2015年全国新课标2卷高考文科数学,有答案,1份

1、2015 普通高等学校招生全国统一考试卷文科数学 一、选择题： （1）已知集合 A=x1 x 2 ,B x0 x 3 ,则AB A A.(-1，3)B.(-1，0 )C.(0，2)D.(2，3) (2) 若a实 数 ， 且 2 ai 3i,则a D 270027001i 26002600 A.-4B. -3C. 3D.4 25002500 (3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳 24002400 年排放量（单位：万吨）柱形图，以下 23002300 22002200 结论中不正确的是D 21002100 20002000 A.逐年比较，2008 年减少二氧化碳排放量的效

2、果最 19001900 200420042005200520062006200720072008200820092009201020102011201120122012 显著； B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效； C.2006 年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势； D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。 （4）已知向量a (0,1),b (1,2),则（2a b） a BA. -1B. 0C. 1D. 2 2013(2013( 年年 ) ) 的前n项和， (5)设S n是等差数列 a n 若a1 a3 a5 3,则S 5 A A. 5B. 7C. 9D. 11 (6

3、)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 D. A. 1111 B.C.D. 8765 0),B(0，3)，C(2，3),则ABC外接圆的圆心到原 (7)已知三点A(1， 点的距离为B. A. 5 B. 3 212 5 C. 33 D. 4 3 (8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” 。执行该程序框图，若输 入的 a,b 分别为 14,18，则输出的 a 为 开始 输入 a,b ab 是 ab 否 输出 a 是否 结束 a=a-bb=b-a A. 0B. 2C. 4D.14 - 1 - 1 ,a 3a5

4、 4(a 4 1),则a 2 C 4 11 A. 2B. 1C.D. 28 1 9、解：因为an满足a1,a3a5 4(a41),所以， 4 (9)已知等比数列an满足a1 a 4 4(a 4 1),解得a 4 2,又a 4 a 1q 3，所以q 2,所以a 2 a 1q 2 11 2 .故选 C. 42 （10）已知 A,B 是球 O 的球面上两点，AOB 90,C为该球面上动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为 A. 36B. 64C. 144D.256 10、解：因为 A,B 都在球面上，又AOB 90,C为该球面上动点，所以 三棱锥的体积的最大值为 D

5、D x x A AO O P P C C 11 2 1 R R R3 36，所以 R=6，所以球的表面 326B B 积为 S=4 R2144 ，故选 C. (11)如图，长方形的边 AB=2，BC=1,O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC,CD,与 DA 运动，记 BOP x,将动点P到A,B两点距离之和表示为函数f (x),则f (x)的图像大致为 Y Y Y Y Y YY Y 2 22 2 2 2 2 2 O O 4 4 A A 3 3 2 2 4 4 X X O O 4 4 B B 3 3 2 2 4 4 X XO O 2 2 4 4 C C 3 3 4 4 X X O O 4

6、4 D D 3 3 2 24 4 X X 11、解：如图，当点P 在 BC 上时， BOP x,PB tan x,PA 4 tan2x, PA PB tan x 4 tan x, 当x 2 4 时取得最大值1 5， 以 A,B 为焦点 C,D 为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点P 在 C,D 之间移动时 PA+PB1 5. 又函数f (x)不是一次函数，故选 B. 1 ,则使得f (x) f (2x 1)成立的x的范围是 21 x 111 111 A. ( ,1) B. (, )(1,) C. (, ) D. (, )( ,) 333 333 （12）设函数f (x) ln(1 x) - 2 -

7、 12、解：因为函数f (x) ln(1 x) 1 ,是偶函数，x0,)时函数是增函数 1 x2 1 f (x) f (2x 1) x 2x 1,x2 (2x 1)2,解得 x 1.故选 A. 3 第二卷 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分 （13）已知函数f (x) ax 2x的图像过点（-1,4），则a 。13、答：a=-2 3 x y 5 0, （14）若 x,y 满足约束条件2x y 1 0,则z 2x y的最大值为8.。 x 2y 1 0, （15）已知双曲线过点，且渐近线方程为y （4，,3） 1 x，则该双曲线的标准方程为 。 2 15、解：设双曲线的方程为x24y

8、2 k(k 0),点（4，,3）代入方程，解得k 4. x2 双曲线的标准方程为 y21 4 （16）已知曲线y x lnx在点（1,1）处的切线与曲线y ax (a 2)x 1相切，则a 。16、解：y1 2 1 ,切线的斜率为2，切线方程为y 2x 1. x 将y 2x 1与y ax2 (a 2)x 1联立得ax2 ax 2 0, 由 a28a 0,解得a 8或a 0.a 0时曲线为y 2x 1与切线平行，不符。 所以a 8. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC,BD 2DC. sinB ; （）若BAC 60,求B. s

9、inC sinBAC , 17、解： （）由正弦定理得 sinCAB ACDC1sinB1 ， . 再由三角形内角平分线定理得 ABBD2sinC2 （）求 （）BAC 60,B C 120 由（1 ）得 sinB1 .sinC 2sinB,sin(120B) 2sin B,展开得 sinC2 3 tanB ,B 30. 3 18. （本小题满分 12 分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A, B 两地区分别随机调查了40 个用户,根据 用户对其产品的满意度的评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分 - 3 - 布表. 频率频率 组距组距 0.

