2015-2016学年3.3.3《函数的最大(小)值与导数》课件

1、3.3.3 函数的最大（小）值与导数,2) 极大值，极大值点,复习：,4)极大值与极小值统称为极值.,1)极小值, 极小值点,3)极大值点,极小值点统称为极值点.,f(a),f(b),（1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f(x) （3）求方程f(x)=0的根,找到临界点 （4）解不等式并列成表格 （5）求出极值,求函数的极值的方法与步骤,左正右负极大值，左负右正极小值,在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题.,函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？,极值是

2、一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.,观察下列图形,你能找出函数的最值吗？,在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值,在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值,如何求出函数在a,b上的最值呢？,一般的如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。,观察图象，我们发现， 是函数y=f(x)的极小值， 是函数y=f(x)的 极大值. 在区间a,b上函数y=f(x)的最小值是 ，最大值是 。,观察：右面是一个定义在区间a,b上的函数f(x)的图象,观察下边一个定义在区间a,b上

3、的函数y=f(x)的图象：,关键是:在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？,结论：由上面两个函数的图象，以及函数极值中的例子，不难看出,只要把连续函数的所有极值连同区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最大值与最小值.,例1.已知函数 ,求f(x)在区间0,3上的 最大值和最小值,(2) 将y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) 比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个为 最小值.,求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤：,(1) 求f(x)在区间(a,b)内的极值；,练一练：求下列函数在给定区间上的最大值与最小值。,1.求出所

4、有导数为0的点；,2.计算；,3.比较确定最值。,求函数的最大值和最小值,求函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小值.,解:,令 ,解得x=-1,0,1.,当x变化时, 的变化情况如下表:,从上表可知,最大值是13,最小值是4.,求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)函数的极值是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.,(2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.,(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,

5、也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).,例3.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在-2,2上有最小值-37, (1)求a的值； （2）求f(x)在-2,2上的最大值,已知函数f(x)=ax3-6ax2+b，问是否存在实数a、b， 使f(x)在-1,2上取得最大值3，最小值-29？若存 在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由,例4设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(t0) （1）求f(x)的最小值h(t)； （2）若h(t)-2t+m对(0t2)恒成立，求实数m的取值范围,有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题求解时首先要确定函数，看哪一个变量的范围已知

6、，以已知范围的变量为自变量确定函数,D,A,A,必做题:,4.函数y=x3-3x2，在2，4上的最大值为（ ) (A)-4 (B)0 (C)16 (D)20,C,1.函数 y = x + 3 x9x在 4 , 4 上的最大值为 , 最小值为 .,分析: (1) 由 f (x)=3x +6x9=0,(2) 区间4 , 4 端点处的函数值为 f (4) =20 , f (4) =76,得x1=3，x2=1,函数值为f (3)=27, f (1)=5,76,-5,当x变化时，y 、 y的变化情况如下表：,比较以上各函数值，可知函数在4 , 4 上的最大值为 f (4) =76，最小值为 f (1)=5,选做题:,反思：本题属于逆向探究题型 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。,3. 求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内的极值与最值.,故函数f(x) 在区间1，5内的极小值为3，