指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详-解)--补课

1、第六讲 指数函数和对数函数 指数函数和对数函数都是基本初等函数，是高中必须掌握的，在高考中，主要是考查基 础知识。要求掌握扩充后指数的运算，对数的运算，指数函数和对数函数的图像和性质。 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1整数指数幂概念： an n aaaa 个 )( Nn 0 10aa 1 0, n n aanN a 2整数指数幂的运算性质：（1） （2）, mnm n aaam nZ , n mmn aam nZ （3） n nn ababnZ 其中， mnmnm n aaaaa 1 n n n nn n aa a bab bb 3的次方根的概念an 一般地，如果一个数的次方等于，那么这个

2、数叫做的次方根，na Nnn, 1an 即： 若，则叫做的次方根， axnxan Nnn, 1 例如：27 的 3 次方根， 的 3 次方根，327 3 27327 3 32 的 5 次方根， 的 5 次方根232 5 32232 5 说明：若是奇数，则的次方根记作； 若则，若则；nan n a0a0 n aoa 0 n a 若是偶数，且则的正的次方根记作，的负的次方根，记作：；（例如：n0aan n aan n a 8 的平方根 16 的 4 次方根）228216 4 若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根；n0a n a ； Nnn n , 10000 n 式子叫根式，叫根指数，叫被开方

3、数。 n ana n n aa 4的次方根的性质an 一般地，若是奇数，则；naa nn 若是偶数，则n 0 0 aa aa aa nn 5例题分析： 例计算：407407 解： 40740752)25()25( 22 （二）分数指数幂 1分数指数幂： 10 5102 5 0aaaa 12 3124 3 0aaaa 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 幂的运算性质对分数指数幂也适用， n mmn aa 例如：若，则， 0a 3 22 3 2 33 aaa 4 55 4 5 44 aaa 2 32 3 aa 4 54 5 aa 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义

4、是；0,1 m nm n aaam nNn （2）正数的负分数指数幂的意义是 11 0,1 m n m nm n aam nNn a a 2分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用，即： 10, , rsr s a aaar sQ 20, , s rrs aaar sQ 30,0, r rr aba babrQ 说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用； （2）0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没意义。 3例题分析： 【例 1】用分数指数幂的形式表示下列各式：ao ， ， . 2 aa 332 aaa a 解：=； 2 aa 115 2 2

5、 222 aaaa =； 332 aa 211 3 33 aaa =a a 11 133 22 224 a aaa 【例 2】计算下列各式的值（式中字母都是正数） （1）； （2）； 211511 336622 263a ba ba b 8 31 84 m n 解（1） （2） = 211511 336622 263a ba ba b 8 31 84 m n 88 31 84 mn 2 23 3 m m n n = 2111 1 5 32 62 3 6 263ab =； 0 44aba 例 3计算下列各式： （1） （2） 34 51255 2 32 0 a a aa 解：（1）= （2） 3

6、4 51255 231 324 555 2131 3424 5555 = 2 32 a aa 52 65 6 21 32 a aa a a =； 55 124 55 5124 55 5 【例 3】已知，求下列各式的值：（1）；（2）. 1 3xx 11 22 xx 33 22 xx 解：（1） 11 2 22 ()xx 1111 22 2222 ()2()xx xx ， 11 2xx325 ， 11 22 5xx 又由得， 1 3xx0 x 11 22 0 xx 所以. 11 22 5xx （2） （法一） 33 22 xx 11 33 22 )()xx （ 111111 22 222222

7、()()() xxxx xx ， 11 1 22 ()() 1xxxx 5(3 1)2 5 （法二） 33 2 22 ()()xx 3333 22 2222 ()()2xxxx 33 2xx 而 33 xx 122 ()(1)xxxx 11 2 ()()3xxxx 2 3 (33) 18 ， 33 2 22 ()20 xx 又由得， 1 30 xx0 x 33 22 0 xx 所以. 33 22 202 5xx 二、指数函数 1指数函数定义： 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，叫底数，函数定义域是 x ya0a 1a xaR 2指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质： x ya1

