安徽省江南十校2019届高三3月份综合素质检测理科数学

1、2019 年安徽省“江南十校”综合素质检测 数学（理科） 一选择题 1设集合 U2，1，0，1，2，Ax|x21，xU，则 U A A2，2B1，1C2，0，2D1，0，1 2复数z i （i 为虚数单位） ，则| z| 1i A 12 B 2 CD2 22 1111 ）B （，0）C （0，）D （，0） 2288 3抛物线 y2x2的焦点坐标是 A （0， 4在ABC 中，角A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若b 2 7，c3，B2C，则cos2C 的值为 A 5477 BCD 9934 5已知边长为 1 的菱形 ABCD 中，BAD60，点 E 满足BE 2EC，则AEBD的值 是

2、A 1111 BCD 3246 6我国南北朝时期的科学家祖暅， 提出了计算体积的祖暅原理： “幂势既同， 则积不容异” 意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等利 用此原理求以下几何体的体积：曲线 yx2（0yL）绕 y 轴旋转一周得几何体 Z，将 Z 放 在与 y 轴垂直的水平面 上， 用平行于平面， 且与 Z 的顶点 O 距离为 l 的平面截几何体Z， 得截面圆的面积为( l)2 l由此构造右边的几何体 Z1：其中 AC平面 ，ACL， AA 1 ，AA1，它与 Z 在等高处的截面面积都相等，图中 EFPQ 为矩形，且 PQ， FPl，则几何体 Z 的体

3、积为 1 2 1 L DL3 22 2 )（0）的最小正周期为 4，则下面结论正确的是 7已知函数f (x) cos(x 3 AL2BL3C A函数 f（x）在区间（0，）上单调递增 B函数 f（x）在区间（0，）上单调递减 C函数 f（x）的图象关于直线x D函数 f（x）的图象关于点（ 2 对称 3 2 ，0）对称 3 3x1 8设函数f (x) x x ，则不等式 f（3log2x）f（1log2x）0 的解集是 3 1 2 A （0， 22 ）B （，）C （0， 2） D （ 2，） 22 x2y2 1（b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为右支上一点且直线 9已知双曲线 4b

4、2 PF2与 x 轴垂直，若F1PF2的角平分线恰好过点（1，0） ，则PF1F2的面积为 A12B24C36D48 10 已知函数f (x) 1k4xeln x ，g(x) （e 是自然对数的底数） ， 若对x 1 (0,1)， 1 xxx x 2 1,3，使得 f（x1）g（x2）成立，则正数 k 的最小值为 A 1 B1C42 3D42 3 2 11如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线（实线、虚线）画出的是某几何体的三视 图，其中的曲线都是半径为1 的圆周的四分之一，则该几何体的表面积为 A20B20 35 C20D20 444 12 计算机内部运算通常使用的是二进制， 用 1 和

5、0 两个数字与电路的通和断两种状态相对 应现有一个2019 位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第k 个 0 和第 k1 个 0 之间有 2k1 个 1（kN N*） ，即101110111110 2019个 ，则该数的所有数字之和为 A1973B1974C1975D1976 二填空题 x y 20 13设 x，y 满足约束条件x2y 10，则 z3xy 的最小值为_ 2x y 20 14已知 sincos11 tan() ，且，则 tan 的值为_ 213cos43 15在（xyz）6的展开式中，所有形如 xaybz2（a，bN N）的项的系数之和是_ （用数字作答） 16如

6、图，三棱锥 ABCD 中，ACADBCBD10，AB8，CD12，点 P 在侧面 ACD 上，且到直线 AB 的距离为 21 ，则 PB 的最大值是_ 三解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必做题， 每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题 17已知数列an与bn满足：a1a2a3an2bn（nN N*） ，且an为正项等比数列， a12，b3b24 （）求数列an与bn的通项公式； （）若数列cn满足c n a n （nN N*） ，Tn为数列cn的前 n 项和，证明：Tn1 b nbn1 18 斜三棱柱 ABCA1B1C

