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文档简介
1、第四讲第四讲 带余数的除法带余数的除法 前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外,例如:16 3=51,即 16=53+1.此时,被除数除以除数出现了余数,我们称之 为带余数的除法。 一般地,如果 a 是整数,b 是整数(b0),那么一定有另外两个整 数 q 和 r,0rb,使得 a=bq+r。 当 r=0 时,我们称 a 能被 b 整除。 当 r0 时,我们称 a 不能被 b 整除,r 为 a 除以 b 的余数,q 为 a 除以 b 的不完全商(亦简称为商).用带余除式又可以表示为 ab=qr, 0rb。 例例 1 1 一个两位数去除 251,得到的余数是 41.求这个两位数。 分
2、析分析 这是一道带余除法题,且要求的数是大于 41 的两位数.解题可从带 余除式入手分析。 解:被除数除数=商余数, 即被除数=除数商+余数, 251=除数商+41, 251-41=除数商, 210=除数商。 210=2357, 210 的两位数的约数有 10、14、15、21、30、35、42、70,其中 42 和 70 大于余数 41.所以除数是 42 或 70.即要求的两位数是 42 或 70。 例例 2 2 用一个自然数去除另一个整数,商 40,余数是 16.被除数、除数、 商数与余数的和是 933,求被除数和除数各是多少? 解:被除数=除数商+余数, 即被除数=除数40+16。 由题
3、意可知:被除数+除数=933-40-16=877, (除数40+16)+除数=877, 除数41=877-16, 除数=86141, 除数=21, 被除数=2140+16=856。 答:被除数是 856,除数是 21。 例例 3 3 某年的十月里有 5 个星期六,4 个星期日,问这年的 10 月 1 日是星 期几? 解:十月份共有 31 天,每周共有 7 天, 31=74+3, 根据题意可知:有 5 天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。 这年的 10 月 1 日是星期四。 例例 4 4 3 月 18 日是星期日,从 3 月 17 日作为第一天开始往回数(即 3 月 16 日(第二天),15
4、 日(第三天),)的第 1993 天是星期几? 解:每周有 7 天,19937=284(周)5(天), 从星期日往回数 5 天是星期二,所以第 1993 天必是星期二. 例例 5 5 一个数除以 3 余 2,除以 5 余 3,除以 7 余 2,求适合此条件的最小 数。 这是一道古算题.它早在孙子算经中记有:“今有物不知其数, 三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?” 关于这道题的解法,在明朝就流传着一首解题之歌: “三人同行七十 稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知.”意思是,用 除以 3 的余数乘以 70, 用除以 5 的余数乘以 21, 用除以 7 的余数乘以
5、15, 再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于 105,那么就减去 105,直至小 于 105 为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下: 方法 1:270+321+215=233 233-1052=23 符合条件的最小自然数是 23。 例例 5 5 的解答方法不仅就这一种,还可以这样解: 方法 2:3,7+2=23 23 除以 5 恰好余 3。 所以,符合条件的最小自然数是 23。 方法 2 的思路是什么呢?让我们再来看下面两道例题。 例例 6 6 一个数除以 5 余 3,除以 6 余 4,除以 7 余 1,求适合条件的最小的 自然数。 分析分析 “除以 5 余 3”即“加2 后被 5
6、整除”,同样“除以6 余 4”即“加 2 后被 6 整除”。 解:5,6-2=28,即 28 适合前两个条件。 想:28+5,6?之后能满足“7 除余 1”的条件? 28+5,64=148,148=217+1, 又 148210=5,6,7 所以,适合条件的最小的自然数是 148。 例例 7 7 一个数除以 3 余 2,除以 5 余 3,除以 7 余 4,求符合条件的最小自 然数。 解:想:2+3?之后能满足“5 除余 3”的条件? 2+32=8。 再想:8+3,5?之后能满足“7 除余 4”的条件? 8+3,53=53。 符合条件的最小的自然数是 53。 归纳以上两例题的解法为:逐步满足条件
7、法.当找到满足某个条件的 数后,为了再满足另一个条件,需做数的调整,调整时注意要加上已满足 条件中除数的倍数。 解这类题目还有其他方法,将会在有关“同余”部分讲到。 例例 8 8 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取 3 个,最后剩1 个;如果每 次取 5 个或 7 个,最后都剩 2 个.布袋中至少有小球多少个? 解:2+5,71=37(个) 37 除以 3 余 1,除以 5 余 2,除以 7 余 2, 布袋中至少有小球 37 个。 例例 9 9 69、90 和 125 被某个正整数 N 除时,余数相同,试求 N 的最大值。 分析分析 在解答此题之前,我们先来看下面的例子: 15 除以 2 余
8、 1,19 除以 2 余 1, 即 15 和 19 被 2 除余数相同(余数都是 1)。 但是 19-15 能被 2 整除. 由此我们可以得到这样的结论:如果两个整数 a 和 b,均被自然数 m 除,余数相同,那么这两个整数之差(大-小)一定能被 m 整除。 反之, 如果两个整数之差恰被 m 整除, 那么这两个整数被 m 除的余数 一定相同。 例 9 可做如下解答: 三个整数被 N 除余数相同, N(90-69),即 N21,N( N 是 21 和 35 的公约数。 要求 N 的最大值, N 是 21 和 35 的最大公约数。 21 和 35 的最大公约数是 7, N 最大是 7。 125-90),即 N35, 习题四习题四 1.用一个自然数去除另一个自然数,不完全商是 8,余数是 16.被除 数、除数、商、余数这四个数的和为 463,求除数。 2.某数除以 3 余 1,除以4 余 2,除以5 余 3,除以6 余 4,这个数最 小是多少? 3.某数除以 8 余 3,除以 9 余 4,除
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