高考数学100个热点题型秒解技巧之三角形四心的向量表示及妙用

1、化 难 为 易化 繁 为 简 2019 年 4 月版 秒秒解解高高考考数数学学 1 10 00 0 招招 选择、填空篇 例（例（20162016 山东理山东理 7 7）函数f (x)( 3sinxcosx)( 3cosxsinx)的最小正周期是( ) 3 A. B. C. D.2 22 【秒解】【秒解】根据口诀：和差不变,积商减半,易知3sinxcosx以及3cosxsinx的周期 均为2,则f (x)( 3sinxcosx)( 3cosxsinx)的周期为,选B. 四大特色助快速解题 100 个秒解技巧 80 个精妙二级结论 10 年高考真题为例 700 个例题深入剖析 1 目录 CONTE

2、NTS 1、集合 利用特值逆代法速解集合运算题2 2、集合 利用对条件具体化巧解集合运算题 3、集合 运用补集运算公式简化集合计算 4、简易逻辑 利用韦恩图巧解集合与数量关系题 5、简易逻辑 借助数轴法巧解充要条件问题 6、复数 利用逆代法、特值法速解含参型复数题 7、复数 利用公式速解有关复数的模的问题 8、复数 利用结论快速判断复数的商为实数或虚数 9、复数 利用公式快速解决一类复数问题 10、三视图 柱体和锥体的三视图快速还原技巧 11、三视图 利用“三线交点”法巧妙还原直线型三视图 12、不等式 利用逆代法巧解求不等式解集问题 13、不等式 利用特值法速解比较大小问题 14、不等式 利

3、用数轴标根法速解高次不等式 15、不等式 用代入法速解 f 型不等式选择题 16、不等式 利用几何意义与三角不等式速解含有绝对值的不等式 17、不等式 利用结论速解含双绝对值函数的最值问题 18、不等式 利用“1 的代换”巧解不等式中的最值问题 19、不等式 利用“对称思想”速解不等式最值问题 20、不等式 利用柯西不等式速解最值问题 21、线性规划 利用特殊法巧解线性规划问题 22、线性规划 高考中常见的线性规划题型完整汇总 23、程序框图 程序框图高效格式化解题模式 24、排列组合 排列组合 21 种常见题型解题技巧汇总 25、排列组合 利用公式法速解相间涂色问题 26、排列组合 速解排列

4、组合之最短路径技巧 27、二项式定理 二项式定理常见题型大汇总 28、二项式定理 利用公式速解三项型二项式指定项问题 29、平面向量 特殊化法速解平面向量问题 30、平面向量 利用三个法则作图法速求平面向量问题 31、平面向量 三点共线定理及其推论的妙用 32、平面向量 平面向量等和线定理的妙用 33、平面向量 向量中的“奔驰定理”的妙用 34、平面向量 三角形四心的向量表示及妙用 35、平面向量 利用极化恒等式速解向量内积范围问题 36、空间几何 利用折叠角公式速求线线角 37、空间几何 求体积的万能公式：拟柱体公式 38、空间几何 空间坐标系中的平面的方程与点到平面的距离公式的妙用 39、

5、空间几何 利用空间余弦定理速求异面直线所成角 40、空间几何 利用公式速解空间几何体的外接球半径 41、函数 用特值法速解分段函数求范围问题 42、函数 数形结合法速解函数的零点与交点问题 2 43、函数 数型结合法巧解带 f 的函数型不等式 44、函数 函数的周期性的重要结论的运用 45、函数 利用特值法巧解函数图像与性质问题 46、函数 通过解析式判断图像常用解题技巧 47、函数 利用结论 速解“奇函数C”模型问题 48、函数 利用特值法速解与指数、对数有关的大小比较问题 49、函数 巧用耐克函数求解函数与不等式问题 50、函数 利用对数函数绝对值性质速解范围问题 51、函数 巧用原型函数

