项式系数的性质等通 过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、 近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重 视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。 二项式定理本身是教学重点，因为它是后面各种应用的基础通项公式，二项式 系数的性质，特殊化方法等意义重

3、大而深远，所以也应该是重点。 二项式定理的证明是一个教学难点这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地 运用组合数的性质。 二、学情分析二、学情分析 学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的 归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问 题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。本节课 二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此 1 本堂课采用小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识 的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。 在教学中，努力把表现

4、的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学 生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和 创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。 三、教学目标设置三、教学目标设置 1.1.知识技能目标知识技能目标 （1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广。 （2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。 （3）掌握对简单的二项式进行展开，能够对项的系数与二项式系数进行区分，并 能求出指定项。 2.2.过程与方法目标过程与方法目标 通过学生经历二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及 化归的意识与方法迁移的能力，体会归纳猜想论证的思想方法,

5、发展探究能力。 3.3.情感、态度、价值观目标情感、态度、价值观目标 培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数 学语言的简捷和严谨。 四、教学重点、难点四、教学重点、难点 重点：重点：用两个计数原理分析(a b)3的展开式得到二项式定理；掌握二项展开式的 通项公式；能应用它解决一些简单问题。 难点：难点：用两个计数原理分析推导(a b)3的展开式；用两个计数原理证明二项式定 理。 五、教学过程五、教学过程 2 教 学 程 序 问题 引出问题：如果今天是星期五，14 天后的这 一天是星期几呢？23 天后的这一天呢？ 师生归纳：比如23=73+2，所以23 天后是 星

6、期日。 算法：用各个数除以 7，看余数是多少， 再用五加余数来推算 师：再过 82016天后是星期几，你知道吗？ 不方便求 出 82016除以的余数 ，可以 利用 8=7+1，得到 82016=(7+1)2016=? 如果不用计算器的话,此时就需要研究 设计意图师生活动 提出问题激 发学生探索让 学 生 用 计 欲望， 并引出算器计算 课题 (a ab b)n n?(n nN N*) 从特殊开始 由(a+b) =a+b (a+b) =(a+b)(a+b)=a +2ab+b ; (a+b) =(a+b) (a+b)=? 33223 32 222 1 体会多项式 乘法计算过 程,加深对因 式展开原

7、理 的理解。 与 学 生 一 同 计算，得到计 算结果，为后 面做铺垫。 创 设 结果：(a ab b) a a 3a a b b3abab b b 问 题 探究一：通过组合思想来分析(a+b)3的展开 情 境 式(a b)3 (a b)(a b)(a b)展开后 引 入 项的形式为：a3,a2b,ab2,b3 新 课 项的系数，考虑b， a3：每个都不取b的情况有 1 种，即C3 , 0 则a3前的系数为C 3 恰有 1 个取b的情况有C 3 种， 则a2b前a2b： 的系数为C 恰有 2 个取b的情况有C 3 种， 则b2前ab2： 的系数为C 3 b3：恰有 3 个取b的情况有C3种，则

8、b3前 3 2 1 3 1 0 考察学生对 因式展开的 各项形式及 系数的理解。 学 生 说 出 自 己的思路，老 师 做 分 析 与 讲 解 为 后 面 猜想做铺垫。 2 的系数为C 3 所以 303122233(a b) C 3 a C 3a bC3 ab C 3 b 3 3 学 生 先 观 察 总结特点： 1. 项 数 是 指 探究二：观察展开式中的项数、指数变化以 数加 1； 及系数变化， 你发现了什么？由此猜想 （a+b） 让学生通过2.字母a按降 4,(a+b)n的展开式中项数，指数变化及系数 特例去观察幂排列，字母 变化又如何呢？并试着写出他们的展开式。 相同之处与b 按照升幂排

