人教版高中数学(选修4-4)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(家教、补习、复习用)

1、精品文档 用心整理 新人教版高中数学（选修新人教版高中数学（选修 4-44-4） 重难点突破重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习知识点梳理及重点题型巩固练习 极坐标方程极坐标方程 【学习目标】【学习目标】 1能在极坐标系中用极坐标表示点的位置 2理解在极坐标系中和直角坐标系中表示点的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化 3能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、极坐标系和点的极坐标要点一、极坐标系和点的极坐标 1.1. 极坐标系定义极坐标系定义 （1）在平面内取一定点 O，由点 O 引出一条射线 Ox，并确定一个长度单位和

2、度量角度的正方向（通 常取逆时针方向） ，这就构成一个极坐标系，定点O 叫做极点，射线 Ox 叫做极轴 要点诠释：要点诠释： 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 2. 2. 点的极坐标点的极坐标 在极坐标系中，平面上任意一点 P 的位置可以由 OP 的长 度和从 Ox 轴旋转到 OP 的角度来确定， （，）叫做点 P 的极坐标， ，其中 叫做点 P 的极径，叫做点 P 的极角极点的极坐标为（ 0，） 可以取任何值 要点诠释：要点诠释： （1）极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角的始边是极轴，它 的终边随着的大小和正负而取得

3、各个位置；的正方向通常取逆时针方向，的值一般是以弧度为单位 的数量；点 M 的极径表示点 M 与极点 O 的距离|OM|，因此0；但必要时，允许0 （2）在极坐标系中，与给定的极坐标（，）相对应的点的位置是唯一确定的；反过来，同一个 点的极坐标却可以有无穷多个如一点的极坐标是（，） （0） ，那么这一点也可以表示为（， （其中 n 为整数） 2n）或（ ，(2n1)） 一般情况下，我们取极径0，极角为 02（或0） 如果我们规定0，02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）来表示， 这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理

4、3 3相关点的极坐标相关点的极坐标 （1） 同一个点： 如极坐标系中点4, 6 ，4, 2 ，4, 4 ，4, 6 ，4, 2 ， 6 6 6 6 由终边相同的角的定义可知上述点的终边相同，并且与极点的距离相等，这样，它们就表示平面上的同一 个点，实际上，4, 2k （kZ）都表示点4,于是我们有，一般地，极坐标（ ， ）与（， 6 6 （kZ）表示平面内的同一个点特别地，极点O 的坐标为（0，） （R） ，也是平面内的同 2k） 一个点，这样，我们就知道平面内的一个点的极坐标有无数多种表示 这就是说：平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的 （2）位于同一个圆上的点：如极坐标分别为（4，0）

5、 、4, 、4,、4,，但它们的极角不 6 3 2 相等，也不再是终边相同的角，所有这些点在以极点为圆心，以 4 为半径的圆上，因而（，）这里 为定值，0,2)点的轨迹就是以极点为圆心，以为半径的圆 （3）对称点： （，）关于极轴的对称点为（，2） ，关于极点的对称点为（，） ， 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为（，） （4）共线的点：如果极坐标为（，） ，其中为常数，0，则表示与极轴成角的射线 4 4极坐标系内两点间的距离公式极坐标系内两点间的距离公式 设极坐标系内两点P 1(1,1) ，P 2 ( 2 , 2 )，则| PP 12 | 特例：当12，| P 1 P 2 | 1 2 |

6、 要点二、极坐标与直角坐标的互化要点二、极坐标与直角坐标的互化 1 1、平面内一点的极坐标与直角坐标互化的条件、平面内一点的极坐标与直角坐标互化的条件 极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； 极坐标系中的极轴与直角坐标系中的x轴正半轴重合； 两种坐标系中长度单位相同 2 2、互化公式、互化公式 如图，符合上述三条件的点P的极坐标为(,)，直角坐标为(x, y)， 2 1 2 2 2 12 cos( 1 2 ) 则极坐标化直角坐标：x cos,y sin 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 直角坐标化极坐标：2 x2 y2,tan y (x 0) x 这就是在两个坐标系下，