6、解决抽象函数问题 52、函数 构造特殊函数巧解函数问题 53、导数 特殊化与构造方法巧解导数型抽象函数问题 54、导数 极端估算法速解与导数有关选择题 55、导数 用母函数代入法巧解函数、导数中求范围问题 56、导数 隐函数求导在函数与圆锥曲线切线问题中的妙用 57、三角函数 利用口诀巧记诱导公式及其运用 58、三角函数 利用结论速求三角函数周期问题 59、三角函数 巧用特值法、估算法解三角函数图像问题 60、三角函数 海伦公式及其推论在求面积中的妙用 61、三角函数 借助直角三角形巧妙转换弦与切 62、三角函数 特殊技巧在三角变换与解三角形问题中的运用 63、三角函数 齐次式中弦切互化技巧

7、64、三角函数 利用射影定理秒解解三角形问题 65、三角函数 三角形角平分线定理的妙用 66、三角函数 三角形角平分线长公式的妙用 67、三角函数 三角形中线定理及其推论的妙用 68、三角函数 利用测量法估算法速解三角形选择题 69、三角函数 利用公式法速解三角函数平移问题 70、数列 利用公式法速解等差数列an与Sn 71、数列 利用列举法速解数列最值型压轴题 72、数列 用特殊化法巧解单条件等差数列问题 73、数列 等差数列性质及其推论的妙用 74、数列 观察法速解一类数列求和选择题 75、数列 巧用不完全归纳法与猜想法求通项公式 76、数列 代入法速解数列选项含 n 型选择题 77、数列

8、 一些数列选择填空题的解题技巧 78、统计与概率 估算法速解几何概型选择题 79、直线与圆 利用相交弦定理巧解有关圆的问题 80、直线与圆 利用精准作图估算法速解直线与圆选择题 81、直线与圆 利用两圆方程作差的几何意义速解有问题 82、圆锥曲线 利用“阿波罗尼圆”速解一类距离比问题 83、圆锥曲线 用点差法速解有关中点弦问题 84、圆锥曲线 用垂径定理速解中点弦问题 85、圆锥曲线 用中心弦公式定理速解中心弦问题 86、圆锥曲线 焦点弦垂直平分线结论的妙用 87、圆锥曲线 利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程 88、圆锥曲线 用公式速解过定点弦中点轨迹问题 89、圆锥曲线 巧用通

9、径公式速解离心率等问题 90、圆锥曲线 巧用三角形关系速求离心率 91、圆锥曲线 构造相似三角形速解离心率 92、圆锥曲线 用平面几何原理巧解圆锥曲线问题 93、圆锥曲线 利用焦点弦公式速解焦点弦比例问题 94、圆锥曲线 利用焦点弦公式速解焦半径与弦长问题 95、圆锥曲线 椭圆焦点三角形面积公式的妙用 96、圆锥曲线 双曲线焦点三角形面积公式的妙用 97、圆锥曲线 离心率与焦点三角形底角公式的妙用 98、圆锥曲线 用离心率与焦点三角形顶角公式速求离心率范围 99、圆锥曲线 用特值法巧解圆锥曲线选填题 100、圆锥曲线 用对称思想速解圆锥曲线问题 3 34 4、平平面面向向量量 三三角角形形四四

10、心心的的向向量量表表示示及及妙妙用用 （一）三角形各心的概念介绍（一）三角形各心的概念介绍 重心三角形的三条中线的交点； 垂心三角形的三条垂线的交点； 内心三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）； 外心三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心） 根据概念,可知各心的特征条件比如：重心将中线长度分成2：1；垂线与对应边的向量积为0；角平分 线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等 （二）三角形各心的向量表示（二）三角形各心的向量表示 O是ABC的重心 OA OB OC 0； O是ABC的垂心 OAOB OBOC OCOA；P是ABC所在平面内任一点,PO

11、 (PAPBPC)O 是ABC的外心|OA|OB|OC | 222 1 3 (或OA OB OC)； O是ABC的内心OA( BC | BC | CA |CA| CB |CB | AB AC ) OB( BA | BA| AB| AC| ) OC() 0； aOAbOBcOC 0 或 sinAOAsinBOBsinCOC0 AB AB AC AC ) （ 0）所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)注意：向量( 例例 1 1（内心）（内心）(03(03 新课标新课标) )O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP OA ( AB AB AC AC ),0,