8、a 01a 1a 01a 图 象 （1）定义域：R 性 质（2）值域：(0,) （3）过定点，即时(0,1)0 x 1y （4）在上是增函数R（4）在上是减函数R 【例 1】求下列函数的定义域、值域： （1） （2） （3） （4） 1 21 8 x y 1 1 ( ) 2 x y 3 x y 1( 0,1) 1 x x a yaa a 解：（1） 原函数的定义域是，210 x 1 2 x 1 , 2 x xR x 令 则 1 21 t x 0,ttR 得，8 (,0) t ytR t0,1yy 所以，原函数的值域是0,1y yy （2） 原函数的定义域是， 1 1 ( )0 2 x 0 x

9、0, 令 则， 1 1 ( ) 2 x t (0)x 01t 在是增函数 ，yt0,101y 所以，原函数的值域是0,1 （3）原函数的定义域是，R 令 则， tx 0t 在是增函数， ，3ty ,001y 所以，原函数的值域是0,1 （4）原函数的定义域是，R 由得， 1( 0,1) 1 x x a yaa a 1 1 x y a y ， ，0 x a 1 0 1 y y 11y 所以，原函数的值域是1,1 说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。 【例 2】当时，证明函数 是奇函数。1a 1 1 x x a y a 证明：由得，10 x a 0 x 故函数定义域关于原点对称

10、。0x x 1 () 1 x x a fx a (1) (1) xx xx aa aa 1 1 x x a a ( )f x ()( )fxf x 所以，函数 是奇函数。 1 1 x x a y a 三、对数的性质 1对数定义：一般地，如果（）的次幂等于 N, 就是，那么数 b 叫做 a 为底 a10aa且bNab N 的对数，记作 ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。即，。bN a log b aNlogaNb aNb 指数式Nab 底数幂指数 对数式bN a log对数的底数真数对数 说明：1在指数式中幂 N 0，在对数式中，真数 N 0 （负数与零没有对数） 2对任意 且 , 都有 ，同

11、样：0a1a 0 1a log 10 a log1 aa 3如果把中的写成， 则有 （对数恒等式） b aNblogaN logaN aN 2对数式与指数式的互换 例如： ，；，； 2 416 4 log 162 2 10100 10 log 1002 ，； ，。 1 2 42 4 1 log 2 2 2 100.01 10 log 0.012 【例 1】将下列指数式写成对数式： （1）； （2）； （3）； （4） 4 525 6 1 2 64 327 a 1 5.37 3 m 解：（1）； （2）； （3）； （4） 5 log 6254 2 1 log6 64 3 log 27a 1 3

12、 log 5.37m 3介绍两种常见的对数： 常用对数：以 10 作底简写成； 10 logNlgN 自然对数：以作底为无理数，= 2.71828 ，简写成eelogeNln N 【例 2】 （1）计算： ， 9 log 27 34 5 log625 解：设 则 ， , ；x 9 log 27927 x 23 33 x 3 2 x 令， , , x 34 5 log625 34 5625 x 4 4 3 55 x 5x （2）求 x 的值：； 3 3 log 4 x 2 2 21 log3211 x xx 解： ； 3 4 4 1 3 27 x 222 32121200,2xxxxxxx 但必

13、须： ， 舍去 ，从而 2 2 2 210 211 3210 x x xx 0 x 2x （3）求底数：， 3 log 3 5 x 7 log 2 8 x 解： ； 353 535 3(3)x 5 3 3x , 7 78 8 87 22x 2x 4对数的运算性质： 如果 a 0 ， a 1， M 0 ，N 0， 那么 （1）；log ()loglog aaa MNMN （2）；loglog-log aaa M MN N （3）loglog() n aa MnM nR 【例 3】计算： （1）lg1421g； （2）； （3）18lg7lg 3 7 9lg 243lg 2 . 1lg 10lg3

14、8lg27lg 解：（1）解法一：18lg7lg 3 7 lg214lg 2 lg(2 7)2(lg7lg3)lg7lg(32) ；lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20 解法二：18lg7lg 3 7 lg214lg 2 7 lg14lg( )lg7lg18 3 =； 18) 3 7 ( 714 lg 2 lg10 （2）； 2 5 3lg2 3lg5 3lg 3lg 9lg 243lg 2 5 （3）= 2 . 1lg 10lg38lg27lg 11 33 22 2 3 (lg32lg2 1) lg(3 )lg23lg103 2 3 2lg32lg2 12 lg 10 5换底公