7、同一个点的两种坐标间的互化关系. 要点诠释：要点诠释： 由 x y 求时，不取负值；由tan 角当 x0 时，角才能由tan 222 y (x 0)确定时，根据点（x，y）所在的象限取正 x y 按上述方法确定当x=0 时，tan没有意义，这时又分三种情况： x 3 （1） 当 x=0， y=0 时，（2） 当 x=0， y0 时， 可取； （3） 当 x=0， y0 时， 可取 可取任何值； 22 要点三、曲线的极坐标方程要点三、曲线的极坐标方程 1 1曲线的极坐标方程的概念曲线的极坐标方程的概念 （1）一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的 极坐标中至少有一个满足方程f (,)

8、 0，并且坐标适合方程f (,) 0的点都在曲线 C 上，那么方程 f (,) 0称为曲线 C 的极坐标方程 在直角坐标系中， 曲线可以用含有变量 x、 y 的方程表示； 同样地， 在极坐标系中， 曲线可以用含有、 这两个变量的方程f (,) 0来表示，这种方程即为曲线的极坐标方程 要点诠释：要点诠释：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线 上一点的所有坐标不一定都适合方程例如给定曲线，设点 P 的一极坐标为 , ，那么点 P 适 4 4 合方程，从而是曲线上的一个点，但点 P 的另一个极坐标 9 , 4 4 就不适合方程 了所以在 极坐标系内，确定某一个点

9、 P 是否在某一曲线 C 上，只需判断点 P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C 的方程即可 2.2. 求曲线极坐标方程的步骤求曲线极坐标方程的步骤 建立适当的极坐标系，设P(,)是曲线上任意一点 由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式 将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程 证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以 省略 要点诠释：要点诠释： （1）求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径和极角之间的关系，常用解三角形（正弦定理、 余弦定理）的知识，利用三角形的面积相等来建立、之间的关系 资料来源于网络 仅供

10、免费交流使用 精品文档 用心整理 （2）今后我们遇到的极坐标方程多是()的形式，即是的一个函数 （3）由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程()的图形的对称性：若() ()，则 相 应 图 形关 于 极 轴对称 ； 若() ()， 则 图 形 关于射 线 2 所 在 的 直 线 对称； 若 () ()，则图形关于极点 O 对称 3 3圆的极坐标方程圆的极坐标方程 （1）圆心在极轴上且过极点的圆 圆心在极轴上的点（a，0）处，且圆过极点 O（如图所示） P 为圆与极轴的另 一交点，M(,)为圆上的动点，连接 OM 和 MP，由平面几何知识知 OMMP在直 角三角形 OMP 中，由三角知识可得 2

11、acos 坐标(,)满足此方程的点也在该圆上因此，得该圆的方程为 2acos 也可以先写出该圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程 如图所示，建立直角坐标系，在直角坐标系中，该圆的圆心为（a，0） ，半 径为 a，故圆的直角坐标方程为 (xa) +y =a ， 即 x +y =2ax 由坐标变换公式得 2acos， 即 2acos 这样就得到前面推导出的极坐标方程 所以，方程 2acos就是圆上任意一点极坐标(,)所满足的条件，另一方面，我们也可以验证， 坐标适合方程 2acos的点都在这个圆上 （2）圆心在极点的圆 如果已知O 的半径为 r，我们可以以圆心为极点，以从圆心O 发出的一条射线为极轴

12、建立极坐标系， 那么圆上各点的特征是它们的极径都等于圆的半径r，这时圆的极坐标方程为 r（R） 4 4直线的极坐标方程直线的极坐标方程 （1）过极点的直线的极坐标方程 如图所示，直线 AA过极点且与极轴成的角为，即直线 AA的极坐标方程为 （0）和（0） 特别地，我们规定为全体实数，那么该直线的极坐标方程就为（R） ，或（ R） 资料来源于网络 仅供免费交流使用 2 22 222 精品文档 用心整理 （2）过点 A（a，0） （a0）且垂直于极轴的直线l的极坐标方程 如图所示，设M(,)为直线l上的除 A 外的任意一点连接 OM，则有AOM 为直角三角形并且 AOM=，|OA|=a，|OM|=

13、，所以有|OM |cos|OA| 即cos a，化为直角坐标方程为 x=a （3）过点Aa, 且平行于极轴所在直线的直线极坐标方程 2 如图所示，设M 为直线上任意一点，其极坐标为M(,)，连接 OM，则有|OA|=a，|OM|=， AOM ，在直角三角形 AOM 中，我们有|OM |cos |OA| 2 2 a，即sin a，化为直角坐标方程为 y=a 2 cos 【典型例题】【典型例题】 类型一、极坐标系中的点的表示类型一、极坐标系中的点的表示 例例 1 1 写出右图中各点的极坐标（0，02） 【思路点拨】根据极坐标定义：若 M 是平面上任一点，表示 OM 的长度，表示以射线 Ox 为始边