12、则P点的轨迹一定通过ABC的（） A外心 B内心 C重心 D垂心 3 【秒解】【秒解】因为 AB AB 是向量AB的单位向量,设AB与AC方向上的单位向量分别为e1和e2,又OP OA AP, 则原式可化为AP (e1e2),由菱形基本性质可知AP平分BAC,那么在ABC中,AP平分BAC,故选 B ABC所在平面上一点,且点P满足a PA b PB c PC 0,则点P为ABC的 例例 2 2（内心）（内心）已知P为P （） B A e1 e2 C A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【秒解】【秒解】PB PA AB,PC PA AC,则aPAbPBcPC(abc)PAbABcAC0,所

13、以 AP bcABACABACABAC (),因为分别为AB,AC方向上的单位向量,所以向量平分BAC,因 a bccbcbcb ABAC 共线,所以AP平分BAC,同理BP平分ABC,CP平分ACB,所以P是ABC的内心,故 cb 为AP与 选 B 例例 3 3（垂心）（垂心）(2005(2005 湖南文湖南文) )P是ABC所在平面上一点,若PAPB PBPC PCPA,则P是ABC的 （） A.外心 B.内心 C.重心D.垂心 【秒解】【秒解】由PAPB PBPC得PAPBPBPC0. 即PB(PA PC) 0,即PBCA 0,则PB CA , 同理PABC,PCAB,故P为ABC的垂心

14、,选 D 例例 4 4（垂心）（垂心）在同一个平面上有ABC及一点O满足关系式：OA BC OB CA OC AB,则O为 ABC的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【秒解】【秒解】D提示：由OA OB CA BC得(OAOB)(OAOB) (CA BC)(CA BC), 即(OAOB)BA (CACB)BA, 2222 222222 BA(OAOBCACB) 2BAOC 0,BAOC, 同理OB CA,OA CB, 故选 D 1 例例 5 5（重心）（重心）P是ABC所在平面内任一点.O是ABC的重心PO (PA PB PC). 3 【秒解】【秒解】PG PA AG PB BG

15、 PC CG 3PG (AG BGCG)(PA PB PC), G是ABC的重心,GAGBGC=0 1 AG BG CG=0,即3PG PA PB PC,由此得PG(PA PB PC).（反之亦然（证略） 3 4 例例 6 6（重心）（重心）（2009 陕西文）在ABC中,M是BC的中点,AM 1,点P在AM上且满足AP 2PM,则 PA(PB PC)等于（ ） A. B. C. D. 4 9 4 3 4 3 4 9 【秒解】【秒解】提示：由AP 2PM知, P为ABC的重心,根据向量的加法,PB PC 2PM ,则PA(PB PC) PA2PM PA AP 24 PA(PB PC) PA2P

16、M PA AP (PA)2 (MA)2 选 D 39 例例 7 7（重心）（重心）已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OPOA(ABAC),则P 的轨迹一定通过ABC的（） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【秒解】【秒解】设BC边中点为D,则有OPOA (AB AC),即AP 2AD 2AD, AP过ABC的重心,选 C 例例 8 8（外心）（外心）O为ABC内一点,| |OA| |OB| |OC|,则O是ABC的（） A.内心 B.外心 C垂心 D重心 【秒解】【秒解】由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等故O是ABC的外心,故选 B 例例 9 9（

17、外心）（外心）在ABC中,动点P满足CA CB 2ABCP,则P点轨迹一定通过ABC的（） 2 2 A.外心 B.内心 C重心 D垂心 【秒解】【秒解】2ABCPCB CA (CBCA)(CBCA) AB(CBCA) 22 CA)(CBCA) AB(CBCA),即2ABCP AB(CB CA), AB(2CPCBCA) AB(BP AP) 0, 以BP,AP为邻边的平行四边形的对角线互相垂直,点P在线段AB的中垂线上,故选 A 例例 1010 （20092009 宁夏海南理）宁夏海南理）已知O, N , P在ABC 所在平面内,且|OA|OB |OC |,NA NB NC 0,且 PAPBPBPCPCPA,点O,N,P依次是ABC的（ ） A重心