泰勒公式课件.ppt

1、A,1,二、几个函数的麦克劳林公式,第三节,一、泰勒公式,三、泰勒公式的应用,泰勒 ( Taylor )公式,第三章,A,2,一、泰勒公式,当一个函数f (x)相当复杂时,为了计算它在一点x=x0,时，,是比,高阶的无穷小.,附近的函数值或描绘曲线f (x)在一点P(x0,f(x0)附近,的形状时,我们希望找出一个关于(x-x0)的n次多项式,函数,近似表示f (x)且当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,3,首先确定多项式函数的系数,假定f (x)在含有点x0的某个开区间(a,b)内具有直到,这样,对Pn(x) 求各阶导数,然后分别代入以上等式得,即得,(n+1)阶的导数，并且要求满足

2、条件：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,4,把所求得的系数代入得,其次证明,是较,显然,Rn(x)在(a,b)内具有直到(n+1)阶导数，且,据此重复使用洛必达法则，可推得,高阶无穷小,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,5,时，,是比,高阶的无穷小.,即当,Rn(x),于是f (x)可表示,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,6,一、问题的提出,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,7,（如下图）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,8,不足之处,问题:,1、精确度不高,2、误差不能估计。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,9,机动 目录 上页 下页 返回 结束,

3、分析:,2.若有相同的切线,3.若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.若在 点相交,A,10,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,11,三、泰勒(Taylor)中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,12,定理:泰勒(Taylor )中值定理,有,其中,则对于任一,如果f (x)在含有点x0的某个开区间(a,b)内具有直到,(n+1)阶的导数，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,13,特例:,当 n = 0 时, 泰勒公式,变成拉格朗日中值定理,公式称为f (x)按 (x-x0) 的幂展开的带有拉格朗日型,公式 称为拉格朗日型余项 .,余项的 n 阶泰勒公式 .,机动 目录

4、 上页 下页 返回 结束,A,14,拉格朗日形式的余项,皮亚诺形式的余项,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,15,注:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,16,二、几个函数的麦克劳林公式,上述公式称为f(x)的麦克劳林( Maclaurin)公式 .,因此可令,在泰勒公式中取,从而泰勒公式变为较简单的形式,即,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,17,故,例1:求函数,解:因为,的n阶麦克劳林展开式.,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,18,其中,令n=2m，于是有,例2:求函数,解:因为,的n阶麦克劳林展开式.,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,

5、19,类似地,可得,其中,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,20,其中,以上介绍的几个函数的麦克劳林展开式，在应用,中经常遇到，应该熟记！,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,21,三、泰勒公式的应用,1. 求较为复杂的函数的麦克劳林展开式或泰勒展开式,例3:求,解:因为,又,的麦克劳林展开式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,22,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,23,例4:求函数,解:因为,处的泰勒展开式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,24,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,25,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,26,2. 在近似计算中的应用,例5:利用,的8阶麦克劳林展开式计算e的近似值,并估计误差.,解:,取n=8，进行计算得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,27,其误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A,28,五、小结,A,29,五、小结,A,30,五、小结,A,31,五、小结,A,32,五、小结,A,33,A,34,A,35,A