14、，射线 OM 为终边所成的角 【解析】 由图可知： A （5， 0） ，B2, 6 ，C4, 2 ，D5, 3 4 4 F ， E （2， ） ， 5, 3 ， 5 G3.5, 3 【总结升华】本题考查了极坐标的定义，已知点在极坐标系中的位置，要准确写出它的极坐标，对应 的极角可以限定一个范围，如0，2） 当0 时，每一点都对应唯一确定的一个极坐标 举一反三：举一反三： 【变式 1】下列各点中与2, 不表示极坐标中同一个点的是（ ） 6 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 A2, 11 6 13 B 2, 6 11 C 2, 6 23 2, D 6 【答案】C。由点的极坐标定

15、义可得。 【变式 2】 设点A2, 直线l为过极点且垂直于极轴的直线， 分别求点 A 关于极轴、 ， 3 直线l、极点的对称点的极坐标（限定 0，） 【答案】 如图所示关于极轴的对称点为B2, 3 2 3 关于直线 z 的对称点为C2, 关于极点 D 的对称点为D2, 【变式 3】 在极坐标系中，点(,)与(-, -)的位置关系为( )。 A关于极轴所在直线对称 B关于极点对称 C关于直线= D重合 【答案】A与点 M(,)关于极轴对称的点有(,-)或(-,-)，关于= (-,-)或(,-)，关于极点对称的点有(-,)或(,+)。 类型二、极坐标与直角坐标互化类型二、极坐标与直角坐标互化 例例

16、 2 2 （1）将下列点的极坐标化成直角坐标：(2, 2 3 (R) 对称 2 所在直线对称的点有 2 3 )；(4,)。 （2）将下列各点的直角坐标化为极径为正，极角在0,2)之间的极坐标：(3, 3)；(2,2 3)。 【思路点拨】依据直角坐标与极坐标的互化公式运算。 【解析】 （1）x 2cos( 3 ) 2 1 1，y 2sin() 3， 23 )的直角坐标为(1, 3)。 所以极坐标系中点(2, 3 x 4cos() 4(1) 4，y 2sin() 20 0， 所以极坐标系中点(4,)的直角坐标为(4,0)。 22 （2） 3 ( 3) 2 3，tan y3 ， x3 ，又点(3,

17、3)在第一象限，所以 6 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 所以直角坐标系中点(3, 3)的极坐标为(2 3, 6 )。 (2)2(2 3)2 4，tan y2 3 3， x2 又点(2,2 3)在第三象限，所以 4 。 3 4 )。 3 所以直角坐标系中点(2,2 3)的极坐标为(4, 【 总 结 升 华 】 把 点M的 极 坐 标(,)化 成 直 角 坐 标(x, y)时 ， 关 键 是 依 据 关 系 式 x cos, y sin,2 x2 y2，把极坐标方程中的,用x, y表示。 x2 y2 把点M的直角坐标(x, y)化成极坐标(,)时，关键是依据关系式，且注意由

18、 y tan ,x 0 x tan y 求时，还须结合点(x, y)所在的象限来确定的值，一般取0 2。 x 举一反三：举一反三： 【变式 1】点M的直角坐标是(1, 3)，则点M的极坐标为（） 2 ) B(2,) C(2,) D(2,2k),(kZ) 3333 2 【答案】C (2,2k),(kZ)都是极坐标 3 4 【变式 2】将点M的极坐标(2, )化为直角坐标。 3 A(2, 【答案】x 2cos 点(2, 4341 2() 3。 2( ) 1，y 2sin 3232 4 )的直角坐标为(1, 3) 3 2 3 化成直角坐标； 【变式 3】 （1）把点 M 的极坐标8, （2）把点 M