15、式： ( a 0 , a 1 ；) log log log m a m N N a 0,1mm 证明：设，则，logaNx x aN 两边取以为底的对数得：，mloglog x mm aNloglog mm xaN 从而得： ， a N x m m log log a N N m m a log log log 说明：两个较为常用的推论： （1） ； （2） （、且均不为 1） loglog1 ab baloglog m n a a n bb m a0b 证明：（1） ；1 lg lg lg lg loglog b a a b ab ba （2） lglg loglog lglg m n n

16、a ma bnbn bb amam 【例 4】计算：（1） ； （2） 0.2 1 log3 5 4 492 log 3 log 2log32 解：（1）原式 = ； 0.2 5 1log3 log 3 555 15 1 5 5 3 （2） 原式 = 2 3 4 5 4 1 2log 4 5 2log 2 1 3log 2 1 232 【例 5】已知，求（用 a, b 表示） 18 log 9a185 b 36 log45 解：， ， 18 log 9aa2log1 2 18 log 1818 ， 18 log 21 a 又， 185 b ， 18 log 5b a ba 22log1 5lo

17、g9log 36log 45log 45log 18 1818 18 18 36 【例 6】设 ，求证：1643t zyx yxz2 111 证明：，1643t zyx ， 6lg lg 4lg lg 3lg lgt z t y t x， yttttxz2 1 lg2 4lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg11 四、对数函数 1对数函数的定义：函数 叫做对数函数。xy a log) 10(aa且 2对数函数的性质： （1）定义域、值域：对数函数的定义域为，值域为xy a log) 10(aa且), 0( ),( （2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应

18、的指数函数图象作关于 的对称图形，即可获得。xy 同样：也分与两种情况归纳，以（图 1）与（图 2）为例。1a10 axy 2 logxy 2 1 log 1 1 2xy 2 logyx yx （图 1） 1 1 1 ( ) 2 x y 1 2 logyx yx （图 2） （3）对数函数性质列表： 1a 01a 图 象 （1）定义域：(0,) （2）值域：R （3）过点，即当时，(1,0)1x0y 性 质 （4）在（0，+）上是增函数（4）在上是减函数(0,) 【例 1】求下列函数的定义域： （1）； （2）； （3） 2 log xy a )4(logxy a )9(log 2 xy a

19、分析：此题主要利用对数函数的定义域求解。xy a log(0,) 解：（1）由0 得， 2 x0x 函数的定义域是； 2 log xy a 0 x x （2）由得，04 x4x 函数的定义域是；)4(logxy a 4x x （3）由 9-得-3，0 2 x3 x 函数的定义域是)9(log 2 xy a 33xx 【例 2】比较下列比较下列各组数中两个值的大小： （1），； （2）， 0.9 1.1 1.1 log0.9 0.7 log0.8 5 log 3 6 log 3 7 log 3 解： （1）， 0.90 1.11.11 ， 1.11.1 log0.9log 10 ， 0.70.7

20、0.7 0log1log0.8log0.71 0.9 1.1 0.7 log0.8 1.1 log0.9 （2）， 333 0log 5log 6log 7 5 log 3 6 log 3 7 log 3 【例 3】求下列函数的值域： （1）；（2） 2 log (3)yx 2 2 log (3)yx 解：（1）令，则，3tx 2 logyt ， ，即函数值域为0t yRR （2）令，则， 2 3tx03t ， 即函数值域为 2 log 3y 2 (,log 3 【例 4】判断函数的奇偶性。 2 2 ( )log (1)f xxx (1,0) (1,0) 1x 1x logayx logayx

21、 解：恒成立，故的定义域为， 2 1xx ( )f x(,) 2 2 ()log (1)fxxx 2 2 1 log 1xx 2 2 222 1 log (1) xx xx ， 2 2 log1( )xxf x 所以，为奇函数。( )f x 【例 5】求函数的单调区间。 2 1 3 2log (32)yxx 解：令在上递增，在上递减， 22 31 32() 24 uxxx 3 ,) 2 3 (, 2 又， 或， 2 320 xx2x 1x 故在上递增，在上递减， 又为减函数， 2 32uxx(2,)(,1) 1 3 2logyu 所以，函数在上递增，在上递减。 2 1 3 2log (32)y