7、1中， 底面是边长为 2 的正三角形，AA1ABA1AC 1 B 7， 60 （）证明：平面 A1BC平面 ABC； （）求直线 BC1与平面 ABB1A1所成角的正弦值 19某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀， 现获得该公司 20112018 年的相关数据如下表所示： 年份 年生产台数（万台） 20112012201320142015201620172018 23 2.75 22 4 3.5 28 5 3.25 65 6 3 80 7 4.9 65 10 6 84 11 6.5 88 该产品的年利润（百万元） 2.1 年返修台数（台）21 81818

8、部分计算结果：x x i 6，y y i 4，(x i x)2 72， 8 i1 8 i1i1 88 (y y) i i1 218.045，(x i x)(y i y) 34.5 i1 注：年返修率 年返修台数 年生产台数 （）从该公司 20112018 年的相关数据中任意选取 3 年的数据，以 表示 3 年中生产部 门获得考核优秀的次数，求 的分布列和数学期望； （）根据散点图发现 2015 年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出 年利润 y（百万元）关于年生产台数 x（万台）的线性回归方程（精确到0.01） b 附： 线性回归方程y bxa中， (x x)(y y)x y

9、nx y iiii i1 nn (x x) i i1 n i1 2x i1 n 2 i nx2 ，a ybx 20设 O 是坐标原点，圆O：x2y2r2（r3） ，椭圆 C 的焦点在 x 轴上，左、右顶点分别 为 A，B，离心率为 5 ，短轴长为 4平行 x 轴的直线 l 与椭圆 C 和圆 O 在 y 轴右侧的交 3 点分别为 E，F，直线 AE 与 y 轴交于点 M，直线 BE 与 y 轴交于点 N （）求椭圆 C 的标准方程； （）当12FM FN 16时，求 r 的取值范围 21已知定义在区间（0，2）上的函数f (x) m ln x，mR R x （）证明：当 m1 时，f（x）1；

10、（）若曲线 yf（x）过点 A（1，0）的切线有两条，求实数m 的取值范围 （二）选考题 22选修 44：坐标系与参数方程 x 1 10cos 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ，以坐标原点 y 4 10sin 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 cos5 （）求曲线 C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程； （）点P（m，n）为曲线C2上一点，若曲线C1上存在两点 A，B，使得APB90，求 n 的取值范围 23选修 45：不等式选讲 设函数 f（x）lg（|2x1|2|x1|a） （）当 a4 时，求函数 f（x）的定义域； （）若

11、函数 f（x）的定义域为 R R，求 a 的取值范围 2019 安徽省“江南十校”综合素质测试 数学（理科）解析及评分标准 一、选择题 题号 答案 二、填空题 题号 答案 13 2 14 1 15 240 16 1 D 23456789 B 10 C 11 B 12 CACBDCCA 57 三、解答题 17 （1）由 a1a2a3an2bn n2 时，a1a2a3an 12bn1 可得：an2（bnbn1） （n2） ， a32（b3b2）8 a12，an0，设an公比为 q， a1q28，q2 an22n 12n 2bn 2 2 2 123 2(12n) 2 2n12，bn2n1 12 n

12、a n 2n11 （2）证明：由已知：c n n n1nn1b n b n1 (2 1)(21)2 121 c 1 c 2 c 3 c n 1111 211221221231 11 2n12n11 1 1 2n11 1 18 （1）AB2，A， 1B 7，A1AB60 222 由余弦定理：A 1B AA1 AB 2AA 1 ABcosA 1AB ， 2 即AA 1 2AA 1 3 0 AA 1 3或1， 故 AA13 取 BC 中点 O，连接 OA，OA1， ABC 是边长为 2 的正三角形， AOBC，且AO 3，BO1， 由A1ABA1AC 得到A 7，故 A1OBC， 1B AC1 且A