19、 的直角坐标（1，1）化成极坐标 【答案】 （1）x 8cos 22 4，y 8sin 4 3， 33 点 M 的直角坐标是(4,4 3) （2）应用极坐标与直角坐标的互化关系可得： x2 y2 12(1)22 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 tan y1 1 x1 7 （点 M 在第四象限） 4 7 4 点 M 的极坐标为 2, 【变式 4】在极坐标系中，已知三点M(2, )，N(2,0)，P(2 3,)， 36 （1）将M , N , P三点的极坐标化为直角坐标； （2）判断M , N , P三点是否在同一直线上. 【答案】 （1）M(1, 3)，N(2,0)，P(3

20、，3) （2）k MN k NP 3,所以三点共线. 类型三、圆的极坐标方程类型三、圆的极坐标方程 例例 3.3.求圆心在A2, 3 2 处并且过极点的圆的极坐标方程 【思路点拨】如图所示，设M(,)为圆上除 O、B 外的任意一点，连接OM、MB， 则在 RtBOM 中，由|OM|=|OB|cosMOB，即可得、的关系本题亦可以先求 直角坐标系中的方程，再化为极坐标方程 【解析】如图所示，设M(,)为圆上除 O、B 外的任意一点，连OM、MB，则有 OB=4，OM=， 3 MOB BMO ，从而BOM 为直角三角形，所以有|OM|=|OB|cosMOB， 22 即 4cos 3 4sin 2

21、【总结升华】与求圆的直角坐标方程相比，求它的极坐标方程比球直角坐标更加简便，因为在极坐标系 中圆上的点的坐标、所满足的条件更加容易表示，代数变换也更加直接，有时为了求极坐标方程，也 可以先求出相应的直角坐标方程，再利用x cos，y sin代换，也较为方便 举一反三：举一反三： 【变式 1】在极坐标系中，圆心在( 2,)且过极点的圆的方程为（ ） (A) 2 2 cos (B) 2 2 cos (C) 2 2sin 【答案】B 【变式 2】在平面直角坐标系中，以点(1,1)为圆心， 2为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点， 以Ox轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为（） 资料来源于网络 仅供

22、免费交流使用 (D) 2 2sin 精品文档 用心整理 A 2 2cos( ) B 2 2sin() 44 C 2 2 cos(1) D 2 2sin(1) 【答案】B 圆的直角坐标方程为(x1) (y 1) 2， 化为 极坐标方程为(cos1) (sin1) 2，2 2cos( 曲线2 2cos( 2 2cos( 22 22 4 ) 0， 4 ) 0也过极点， ) 0与2 2cos() 0等价， 44 对应的极坐标方程为 2 2cos( 4 ). 【变式 3】在极坐标系中，半径为1 的圆C的圆心坐标为C(3, 6 )，求圆C的极坐标方程； 【答案】法一：（1）设P(,)在圆上，则| PC |

23、1，|OP|，|OC |3，POC | 由余弦定理得1923cos | 即6cos( 2 2 6 |， 6 | 6 )8 0，为圆的极坐标方程。 3 3 3 , )， 22 法二： （1）圆心C(3, 6 )的直角坐标为( 则符合条件的圆方程为(x 3 3 2 3 ) (y )21， 22 3 3 2 3 ) (sin)21 22 圆的极坐标方程：(cos 2 整理得 (3 3cos3sin)8 0， 即 6cos( 2 6 )8 0. 类型四、直线的极坐标方程类型四、直线的极坐标方程 例例 4.4. （2016海淀区校级模拟）在极坐标系中，直线l 的方程为 ，则点 A（2，- 4 ）到直线

24、l 的距离是（） A 2 B. 【答案】【答案】B 222 C. 2- D. 2+ 222 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （+） = 【解析】【解析】直线方程为sin 4 可得直角坐标方程为：x+y=1， 则点 A（2，- 222 = ，展开化为： （sin+cos） ， 222 4 ）化为 A（2cos（- 4 ） ，2sin（- 4 ） ） ，即 A（ 2，- 2） ， 所以点 A 到这条直线的距离= 举一反三：举一反三： 2- 2-1 2 = 2 ，故选 B。 2 【变式 1】求适合下列条件的直线的极坐标方程： （1）过极点，倾斜角是 ； 3 （2）过点P(5,)