22、xx(2,)(,1) 课堂练习题课堂练习题 （1） 1、填空：、填空： （3） ；（4） ； 31mm xx A 35 () ()yyA （5） ；（6） ； 23 () ()ababA 43 ( 2) ( 2) ( 2)AA 2、 （1）若，则 ；（2）若，则 ； 23m aa aAm 26n aaaAn （3）若，用表示 ， ；3ma3nb, a b3m n 23 3 mn （2） （3） ；（4） ； 2 () m a 4 3 ()x （5） ；（6） ； 3 2 ()ab 3 (2 )a （7） ；（8） ； 3 ( 5 )b 22 ()xy （9） ；（10） ； 3 4 ( 2)x

23、 2 3 (3)ab 2、判断下列式子是否正确，若不对，请纠正： (1) ； （2）； 22 () mm aa 22 () mm aa （3）； （4）. mnm n aaa mnmn aaaA 课后巩固提高课后巩固提高 1、下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 336 xxx 43 xxx 5 510 ()xx 235 ()x yxy 2、8127 可以记为（ ） A. B. C. D. 3 9 6 3 7 3 12 3 3、可以等于（ ） 5 a A. B. C. D. 23 ()()aa 4 () ()aa 23 ()aa 32 () ()aa 4、计算的结果是（ ） 232

24、()bb A. B. C. D. 8 b 11 b 8 b 11 b 5、在等式中，括号内的代数式应当是（ ） 2310 ()aaa A. B. C. D. 4 a 5 a 6 a 7 a 6、若是正整数，当时，等于（ ）n1a 221 () nn a A.1 B.1 C.0 D.1 或1 7、计算的结果为( ) 2113 () nn xxx A. B. C. D. 33 n x 36 n x n x12 66 n x 8、， ， . 63 ()a 2 4 3 ()a 2 3 (2)ab 9、已知，则 ；已知，则 x= .2 m a3 n a m n a 3 42 xx 10、计算： （1）

25、；（2） ；（3） ； 4 2 x 3 2 yx 4 3 2 aa 11、下列各式中，正确的是（ ） A. B. 448 mmm 5525 2mmm C. D. 339 mmm 66 yy 12 2y 12、下列各式中错误的是( ) A. B. ()= 6 2 3 yxyx 2 2a 48 16a C. D. 36 3 2 27 1 3 1 nmnm 3 3 abba3 6 13、已知 n 是大于 1 的自然数,则等于 ( ) 11nn cc A A. B. C. D. 1 2 n cnc2 2n c n c2 14、下列运算中与结果相同的是 ( ) 44 aa A. B. C. D. 28

26、a aA 4 2 a 4 4 a 44 22 aaA 15、用简便方法计算 (1) (2) 5 . 1) 3 2 ( 2000 1999 1999 1 1111 11 79 1( 1) 916 16、已知,求 m 的值.3 927 mm 16 3 17、若，解关于的方程. 22 9 216(2 ) n x42nx 18、若，求的值52 m 62 nnm 2 2 2 指指数数扩扩充充及及其其运运算算性性质质 1、将 b 写成分数指数幂的形式： （1）； （2）； （3）. 3 4b 2 5b 2 4 mn b 2、将分数指数幂写成根式的形式： （1）； （2）； （3）； （4）. 1 2 8

27、1 3 27 3 2 4 2 3 125 3、将根式写成分数指数幂的形式： （1）； （2）； （3）； （4）. 32 x 3 1 x 3 4 ()ab 322 mn 4、计算： （1）； （2）； （3）； （4） . 1 2 100 2 3 64 3 2 9 1 4 81 5、已知，求，.103 104 10 10 2 10 5 10 6、已知，求，. 11 22 3aa 1 aa 22 aa 3 指指数数函函数数 1、已知，则指数函数 1.，2.的图像为 （ ） 01mn x my x ny 2、如图是指数函数的图像则的关系是（ ） xxxx dycybyay,dcba, A. B.d