10、0400.040 0.0350.035 0.0300.030 0.0250.025 0.0200.020 0.0150.015 0.0100.010 0.0050.005 A A 地区用户满意度评分的频率分布直方图地区用户满意度评分的频率分布直方图 O O 404050506060707080809090 100100 满意度评分满意度评分 80,90) 10 90,100 6 B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 频数 50,60) 2 60,70) 8 70,80) 14 （I）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分

11、散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可） 频率频率 组距组距 0.0400.040 0.0350.035 0.0300.030 0.0250.025 0.0200.020 0.0150.015 0.0100.010 0.0050.005 B B地区用户满意度评分的频率分布直方图地区用户满意度评分的频率分布直方图 （II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级： 满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分 满意度等级不满意满意非常满意 估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由. 18、解： （1）B 地区频率分布直方图如图所示 频率频率 组距组距

12、 0.0400.040 0.0350.035 0.0300.030 0.0250.025 0.0200.020 0.0150.015 0.0100.010 0.0050.005 B B 地区用户满意度评分的频率分布直方图地区用户满意度评分的频率分布直方图 O O5050 6060707080809090 100100 满意度评分满意度评分 O O5050 6060707080809090 100100 满意度评分满意度评分 比较 A,B 两个地区的用户，由频率分布直方图可知： A 地区评分均值为 45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5分

13、 B 地区评分均值为 55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5分 A 地区用户评价意见较分散，B 地区用户评价意见相对集中。 （2）A 地区的用户不满意的概率为0.3+0.2+0.1=0.6， B 地区的用户不满意的概率为0.05+0.20=0.25， 所以 A 地区的用户满意度等级为不满意的概率大。 - 4 - 19. （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 如 图 , 长 方 体A B C D 1A1B1C1 D 中 D D 1 1 A A 1 1 E E F F C C 1 1 B B 1 1 AB=16,BC=10,AA 1 8,点E,F分别

14、在A 1B1,D1C1 上,A 1E D1F 4. 过 C C D D 点 E,F 的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. （I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （II）求平面A A B B 把该长方体分成的两部分体积的比值. 19、解： （I）在AB 上取点 M,在 DC 上取点 N，使得AM=DN=10,然后连接 EM,MN,NF,即组成正方形 EMNF，即 平面。（II）两部分几何体都是高为 10 的四棱柱，所以体积之比等于底面积之比，即 V 1 S AMEA 1 4107 . V 2 S EMBB1 6129 x2y22 20. 已知椭圆C : 2 2 1a b

15、0 的离心率为,点 2,2 在 C 上. 2ab （I）求 C 的方程；（II）直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M,证明： 直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值. 20、解、（I）如图所示，由题设得 c2 , a2 Y Y B B M M O O A A X X C(2,C(2,2)2) 42 又点的坐标满足椭圆的方程，所以 2 2 1， ab 联立解得： xy a2 8,b2 4,所以切线C的方程为：1. 84 （II）设 A,B 两点的坐标为 22 （x 1 , y 1 ），（x 2 , y 2） ,点M的坐标为（m

16、,n） ,kom 则x 1 2y 1 8,x 2 2y 2 8, 上面两个式子相减得： 2222 n . m 2(y 2 y 1 ) (x 2 x 1 ) 0.变形得 2222 y 2 y 1 1 x 1 x 2 12mm . x 2 x 1 2 y 1 y 2 22n2n k l k om y 2 y 1 nmn1 () .（定值） x 2 x 1 m2nm2 21. （本小题满分 12 分）已知f xlnxa1x. （I）讨论f x的单调性； （II）当f x有最大值,且最大值大于2a2 时,求 a 的取值范围. - 5 - 21、解：已知f xlnxa1x. 1 a. x 当a 0时，函

17、数f (x)在（0， ）上是增函数； 11 当a 0时，函数f (x)在（0,)上是增函数，在(,)上是减函数. aa (1) f (x) （II）由（1）知，当 11 a 0时，函数f (x)在x 时取得最大值f ( ) a 1lna. aa 由a 1lna 2a 2,整理得lna a 1 0. E E 1 设g(x) ln x x 1,则g （ x） 1,a 0x 0,g(x) 0,g(x)在（0， ）是增 x O O 函数。又g(1) 0,上述不等式即g(a) g(1),0 a 1,即a(0,1 ） . 22. 如图O是等腰三角形ABC内一点, O与ABC的底边BC交于M,N两点, 与底

18、边上的高交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点. A A G G F F B BM MD D N NC C （I）证明EFBC.（II）若 AG 等于O 的半径,且AE MN 2 3,求四边形 EDCF 的面积. 22、（I）证明：由切线的性质得AE=AF，所以AEF 是等腰三角形，又 AB=AC, 所以 AEAF ,AEF ABC,EFBC. ABAC （II）解： 连接OE,则OE AE, AG OE OG R, OA 2R,4R2 R2 (2 3)2， R 2， OM 2 1AD10 MN 3,OD 1AD 2R 1 5,AB . 2cos303 OE AB,BAD 30

19、，BAC 60ABC,AEF都是等边三角形. MD S 四边形EBCF 2 1 10 116 3 sin60 2 3sin60 . 2 23 3 2 A A G G E E O O B BM MD D N NC C F F x tcos, 23.在直角坐标系xOy中,曲线C1:（t 为参数,且t 0）,其中 y tsin, 0 , 在 以 O 为 极 点 ,x 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 , 曲 线 C 2 : 2sin,C 3 :2 3cos. （I）求C2与C3交点的直角坐标；（II）若C1与 C 2 相交于点 A,C1与C3相交于点 B,求 AB 最大值 - 6 - 23.在直角坐标系xOy中,曲线C1: x tcos, （t 为参数,且t 0）,其中0, y tsin, 在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2: 2sin,C3:2 3cos. （I）求C2与C3交点的直角坐标； （II）若C1与 C 2 相交于点 A