25、，并且和极轴垂直。 4 【答案】 （1）由图知，所求的极坐标方程为 （2）法一：由图知， 所求直线的方程为cos5cos 法二：由图知，所求直线的方程为x 【变式 2】求（1）过点A(2, （2）过点A(3, 3 (R)； 4 ，即cos 5 2 . 2 5 25 2 ，即cos. 22 4 )平行于极轴的直线。 3 角的直线。 4 3 )且和极轴成 【答案】 （1）在直线 l 上任取一点M(,)，因为A(2, 在直角三角形 MOH 中|MH|=|OM|sin 即sin 4 )，所以|MH|=2sin 4 2 2 ，所以过点A(2, )平行于极轴的直线为 4 sin2。 （2）设 M(,)为直

26、线l上一点。 A (3 , 3 )，OA=3，AOB 3 5735 由已知MBx 3 ，所以OAB ，所以OAM 43121212 4 又OMA MBx 3 在 MOA 中，根据正弦定理得 4 3 37 sin()sin 412 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 又sin 76 23 333 将sin(sin() )展开化简可得(sin cos) 12434224 所以过A(3,)且和极轴成 3 3 333 角的直线为：(sin cos) 224 类型五、类型五、极坐标方程与直线坐标方程互化极坐标方程与直线坐标方程互化 例例 5.5. 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程

27、的互化。 （1）y2 4x（2） 3 （3）cos2 2 1（4）2cos2 4 【解析】 （1）将x cos, y sin代入y2 4x得(sin)2 4cos化简得 sin2 4sin yy tan3化简得：y 3x(x 0) x3x 1 cos （3）cos21 1。即cos 2 所以x2 y2 x 2。 22 （2）tan 化简得y2 4(x 1)。 （4）由2cos2 4即2(cos2sin2) 4所以x2 y2 4 【总结升华】 （1）互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的 正半轴重合，两种坐标系的长度单位相同 （2）由直角坐标求极坐标时

28、，理论上不是唯一的，但这里约定只在02范围内求值 （3）将直角坐标方程化为极坐标方程最后要注意化简 （4）将极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用去乘方程的两端，应该 检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形 举一反三：举一反三： 【变式 1】极坐标方程cos 2sin 2表示的曲线为（） A一条射线和一个圆 B两条直线 C一条直线和一个圆 D一个圆 【答案】C cos 4sincos,cos 0,或 4sin,即2 4sin 则 k 【变式 2】如图，极坐标方程 =asin(a0)所表示的曲线的图形是( ) 2 ,或x2 y2 4y 资料来源于网络 仅供

29、免费交流使用 精品文档 用心整理 【答案】C a 2 a2 如果没有记住它的图形，不妨化其为直角坐标方程:=asin， =asin,x +y =ay,x +(y-) =,图 42 2222 形显然是以(0, aa )为圆心，为半径的圆.选 C. 22 【极坐标方程 406449 例题 3】 【变式 3】 （1）把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并判断图形的形状 2acos(a 0)； 9(sincos)； 4；2cos3sin 5 【答案】 2acos两边同时乘得 2acos， 即 x +y =2ax 整理得 x +y 2ax=0，即 (xa) +y =a 它是以（a，0）为圆心，以 a 为半

30、径的圆 两边同时乘得 9(sincos)，即 x +y =9x+9y，又可化为22 22222 22 2 2 9 2 9 9 81 9 9 , ，它是以为圆心，以为半径的圆x y 22 2222 将=4 两边平方得=16，即 x +y =16 222 22 它是以原点为圆心，以4 为半径的圆 2cos3sin5，即 2x3y=5，是一条直线 【极坐标方程 406449 例题 2】 【变式 4】将下列直角坐标方程化为极坐标方程 x2+(y2)2=4；x2+y2=4x；x+y=2；x=2 【答案】x2+(y2)2=4 可化为 x2+y2=4y 代入x cos，y sin得4sin 0，即 4sin

31、 2 代入y sin，x cos得 4cos，即 4cos 2 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 cossin 2 cos 2 2 【变式 5】已知圆的极坐标方程是 2(cos3sin) 5 0，求直线 0被圆截得的弦长. 22 【答案】圆的普通方程是：(x1) (y 3) 9，与直线y 0的交点为( 6 1,0)，( 6 1,0)， 所以弦长为2 6. 【变式 6】已知直线的极坐标方程为sin 72 ，求点 A（2，）到这条直线的距离 442 【答案】sin( 4 ) 22 可化为(sincos cossin) ， 2442 x cos 即sincos1，利用极坐标与直角