28、cba1cdab1 C. D.dcba1cdba1 3、已知 0 ba ，则2 ,2 ,3 aba 的大小关系是（ ） A2 23 aba B2 32 baa C 2 23 baa D 2 32 aab 4、若 aaa QPSa2 . 0,2,2, 01 ，则下列选项成立 的是 （ ） 第第 2 题题 A.QPS B.SQP C.SPQ D.PQS 5、设 1.5 0.90.48 123 1 4,8, 2 yyy ，则（ ） A. 312 yyy B. 213 yyy C. 132 yyy D. 123 yyy 6、若 xx 310932，那么1 2 x的值为 （ ） A.1 B.2 C.5

29、D.1 或 5 7、已知则 的大小关系为 . 8 . 08 . 09 . 0 8 . 0,9 . 0,8 . 0cba, ,a b c 8、解方程. 2 32 330 xx 4.1 对数及其运算对数及其运算 1、把下列指数式写成对数式： （1） （2） 3 28 1 1 2 2 （3） （4） 3 1 27 3 1 ( )5.73 3 m 2、把下列对数式写成指数式： （1） （2） 3 log 92 5 log 1253 （3） （4） 2 1 log2 4 3 1 log4 81 3、求下列各式中 x 的值： （1） （2） 64 2 log 3 x log 86 x （3） （4）lg1

30、00 x 2 lnex 4、求下列各式的值： （1） （2） 5 log 125 2 1 log 16 （3） （4）lg1000lg0.001 （5） （6） 15 log 15 0.4 log1 （7） （8） 2 log 4 2 lg105 10 5、基础练习 （1） （2） lg2lg5 33 log 18log 2 6、加强巩固 （1） （2） 3 151515152 12loglog 20log 4og lg2lg5lg8 lg50lg40 （3） （4） 7 1 142lglg7lg18 3 g lg4lg5 1 2lg0.5lg8 （5） （6） 2 lg 2lg2 lg5lg

31、5 log 2lg3 5 1010log 1 7、已知，请分别用表示式子，. 2 logax 2 logby 2 logcz, ,a b c 2 2 log ()x y 2 2 log (9)xy 2 2 log 3 x y z 4.2 换底公式换底公式 1、求下列各式的值： (1) （2） （3） 1 3 log 27 9 log 271 16 log64 （4） （5） （6） lg243 lg9 89 log 9 log 32 932 log 16 log81 2、加强巩固 4 log 13 29 (1)log2log 274 4839 (2)(log 3log 3)(log 2log

32、2) 3、综合应用 （1）设,，试用、表示，.lg2alg3bab 6 lg 2 3 log 4 5 log 12 （2）已知求.3436 xy 21 xy 5 对数函数对数函数 1、求下列函数的定义域： (1)； （2）； 2 log (1)yx 2 1 log 1 y x (3)； （4）. 3 log1yx 2 logyx 2、求下列函数的反函数： (1)； （2）； 2 logyx 1 2 logyx (3)； （4）；3xy 2yx (5)； （6）. 2 log (1)yx 2 5 x y 3、比较各题中各数的大小： (1)，； （2），； 2 log 3 2 log 5 0.2

33、log2 0.2 log0.1 (3) ，； （4），. 2 log 3 3 log 2log 2 a log 3 (0,1) a aa 4、已知函数 ，则 . 2 22,1 ( ) log,1 x x f x x x (2)ff 5、已知函数 ，且，则 . 1 2 22,1 ( ) log (1),1 x x f x xx ( )3f a (6)fa 第三章第三章 指数函数和对数函数单元测试卷指数函数和对数函数单元测试卷 满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、选择题（每小题 6 分，共 60 分 ） 1已知 x，y 为正实数，则( ) A B lglglglg 222 xyxy lg()lglg 222 x yxy C D lglglglg 222 xyxy Alg()lglg 222 xyxy 2若函数 yf(x)是函数 yax(a0，a1)的反函数且 f(2)1，则 f(x)( ) A B C D 1 2x 2 2x 1 2 log x 2 lo