五年级上册奥数 带余数的除法(例题含答案)

1、第四讲第四讲 带余数的除法带余数的除法 前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：16 3=51，即 16=53+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之 为带余数的除法。 一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b0），那么一定有另外两个整 数 q 和 r，0rb，使得 a=bq+r。 当 r=0 时，我们称 a 能被 b 整除。 当 r0 时，我们称 a 不能被 b 整除，r 为 a 除以 b 的余数，q 为 a 除以 b 的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为 ab=qr， 0rb。 例例 1 1 一个两位数去除 251，得到的余数是 41.求这个两位数。 分

2、析分析 这是一道带余除法题，且要求的数是大于 41 的两位数.解题可从带 余除式入手分析。 解：被除数除数=商余数， 即被除数=除数商+余数， 251=除数商+41， 251-41=除数商， 210=除数商。 210=2357， 210 的两位数的约数有 10、14、15、21、30、35、42、70，其中 42 和 70 大于余数 41.所以除数是 42 或 70.即要求的两位数是 42 或 70。 例例 2 2 用一个自然数去除另一个整数，商 40，余数是 16.被除数、除数、 商数与余数的和是 933，求被除数和除数各是多少？ 解：被除数=除数商+余数， 即被除数=除数40+16。 由题

3、意可知：被除数+除数=933-40-16=877， （除数40+16）+除数=877， 除数41=877-16， 除数=86141， 除数=21， 被除数=2140+16=856。 答：被除数是 856，除数是 21。 例例 3 3 某年的十月里有 5 个星期六，4 个星期日，问这年的 10 月 1 日是星 期几？ 解：十月份共有 31 天，每周共有 7 天， 31=74+3， 根据题意可知：有 5 天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。 这年的 10 月 1 日是星期四。 例例 4 4 3 月 18 日是星期日，从 3 月 17 日作为第一天开始往回数（即 3 月 16 日（第二天），15

4、 日（第三天），）的第 1993 天是星期几？ 解：每周有 7 天，19937=284（周）5（天）， 从星期日往回数 5 天是星期二，所以第 1993 天必是星期二. 例例 5 5 一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求适合此条件的最小 数。 这是一道古算题.它早在孙子算经中记有：“今有物不知其数， 三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？” 关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌： “三人同行七十 稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用 除以 3 的余数乘以 70， 用除以 5 的余数乘以 21， 用除以 7 的余数乘以

5、15， 再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于 105，那么就减去 105，直至小 于 105 为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下： 方法 1：270+321+215=233 233-1052=23 符合条件的最小自然数是 23。 例例 5 5 的解答方法不仅就这一种，还可以这样解： 方法 2：3，7+2=23 23 除以 5 恰好余 3。 所以，符合条件的最小自然数是 23。 方法 2 的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。 例例 6 6 一个数除以 5 余 3，除以 6 余 4，除以 7 余 1，求适合条件的最小的 自然数。 分析分析 “除以 5 余 3”即“加2 后被 5

6、整除”，同样“除以6 余 4”即“加 2 后被 6 整除”。 解：5，6-2=28，即 28 适合前两个条件。 想：28+5，6？之后能满足“7 除余 1”的条件？ 28+5，64=148，148=217+1， 又 148210=5，6，7 所以，适合条件的最小的自然数是 148。 例例 7 7 一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，求符合条件的最小自 然数。 解：想：2+3？之后能满足“5 除余 3”的条件？ 2+32=8。 再想：8+3，5？之后能满足“7 除余 4”的条件？ 8+3，53=53。 符合条件的最小的自然数是 53。 归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件

7、法.当找到满足某个条件的 数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足 条件中除数的倍数。 解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。 例例 8 8 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取 3 个，最后剩1 个；如果每 次取 5 个或 7 个，最后都剩 2 个.布袋中至少有小球多少个？ 解：2+5，71=37（个） 37 除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 7 余 2， 布袋中至少有小球 37 个。 例例 9 9 69、90 和 125 被某个正整数 N 除时，余数相同，试求 N 的最大值。 分析分析 在解答此题之前，我们先来看下面的例子： 15 除以 2 余

8、 1，19 除以 2 余 1， 即 15 和 19 被 2 除余数相同（余数都是 1）。 但是 19-15 能被 2 整除. 由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数 a 和 b，均被自然数 m 除，余数相同，那么这两个整数之差（大-小）一定能被 m 整除。 反之， 如果两个整数之差恰被 m 整除， 那么这两个整数被 m 除的余数 一定相同。 例 9 可做如下解答： 三个整数被 N 除余数相同， N（90-69），即 N21，N（ N 是 21 和 35 的公约数。 要求 N 的最大值， N 是 21 和 35 的最大公约数。 21 和 35 的最大公约数是 7， N 最大是 7。 125-90），即 N35， 习题四习题四 1.用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是 8，余数是 16.被除 数、除数、商、余数这四个数的和为 463，求除数。 2.某数除以 3 余 1，除以4 余 2，除以5 余 3，除以6 余 4，这个数最 小是多少？ 3.某数除以 8 余 3，除以 9 余 4，除