9、 回答： 不同之处， 以列，二者指数 及不同之处之 和 是 二 项 0413222344(a ab b)4C C 4 a a C C 4a a b bC C4 a a b b C C 4ab ab3C C 4 b b 的处理方法， 式指数； 3、 0n n1n n1r rn nr rr r(a ab b)n nC C n na a C Cn na a b bC C n na a b b n nn nC C n n b b (n nN N*) 从而提出猜每 一 项 的 系 想。数 有 上 面 的 问题 2 给出， 这 很 好 的 突 破 了 本 节 的 难点。 探究三： 对于猜想(a ab b)

10、n n 1 n n1C C n n 0a an nC C n n a a b bC C n n 2a an n2b b2. r rn nr rr rn nn nC C n na a b b .C C n n b b我们如何进行证明呢？ 师 生 讨 论 证 让学生体会明思路，通过 利用组合思阅 读 课 本 上 想从特殊到的证明过程， 一般， 对猜想老 师 最 后 做 给出严谨的出方法归类， 理解如何用明的思路。并 “说理” 的方留 下 课 下 演 式阐述证明练 二 项 式 定 过程。理 的 数 学 归 纳法证明。 证明：每个(ab)(ab)n是 n 个(ab)相乘， 在相乘时，有两种选择，选 a

11、 或选 b，由分 步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类 项） ， 其中每一项都是anrbr(r 0,1,n)的形证明过程。 并提 示 学 生 证 式， 对于每一项anrb， 它是由 r 个(ab)选 r 了 b，nr 个(ab)选了 a 得到的，它出现 的次数相当于从 n 个(ab)中取 r 个 b 的组 r合数C n ，将它们合并同类项， 就得二项展开 式，这就是二项式定理 4 观察二项展开式中的项数、指数以及系数有 何特点，谁最具代表性？ (1)项：二项展开式共有n 1项； (2)次数：各项的次数都等于 n； 字母 a 按降幂排列，次数由n 递减到 0；字 母 b 按升幂排列，次数由

12、0 递增到 n 思 考 (3)二项式系数：C (k 0,1,2,n) k n 学 生 继 续 总 结这三点，以 考察学生的强 化 已 有 的 观察力， 以及认识，同时老 分析问题的师强调：二项 能力。式系数，与二 项 展 开 式 系 数的区别。 对二项式定 理的简单应 用， 同时也是 告诉学生二 项式定理在 解决问题时 的方法： 赋值 或是赋表达 式。 学 生 自 主 完 成，老师进行 检查，通过投 影 仪 将 学 生 的 结 果 进 行 展示，错误时 做 出 点 拨 与 分析。 学 生 提 出 解 决思路，老师 破解疑惑让点评分析，怎 学生感受计么才能被7整 观 察 (4)二项展开式的通项：

13、T=Ckankbk k1n 学 习特殊的情况 新 课1.用-b 代替 b. （ab）的展开式写出 n 2.令 a=1,b=2x. 5（12x x）写出的展开式 今天是星期五, 再过 82016天后是星期几，你 知道吗？ 破 解 疑 惑 82016 (71)2016 C C 20167 2016C C 20167 2015 0 1 C C 2015 20167 C C 2015 2016 2016 2016 算的简单与除好计算呢 ? 快捷， 增强对联 想 二 项 式 数学学习的定 理 的 表 达 热情，形式，问题得 到解决，留为 课下计算。 熟悉二项式 定理， 以及对教 师 板 演 过 二项式系

14、数， 程，给学生以 展开式系数， 示范，为后面 7(C C 20167 0 2015C C1 20167 2014C C)1 即 82016除以 7 余数是 1。 故再过 82016天后的那一天是星期六。 5精 讲再探索对于（12x x）的展开式 精 析 思考 1：展开式的第 2 项的系数是多少？ 思考 2：展开式的第 2 项的二项式系数是多 巩 固 少？ 以及x的系数步 骤 的 整 洁 新 知 思考 3：你能否直接求出展开式的第 2 项？ 问题的理解做铺垫。 与记忆。 5 熟悉二项式 定理， 二项式 课堂练习 反 馈 6 练 习 2、求(y y2x x)的展开式的第三项 系数， 二项展学 生