32、坐标的互化公式x sin得直线的直角坐标方程为 x2 y22 x y 1，即x y1 0。 7x 2cos 2 7 4 点 A（2，）化为直角坐标为，点A 的直角坐标为( 2, 2)，利用点P(x0, y0) 4 x 2sin 7 2 4 到直线Ax ByC 0的距离公式 d | Ax 0 By 0 C | A2 B2 ，得点 A（2， 7|2 ( 2) 1|2 ）到这条直线的距离为d 。 22 42 1 1 类型六、类型六、 极坐标方程的综合应用极坐标方程的综合应用 例 6（2016兰州模拟）在极坐标系中，已知圆C 的圆心 C（ （）求圆 C 的极坐标方程； （）若 0，） ，直线 l 的参

33、数方程为（t 为参数） ，直线 l 交圆 C 于 A、B 两点，求 ，） ，半径 r= 弦长|AB|的取值范围 【思路点拨】 （）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用cos=x，sin=y，2=x2+y2， 进行代换即得圆 C 的极坐标方程. （）设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，则|AB|=|t1t2|，化为关于 的三角函数求解 【解析】 （）C（，）的直角坐标为（1，1） ， 圆 C 的直角坐标方程为（x1）2+（y1）2=3 化为极坐标方程是 22（cos+sin）1=0 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （）将代入圆 C 的直角坐标方程（x1

34、）2+（y1）2=3， 得（1+tcos）2+（1+tsin）2=3， 即 t2+2t（cos+sin）1=0 t1+t2=2（cos+sin） ，t1t2=1 |AB|=|t1t2|= 0，） ，20，） ， =2 2|AB|2 即弦长|AB|的取值范围是2，2） 【总结升华】极坐标问题利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代 换即可 举一反三：举一反三： 【变式 1】在极坐标系中，A(4, 【答案】AOB SAOB 9 )，B(1,5)，则AOB 的面积是_。 18 5 ， 1896 11 | AO| BO|sinAOB 41sin1。 226 【

35、变式 2】极坐标方程分别是 cos和 sin的两个圆的圆心距是（） A2 B 2 C1 D 【答案】D 2 2 21 . ),由此求得圆心距为 22 2 11 2222 法二:将极坐标方程化成直角坐标方程x +y =x 和 x +y =y，它们的圆心分别是( ,0)，(0, )， 22 法一:在极坐标系中，两圆的圆心坐标分别为( ,0)与( , 1 2 由此求得圆心距为 2 . 2 （t 为参数，0 【变式 3】 （2016湖南二模）极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半 轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为 =4cos，曲线C2的参数方程为 ） ，射线 =，

36、=+ （I）求证：|OB|+|OC|= （）当 = ，= |OA|； 与曲线 C1交于（不包括极点O）三点 A、B、C 时，B，C 两点在曲线 C2上，求 m 与 的值 ） ，|OC|=4cos（） ， cos， 【解析】 （）依题意，|OA|=4cos，|OB|=4cos（+ 则|OB|+|OC|=4cos（+ =|OA| ）+4cos（）=2（cossin）+2（cos+sin）=4 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （）当 =时，B，C 两点的极坐标分别为（2，） ， （2，） 化为直角坐标为 B（1，） ，C（3，） C2是经过点（m，0） ，倾斜角为 的直线， 又

37、经过点 B，C 的直线方程为 y=（x2） ，故直线的斜率为 所以 m=2，= ， 【变式 4】 已知定角AOB (0 2 )， 点 P 在 OA 上， 点 Q 在 OB 上， 且POQ 的面积为 8，设 PQ 中点为 M，求|OM|的最小值。 【答案】以 O 为极点，OB 为极轴建立极坐标系。 设P(1,)，Q( 2 ,0)，M(,)， 由题意得 又SPOM 116 。 12 sin8，即 12 2sin 11 1 sin() 4，S QOM 2 sin 4。 22 2 两式相乘得 12sinsin() 64， 所以 2 4sin8sin 。 sinsin()cos(2)cos 2 所以当c

