2019年天津市高考数学试卷(理科)(解析版)

1、20192019 年天津市高考数学试卷（理科）年天津市高考数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共8 8 小题，共 40.040.0分） 1.设集合 A=-1，1，2，3，5，B=2，3，4，C=xR|1x3，则（AC）B=（） A.B.C.2，D.2，3， ， ， z=-4x+y 的最大值为（）2.设变量 x，y 满足约束条件则目标函数 ， ， 11. 已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧 棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_ 为参数）相切，则 a的值为_12. 设 aR，直线 ax-y+2=0和圆（ 13. 设 x0，

2、y0，x+2y=5，则的最小值为_ 14. 在四边形 ABCD中，ADBC，AB=2，AD=5，A=30，点 E 在线段 CB的延长线上，且 AE=BE，则 =_ 三、解答题（本大题共6 6 小题，共 80.080.0分） 15. 在ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c已知 b+c=2a，3csinB=4asinC （）求 cosB的值； （）求 sin（2B+ ）的值 16. 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 假定甲、乙两位同学到校情况互不影 响，且任一同学每天到校情况相互独立 30之前到校的天数， （） 用 X表示甲同学上学期间的三天中7：求随机变量

3、 X 的分布列和数学期望； （）设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校 的天数恰好多 2”，求事件 M发生的概率 17. 如图，AE平面 ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，AB=AD=1， AE=BC=2 （）求证：BF平面 ADE； （）求直线 CE与平面 BDE所成角的正弦值； （）若二面角 E-BD-F的余弦值为 ，求线段 CF的长 第 1 页，共 8 页 A.2B.3C.5D.6 2 3.设 xR，则“x -5x0”是“|x-1|1”的（） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.阅读

4、如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（） A.5 B.8 C.24 D.29 2 5.已知抛物线 y =4x的焦点为 F，准线为 l若 l与双曲线-=1（a0， b0）的两条渐近线分别交于点A 和点 B，且|AB|=4|OF（| O 为原点） ， 则双曲线的离心率为（） A. B. C. 2 D. 0.2 6.已知 a=log52，b=log0.50.2，c=0.5，则 a，b，c 的大小关系为（） A. B. C. D. 7.已知函数 f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）是奇函数，将 y=f（x）的图象上所有点的横坐 标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（

5、x）若 g（x）的最小正周期为 2， 且 g（ ）=，则 f（）=（ ） A.B.C.D.2 8.已知 aR设函数 f（x）=若关于 x的不等式 f（x）0在 R上恒成立，则 a的取值范 围为（） A.B. 二、填空题（本大题共6 6 小题，共 30.030.0分） 9.i是虚数单位，则|的值为_ 8 10. （2x- ） 的展开式中的常数项为_ C.D. 18. 设椭圆+=1（ab0）的左焦点为 F，上顶点为 B已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 （）求椭圆的方程； （）设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线 PB与 x 轴的交点，点 N 在 y 轴的负 半轴上若|ON|=|

6、OF|（O为原点），且 OPMN，求直线 PB的斜率 19. 设an是等差数列，bn是等比数列已知 a 1=4，b1=6，b2=2a2-2，b3=2a3+4 （）求an和bn的通项公式； （）设数列cn满足 c1=1，cn=其中 kN* （i）求数列a（c-1）的通项公式； * acn N（ii）求（ ） i i x 20. 设函数 f（x）=e cosx，g（x）为 f（x）的导函数 （）求 f（x）的单调区间； （）当 x ， 时，证明 f（x）+g（x）（ -x）0； =f x） -1在区间2n+ ）（） 设 xn为函数 u （x）（2n+ ，内的零点， 其中 nN， 证明 2n+ -x

7、n 第 2 页，共 8 页 答案和解析 1.【答案】D 【解析】 0x20x5， 0x5 是 0x2 的必要不充分条件， 2 即 x -5x0 是|x-1|1 的必要不充分条件 解：设集合 A=-1，1，2，3，5，C=xR|1x3， 则 AC=1，2， B=2，3，4， （AC）B=1，22，3，4=1，2，3，4； 故选：D 根据集合的基本运算即可求 AC，再求（AC）B； 本题主要考查集合的基本运算，比较基础 2.【答案】C 【解析】 故选：B 充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果 本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题 4.【答案】B 【解析】 解：i=1，s=

8、0； 第一次执行第一个判断语句后，S=1，i=2，不满足条件； 第二次执行第一个判断语句后，j=1，S=5，i=3，不满足条件； 第三次执行第一个判断语句后，S=8，i=4，满足退出循环的条件； 解：由约束条件作出可行域如图： 故输出 S 值为 8， 故选：B 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的 运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论， 是基础题 联立 ，解得 A（-1，1）， 5.【答案】D 【解析】 2 解：抛物线 y =4x 的焦点为 F，准线为

9、 l 化目标函数 z=-4x+y为 y=4x+z，由图可知，当直线 y=4x+z过 A时，z 有最大值为 5 故选：C F（1，0），准线 l 的方程为 x=-1， 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的 l与双曲线 坐标代入目标函数得答案 |AB|= 本题考查简单的线性规划知识，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 3.【答案】B 【解析】 2 解：x -5x0，0x5， -=1（a0，b0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|=4|OF|（O为原点）， ，b=2a，|OF|=1， =，c= 双曲线的离心率为 e= 故选：D |x-1|1，0