15、 自 主 练 开式系数， 以习，反馈教学 及通项的初效果，老师巡 步应用， 理解视 做 个 别 辅 二项式展开导。 式的项的顺 序。 学生说，教师 让学生回顾课件演示，并 1、求(2x x y y)6的展开式的第三项 课 堂本节课你学习了什么知识，他是怎么得到的本节要点， 观强调：二项式 小 结呢？在学习这部分知识时要注意什么呢？察学生掌握系 数 与 二 项 情况。展 开 式 系 数 的区别。 课本 37 页 习题 1.3 A 组 2、4 布 置 作 业课后探究：用数学归纳法证明二项式定理 让学生巩固 本节课的所 学内容和知 识。 六、板书设计六、板书设计 1.3.1 二项式定理 0n1n1r

16、nrrnn(ab)nC n a C na bC n ab C n b (nN*) 例题 1 例题 2 练习 1 练习 2 作业：课本 37 页 习题 1.3 A 组 2、4 课后探究：用数学归纳法证明二项式定理 （根据课堂教学活动的推荐，反复使用。 ） (1)项：二项展开式共有n 1项； (2)次数：各项的次数都等于 n； 字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0； 字母 b 按升幂排列，次数由 0 递增到 n (3)二项式系数：C (k 0,1,2,n) knkk(4)二项展开式的通项：T k1= C n ab k n 6 关于关于1.3.11.3.1 二项式定理（一）二项式定理（一）

17、（执教者沈琦）（执教者沈琦） 点评分析点评分析 1.3.1 二项式定理是普通高中课程标准实验教科书-数学选修 2-3 第一章 第三部分第一节的内容，在普通高中课程标准实验教科书-数学选修 2-3 教师教学 用书建议 3 课时，本节课为第一课时。 执教者坚持“以人为本，以学定教”的教学理念，通过自已的精心设计和认真思 考，把对教材的深刻认识，通过灵活的教学方法，将新课程的理念充分地体现在课堂 中，实现了预期的教学目标，充分展示了知识的形成过程，引导学生体验了二项式定 理的生成过程和应用过程，具有良好的教学效果。这节课主要有以下特点： 1 1、 以问题为主线，以问题为主线， 充分激发学生的学习动力

18、和兴趣充分激发学生的学习动力和兴趣 本节课精心设计了数学问题，教学活动开始时，就提出了人们的生活安排往往成 周期变化，提出了推算星期几的问题，从而引出对二项式定理的研究，最后通过所得 结论解决提出的问题。一是以问题为载体，有机渗透德育，结合数学知识的特点对学 生进行思想教育，这正是数学新课程理念所期待的目标 普通高中数学课程标准（实 验） （以下简称标准 ）指出： “数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的 作用，逐步形成正确的数学观为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值” 。二 是发挥问题的魅力，激发学生的学习兴趣与动力。众所周知，思维是从问题开始的， 没有问题就没有思维，由此可见，课

19、堂教学中问题的质量直接影响到教学效果，正因 为如此， 标准强调数学教学应结合具体的数学内容采用“问题情景一建立模型一解 释、应用与拓展”的模式展开，所以在数学教学中，要让学生通过问题的吸引，积极 思考，发掘新知识的各个方面，最大限度地实现问题的教学价值。 2 2、 注重教学中的引导，强化数学思想方法的渗透和应用注重教学中的引导，强化数学思想方法的渗透和应用 标准 指出不仅要考虑数学自身的特点， 更应遵循学生学习数学的心理规律， 强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行 解释与应用的过程，抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程， 帮助 学生克服机械记忆概念的学习方法从中不难看出：过程教学观是新课程理念的灵魂， 本课例特别突出了过程教学，以过程为载体，强化数学思想方法的教学。 （1）注重课题的引入过程，上课开始提出实际问题，捕捉到实际应用与新知识的 衔接点，突出了建模的思想方法。 7 （2）注重了二项式定理的生成过程，在此环节中