13、O 6， 1 2 AO2 AO AA 1 2，AOA 1O， 1 又 BCAO O，故 A1O平面 ABC， AO 平面A 1BC ， 1 平面 A1BC平面 ABC （2）解法一：以O 为原点，OB 所在的直线为 x 轴，取 B1C1中点 K以 OK 所在的直线为 y 轴，过 O 作 OGAA1，以 OG 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系 则 B（1，0，0） ，B1（1，3，0） ，C1（1，3，0） ，A1（0，2， 2） ， BC 1 (2,3,0)，BB 1 (0,3,0)，BA,2,2) 1 (1 设平面 ABB1A1的一个法向量为m (x, y,1)，则 mBB 1 3y

14、0 x 2 m ( 2,0,1) y 0 mBA 1 x2y2 0 设所求角为 ，则sin | BC 1 m|2 22 78 39| BC 1 |m|13 3 解法二：以O 为原点，OB 所在的直线为 x 轴，以 OA1所在的直线为 y 轴，以OA 所在的直 线为 z 轴建立空间直角坐标系 则 B（1，0，0） ，A（0，0， 3） ，A1（0，6，0） ，C（1，0，0） ， 设 C1（x，y，z） ，由C 1A ， 1 CA可得 C1（1，6， 3） BC 1 (2, 6, 3)，AB (1,0, 3)，BA, 6,0) 1 (1 设平面 ABB1A1的一个法向量为m (x, y,z)，则

15、 m AB x 3z 0 y 1 m ( 6,1,2) ，取x 6 z 2 mBA 1 x6y 0 设所求角为 ，则sin | BC 1 m|2 62 78 39| BC 1 |m|133 111 BCS AOA 1 BC AO AO 2 1 332 解法三：由（1）VCABA 1 设C到平面ABB1A1的距离为h， 则由CC1面ABB1A1知C1到平面ABB1A1的距离也为h， 则 1112 6 V CABA 1 =hS ABA 1 h AB A 1Asin60 2 h 3323 设所求角为 ，则sin h2 62 78 BC139133 19 （1）由数据可知，2012，2013，2016

16、，2017，2018 五个年份考核优秀，故 的所有可 能取值为 0，1，2，3 03C 5C 1 ，P( 0) 3 3 C 8 56 2C1C15 ，P(1) 5 3 3 C 8 56 21C 5C 30 P( 2) 3 3 ， C 8 56 0C3C10 P(3)5 3 3 ， C 8 56 故 的分布列为 P 所求E 0 0123 1 56 15 56 15 28 5 28 11515515 1 23 565628288 （2）解法一：(x x) i i1 8 2 72x (x i x) 8x 360 2 i 2 i1i1 88 88 2 (x x)(y y) 34.5x y (x x)(

17、y y)8x y 226.5 iiiiii i1i1i1 8 故去掉 2015 年的数据之后 x 68648329 6，y 777 2 i5 (x i x)2x i 27x 36062762 72 i5 (x i x)(y i y) x i y i 7xy 226.56376 i5i5 29 34.5 7 所以b 34.52934.5 0.48，a y bx 6 1.27 72772 从而回归方程为：y 0.48x1.27 解法二：因为x6 x 6，所以去掉 2015 年的数据后不影响b的值， 所以b 34.5 0.48， 72 68648329 6，y ， 777 而去掉 2015 年的数据

18、之后x a y bx 2934.5 6 1.27 772 从而回归方程为：y 0.48x1.27 注：若有学生在计算a时用b 0.48计算得a y bx 29 0.486 1.26也算对。 7 x2y2 20 （1）设椭圆 C 的标准方程为 2 2 1（ab0） ab a2b25 a 3 由题意得，解得， a3 b 22b 4 x2y2 1 椭圆 C 的标准方程为 94 （2）解法一：设 l：yt（2t2）且 t0，E（x1，t） ，F（x2，t） ，3x10，rx20 设 M（0，s） ，A、E、M 共线，kAMkAE s0t 03t3t3t ，s ，得 M（0，） ，同理得 N（0，） 0