10、x2， 0x5 推不出 0x2， 第 3 页，共 8 页 推导出 F（1，0），准线 l 的方程为 x=-1，|AB|= 此能求出双曲线的离心率 ，|OF|=1，从而 b=2a，进而 c=，由g（x）的最小正周期为 2， =2，得 =2， 本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力， 考查化归与转化思想，是中档题 6.【答案】A 【解析】 则 g（x）=Asinx，f（x）=Asin2x， 若 g（）=，则 g（）=Asin= ）=2sin（2 A= =2sin ，即 A=2， =2=，则 f（x）=2sin2x，则 f（ 故选：C解：由题意，可知： a

11、=log521， b=log0.50.2= c=0.50.21， b最大，a、c都小于 1 a=log52= 0.2 ，c=0.5= 根据条件求出 和 的值，结合函数变换关系求出 g（x）的解析式，结合条件求出 A的值，利用 =log25log24=2代入法进行求解即可 本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合条件求出 A， 和 的值是解决本题的关键 8.【答案】C = 【解析】 解：当 x=1 时，f（1）=1-2a+2a=10恒成立； ， 2 当 x1 时，f（x）=x -2ax+2a02a 而 log25log24=2 恒成立， =-=-（1-x+-2）-（2 ac， acb 故选：A

12、本题先将 a、b、c的大小与 1 作个比较，发现 b1，a、c都小于 1再对 a、c的表达式进行变形， 判断 a、c之间的大小 本题主要考查对数、指数的大小比较，这里尽量借助于整数 1作为中间量来比较本题属基础 题 7.【答案】C 【解析】 令 g（x）=-=- -2）=0， 2ag（x）max=0，a0 当 x1 时，f（x）=x-alnx0a 令 h（x）=，则 h（x）= 恒成立， =， 当 xe时，h（x）0，h（x）递增， 当 1xe时，h（x）0，h（x）递减， x=e 时，h（x）取得最小值 h（e）=e， ah（x）=e， 解：f（x）是奇函数，=0， 则 f（x）=Asin（

13、x） 将 y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 g （x） 即 g（x）=Asin（x） 综上 a的取值范围是0，e 故选：C 第 4 页，共 8 页 分 2 段代解析式后，分离参数 a，再构造函数求最值可得 本题考查了函数恒成立，属中档题 9.【答案】 【解析】 由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点， 有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于 1，即半径等于； 由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半 1， 则该圆柱的体积为：v=sh=（）21=； 解：由题意，可知： = | |=|2-3i|= = = =2-3i， 故答案

14、为： 求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对 中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可 本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查立体几何的体积公式，属基础题 12.【答案】 【解析】 故答案为： 本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算 本题主要考查复数定义及模的概念及基本运算本题属基础题 10.【答案】28 【解析】 解：aR，直线 ax-y+2=0 和圆 圆心（2，1）到直线 ax-y+2=0的距离： （ 为参数）相切， 解：由题意，可知： 此二项式的展开式的通项为： Tr+1=（2x）8-r=28-r（-）rx8-r （ ） =

15、r （-1）r28-4rx8-4r d= 解得 a= =2=r， 当 8-4r=0，即 r=2 时，Tr+1为常数项 此时 T2+1=（-1） 2 2 8-42 故答案为： 推导出圆心（2，1）到直线 ax-y+2=0的距离：d=2=r，由此能求出 a的值 =28 故答案为：28 本题考查实数值的求法，考查直线与圆相切的性质、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解 本题可根据二项式的展开式的通项进行计算，然后令x的指数为0即可得到r的值，代入r的值 能力，是基础题 即可算出常数项 本题主要考查二项式的展开式的通项，通过通项中未知数的指数为 0可算出常数项本题属基 础题 11.【答案】 【解析】

16、13.【答案】4 【解析】 解：x0，y0，x+2y=5， 则=2+； 由基本不等式有： 2+2 = 时， =4； 解：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为 2，且垂直相交平分， 当且仅当 2 由勾股定理得：正四棱锥的高为 2， 第 5 页，共 8 页 即：xy=3，x+2y=5 时，即： 故 故答案为：4 的最小值为 4 或 ； 时；等号成立， （）根据正余弦定理可得； （）根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得 本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正 弦定理、余弦定理等基础知识考查运算求解能力属中档题 16.【答案】解：（I）甲上学期

17、间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为 ， 故 XB（3， ）， ，k=0，1，2，3从而 P（x=k）= 利用基本不等式求最值 本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题 14.【答案】-1 【解析】 解：AE=BE，ADBC，A=30， ，在等腰三角形 ABE中，BEA=120 又 AB=2，AE=2， 又 = = =-12+52 =-1 故答案为：-1 - = ， ， ， E（X）=3 =2； （II）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为 Y，则 YB（3， ）， Y=1X=2， Y=0，Y=1与X=2， Y=0互斥， X=2与Y=0且 M=X=3，由