38、os(2) 1时，有最小值 8sin 。 1cos 所以|OM|的最小值为2 一、选择题一、选择题 2sin 。【巩固练习】【巩固练习】 1cos 1. （2016 春衡阳县校级期末）点 M 的直角坐标是，则点 M 的极坐标为（） A.B.（2，C.（2， ）D.（2，2k+ ），kZ（2，）- ） 33 2 3 3 2. 极坐标 =cos( 4 )表示的曲线是( ) C.抛物线D.圆A.双曲线B.椭圆 3 （2016 春宁夏校级期中）化极坐标方程2cos=0 为直角坐标方程为（） Ax2+y2=0 或 y=1Bx=1 Cx2+y2=0 或 x=1Dy=1 4在极坐标系中，已知ABC 三顶点坐

39、标分别为A4, 2 、B3, 711 C 、 3, 6 6 ，则ABC 的形状为 （） A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D钝角三角形 5. 在平面直角坐标系中，以点(1,1)为圆心， 2为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点， 以Ox轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为（） 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 A 2 2cos( ) B 2 2sin() 44 C 2 2 cos(1) D 2 2sin(1) 6直线l 1 :sin() a和l2: 2 的位置关系是（） Al 1 /l 2 Bl 1 l 2 Cl 1 和l2重合 Dl 1 和l2斜交 7.在极坐标系

40、中，与圆 =4sin 相切的直线的方程是() A.sin=2B.cos=2 C.cos=4D.cos=-4 二、填空题二、填空题 8. 设曲线的普通方程为x y R,则它的极坐标方程为 . 9 （2016河东区一模）在极坐标系中，直线sin（+ 10曲线=0， ）=2 被圆 =4 截得的弦长为 222 3 （0）和=4 所围成的面积是_ 11.（2016北京高考）在极坐标系中，直线cos- 3sin-1=0与圆=2cos交于 A，B 两点，则丨 AB 丨=_. 三、解答题三、解答题 12 （2016包头校级一模）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程是（t 是参 数） ，以原点

41、O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C 的极坐标方程 （）判断直线 l 与曲线 C 的位置关系； （）设 M 为曲线 C 上任意一点，求 x+y 的取值范围 13. 在直角坐标系xOy中，以O 为极点，x轴为极轴建立坐标系，曲线 C 的极坐标方程为cos（ =1，M,N 分别为 C 与x轴，y 轴的交点。 （）写出 C 的直角坐标方程，并求M,N 的极坐标； （）设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程。 3 ） 14. 在平面直角坐标系中，已知点 A(3,0)，P 是圆 x2+y2=1 上一个动点，且AOP 的平分线交 PA 于 Q 点，求 Q 点的轨迹的极坐标方程. 【

42、答案与解析】【答案与解析】 1.【答案】C 222 【解析】 由于 =x +y ， =4，=2， 由cos x， 得cos=- 2 12 ， 结合点在第二象限得，=， 23 则点 M 的极坐标为，故选 C。 （2， ） 2 3 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 2. 【答案】D 【解析】原极坐标方程化为 = 1 2 (cos+sin) 2 2 =cos+sin， 普通方程为 2 (x2+y2)=x+y，表示圆. 3.【答案】C 【解析】2cos=0， cos1=0 或 =0， ， x2+y2=0 或 x=1 故选 C 4 【答案】B 【解析】由两点间距离公式得：| AB|

43、7 4232243cos 37， 2 6 11 7 | BC |3232233cos 27， 6 6 11 |CA|3242234cos 37。 2 6 |AB|=|CA|，ABC 为等腰三角形。故选 B。 5. 【答案】A 【解析】圆的直角坐标方程为(x1) (y 1) 2， 化为 极坐标方程为(cos1) (sin1) 2，2 2cos( 曲线2 2cos( 2 2cos( 22 22 4 ) 0， 4 ) 0也过极点， ) 0与2 2cos() 0等价， 44 对应的极坐标方程为 2 2cos( 6 【答案】B 4 ). sin ，对于l2可化为: cos 【解析】对于l 1 可化为xs

44、in ycos a，k 1 xcos ysin 0，k 2 7. 【答案】B cos ，l 1 l 2 。故选 B。 sin 【解析】如右图. C 的极坐标方程为 =4sin，COOX,OA 为直径，OA=4,l 和圆相切， l 交极轴于 B(2，0)点 P(,)为 l 上任意一点，则有 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 cos= OB OP 2 ，得 cos=2， 应选 B. 8. 【答案】 R。 【解析】用x cos, y sin代入即得. 9.【答案】4 ）=2，【解析】sin（+ sin+cos=2，化成直角坐标方程为： x+y2=0， 圆 =4 化成直角坐标方程为