19、(3)x 1 (3)x 1 3x 1 33 x 1 3t3t33 2t)(x 2 ,t) x 2 t2(1)(1) x 1 33 x 1 x 1 33 x 1 FM FN (x 2 , 2x 1 249t2 22 4x 1 2222 x t x t x (9) x t 4 r 4 222 229 x 1 9t94 2 2 2 2 12FM FN 16，12r 416， 4r2 5 x my 3 解法二：设 AE：xmy3（m0） ，E（x1，y1） ，F（x2，y2） ，联立 x 2y2 1 94 12m22724m 得： （4m 9）y 24my0，y1，x 1 ， 224m 94m 9 2

20、2 k BE y 1 4 m x 1 39 412m m(x3)，令 x0 得 N（0， ） 99 3 又由 AE：xmy3（m0） ，令 x0 得 M（0，） m 24m 又 lx 轴，y 2 y 1 4m29 312m312m 22 y 2 ) x 2 y 2 ()y 2 4 r24 FM FN (0 x 2 , y 2 )(0 x 2 , m9m9 BN：y 12FM FN 16，12r2416 4r2 5 21 （1）证明：m1 时，f (x) f (x) 1 ln x x 11x1 2 ， 2xxx f（x）在（0，1上递减，在1，2）上递增， f（x）minf（1）1，f（x）1

21、（2）当 m0 时，f（x）lnx，x（0，2） ，明显不满足要求； 当 m0 时，设切点为（x0，f（x0） ） （显然 x01） ，则有f (x 0 ) f (x 0 ) ， x 0 1 x 0 m 2x 0 ln x 0 m x 0 2m1m ，整理得ln x 0 2 1 0（*） x 0 1x 0 x 0 由题意，要求方程（*）在区间（0，2）上有两个不同的实数解 2m1m(x2m)(x1) 2 1，g(x) xxx3 1 当 2m1 即m时，g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减或先单调 2 令g(x) ln x 递减再递增， 而g( ) (me1)(2e) 0，g（

22、1）m0，g(2) ln2 1 e 3m 21 1ln2 0， 48 g(2m) ln2m 1 0， 4m g（x）在区间（0，1）上有唯一零点，在区间（1，2）上无零点 所以此时不满足题要求 当 02m1 即0 m 1 时，g（x）在（0，2m）上单调递增，在（2m，1）上单调递 2 减，在（1，2）上单调递增， g( mm(2m1e)e ) ln1 0，g（1）m0， eem g（x）在区间（0，2）上有唯一零点，所以此时不满足题要求 当 m0 时，g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增， g( ) (me1)(2e) 0，g（1）m0，g(2) ln2 当 g（2）0 即

23、m 求 1 e 3m2 4 24ln 2 时，g（x）在区间（0，2）上有唯一零点，此时不满足题要 3 24ln 2 m 0时，g（x）在区间（0，1）和（1，2）上各有一个零点， 3 xm1m 2 显然在区间（0，2）上单调递减，设为 x1，x2，又这时f (x) 2xxx 当 g（2）0 即 f（x1）f（x2） ，所以此时满足题目要求 综上所述，m 的取值范围是 24ln 2 m 0 3 （2）解法二：设切点为（x0， m ，由解法一的关于 x0的方程ln x 0 ） x 0 1(2x 0 1)m1 在区间内（0，2）有两解，显然不是方程的解，ln x 0 1 0 22x 0 x 0 x x2ln x x2 故原问题等价于m 在区间内（0，2）有两解 12x x x2ln x x2x(1 xln x x)1 设g(x) ，0x2，x 212x12x 1 x(1 x)(2ln x) 1 x x