18、题意知X=3，且X=3与Y=1， 相互独立， 由（I）知，P（M）=P（X=3，Y=1X=2，Y=0=P（X=3，Y=1+PX=2，Y=0 =P（X=3）P（Y=1）+P（X=2）P（Y=0）= 【解析】 （I）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30之前到校的概率均为，故XB（）， 可求分布列及期望； （II）设乙同学上学期间的三天中 7：30到校的天数为 Y，则 YB（3，），且 M=X=3， Y=1X=2，Y=0，由题意知X=3，Y=1与X=2，Y=0互斥，且X=3与Y=1，X=2与 Y=0相互独立，利用相互对立事件的个概率公式可求 利用和作为基底表示向量和，然后计算数量积即

19、可 本题主要考查了离散型随机变量的分布列与期望，互斥事件与相互独立事件的概率计算公式， 本题考查了平面向量基本定理和平面向量的数量积，关键是选好基底，属中档题 15.【答案】解（）在三角形 ABC中，由正弦定理= ，得 bsinC=csinB，又由 3csinB=4asinC， c=，得 3bsinC=4asinC， 即 3b=4a 又因为 b+c=2a， 得 b=，由余弦定理可得 cosB= （）由（）得 sinB=，从而 sin2B=2sinBcosB=-， 考查运算概率公式解决实际问题的能力 ，17.【答案】（）证明：以 A 为坐标原点，分别以，所在 =- cos2B=cos2B-sin

20、2B=- ， - =故 sin（2B+ ）=sin2Bcos +cos2Bsin =- 【解析】 直线为 x，y，z轴建立空间直角坐标系， 可得 A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0）， E（0，0，2） 设 CF=h（h0），则 F（1，2，h） ， ，则， ，是平面 ADE的法向量，又，可得 又直线 BF平面 ADE，BF平面 ADE； ， ， ，（）解：依题意， ， 设， ，为平面 BDE的法向量， 第 6 页，共 8 页 则，令 z=1，得， ， ， cos= 可得=-1，解得 k=， 可得 PB 的斜率为 直线 CE与平面 BDE所成角的正弦值为 ；

21、（）解：设， ，为平面 BDF的法向量， ，取 y=1，可得， ，则 由题意，|cos，|= 经检验，符合题意 线段 CF的长为 【解析】 【解析】 （）由题意可得 b=2，运用离心率公式和 a，b，c的关系，可得 a，c，进而得到所求椭圆方程； （）B（0，2），设 PB的方程为 y=kx+2，联立椭圆方程，求得 P 的坐标，M 的坐标，由 OPMN， 运用斜率之积为-1，解方程即可得到所求值 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求交点，考查化简运算能力，属于中 档题 19.【答案】解：（）设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q， 依题意有： ，解得， 3=3n+

22、1， a n=4+（n-1） bn=62n-1=32n * （）（i）数列cn满足 c1=1，cn=其中 kN ，解得 h= （）以A为坐标原点，分别以，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得A， 是平面 ADE的法向量，再B，C，D，E的坐标，设 CF=h（h0），得 F（1，2，h）可得 求出 （）求出 ，由，且直线 BF平面 ADE，得 BF平面 ADE； ，再求出平面BDE的法向量，利用数量积求夹角公式得直线CE与平 面 BDE所成角的余弦值，进一步得到直线 CE 与平面 BDE所成角的正弦值； （）求出平面 BDF的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为列式求线段 CF的长

23、本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解线 面角与二面角的大小，是中档题 222 ，a -b =c ，18.【答案】解：（）由题意可得 2b=4，即 b=2，e= = 2n+1）（32n-1）=94n-1， a（c -1）=（bn-1）=（3 数列a（c-1）的通项公式为： a（c-1）=94n-1 a+a（c-1）=ac=+（ii） i iiii =（ 3）+ =（322n-1+52n-1）+9-n =2722n+1+52n-1-n-12（nN*） 【解析】 （）设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q，利用等差数列、等比数列的通项公 式列

24、出方程组，能求出an和bn的通项公式 （）（i）由 a（c-1）= （ii）aici= （bn-1），能求出数列a （c -1）的通项公式 +=（3）+，由此 解得 a=，c=1， 可得椭圆方程为 +=1； （）B（0，2），设 PB的方程为 y=kx+2， 22 代入椭圆方程 4x +5y =20， 22 可得（4+5k ）x +20kx=0， 解得 x=-或 x=0， 即有 P（-， ai+ai （c i-1）= ）， 能求出结果 y=kx+2，令 y=0，可得 M（- ，0）， 又 N（0，-1），OPMN， 第 7 页，共 8 页 本题考查等差数列、等比数列通项公式及前 n项和等基础知识，考查化归与转化思想和数列求 和的基本方法以及运算求解能力 20.【答案】（）解：由已知，f（x）=ex（cosx-sinx），因此， 当 x（， 当 x（ 上为减函数，有 g（yn）g（y0）g（）=0，又由（）知， = ，得 ，从而证得 2n+-xn ）（kZ）时，有 sinxc