45、x2+y2=16， 圆心到直线的距离为： 截得的弦长为： 2 10 【答案】 = 8 3 222 【解析】 4表示以原点为圆心，4 为半径的圆。即 x +y =4 ， 斜角为 3 ( 0)表示过原点倾 的直线， 0表示 x 轴的正半轴。 3 118 。 R242 2233 如答图，所求面积为扇形OAB 的面积。 S 11. 【答案】2 【解析】分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程：直线为x- 3y-1 0 ，过圆（x-1）2+y2=1 的圆心， 因此丨 AB 丨=2，故填：2. 12.【解析】 （）由，消去 t 得：y=x+ 由 化为标准方程得： ，得 ，即 ，即 ， 圆心坐标为 直线 l

46、与曲线 C 相离； ，半径为 1，圆心到直线 xy+=0 的距离 d=1 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （）由 M 为曲线 C 上任意一点，可设， 则 x+y=sin+cos= x+y 的取值范围是 13. 【解析】 ， 13 （）由cos() 1得(cossin) 1 322 从而 C 的直角坐标方程为 13 x y 1 22 即 x 3y 2 0时， 2，所以M(2,0) 2 时， 2 32 3 ，所以N(,) 332 （）M 点的直角坐标为（2，0） N 点的直角坐标为(0, 2 3 ) 3 (1. 32 3 ),则P点的极坐标为(,), 336 所以 P 点的直

47、角坐标为 所以直线 OP 的极坐标方程为 14. 【解析】先建系,再由面积求. 6 , 以圆心 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 Q(,),P(1,2). S OAQ+SOQP=SOAP. 111 3sin+sin=31sin2. 222 3 整理得 =cos. 2 曲线的参数方程曲线的参数方程 【学习目标】【学习目标】 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 1. 了解参数方程，了解参数的意义。 2. 能利用参数法求简单曲线的参数方程。 3. 掌握参数方程与普通方程的互化。 4. 能选择适当的参数写出圆和圆锥曲线的参数方程 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、参数方

48、程的概念要点一、参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数， x f (t). ，即 y g(t) 并且对于t的每一个允许值，方程组所确定的点M(x, y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这 条曲线的参数方程，联系x, y间的关系的变数t叫做参变数（简称参数）. 相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程F(x, y) 0，叫做曲线的普通方程。 要点诠释：要点诠释： （1）参数是联系变数x，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实 际意义的变数 （2）一条曲线是用直角坐标方程还是用参数方程来表示，要根据

49、具体情况确定 （3）曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的关系，而参数方程是通过参 数反映坐标变量 x、y 间的间接联系。 要点二、求曲线的参数方程要点二、求曲线的参数方程 求曲线参数方程的主要步骤： 第一步，画出轨迹草图，设 M（x，y）是轨迹上任意一点的坐标画图时要注意根据几何条件选择点 的位置，以便于发现变量之间的关系 第二步，选择适当的参数参数的选择要考虑以下两点： 一是曲线上每一点的坐标（x，y）都能由参数取某一值唯一地确定出来； 例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数此外，离 某一定点的有向距离、直线的倾斜角、斜率、截距等

50、也常常被选为参数 有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一 个参数得到参数方程，但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少 二是曲线上每一点的坐标x，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程； 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式， 证明可以省略 要点诠释：要点诠释： 普通方程化为参数方程时， （1）选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与 普通方程等价 （2）参数的选取不同，得到的参数方程是不同的 要点三、参数方程与普通方程的互化要点三、参数方程与普通方程的互

51、化 1 1、参数方程化为普通方程、参数方程化为普通方程 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （1）把参数方程化为普通方程的基本思想是消去参数，消去参数的常用方法有： 代入法先由一个方程求出参数的表达式（用直角坐标变量表示） ，再代入另一个方程 利用代数或三角函数中的恒等式消去参数 1 x at cos t 22 例如： 对于参数方程如果 t 是常数，那么可以利用公式 sin+cos=1 是参数， y at 1 sin t 消参；如果是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m+n) (mn) =4mn 消参 22 其他方法：加减消参法、乘除消参法、平方和（差）消参法、混合消参法等. 要点诠释：要点诠释： 注意：一般来说，消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参 的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去