高考数学100个热点题型秒解技巧之利用“对称思想”速解不等式最值问题

1、化 难 为 易化 繁 为 简 2019 年 4 月版 秒秒解解高高考考数数学学 1 10 00 0 招招 选择、填空篇 例（例（20162016 山东理山东理 7 7）函数f(x) ( 3sinx cosx)( 3cosx sinx)的最小正周期是( ) 3 A. B. C. D.2 22 【秒解】【秒解】根据口诀：和差不变,积商减半,易知3sinx cosx以及3cosx sinx的周期 均为2,则f(x) ( 3sinx cosx)( 3cosx sinx)的周期为,选B. 四大特色助快速解题 100 个秒解技巧 80 个精妙二级结论 10 年高考真题为例 700 个例题深入剖析 1 目录

2、 CONTENTS 1、集合利用特值逆代法速解集合运算题2 2、集合利用对条件具体化巧解集合运算题 3、集合运用补集运算公式简化集合计算 4、简易逻辑利用韦恩图巧解集合与数量关系题 5、简易逻辑借助数轴法巧解充要条件问题 6、复数利用逆代法、特值法速解含参型复数题 7、复数利用公式速解有关复数的模的问题 8、复数利用结论快速判断复数的商为实数或虚数 9、复数利用公式快速解决一类复数问题 10、三视图柱体和锥体的三视图快速还原技巧 11、三视图利用“三线交点”法巧妙还原直线型三视图 12、不等式利用逆代法巧解求不等式解集问题 13、不等式利用特值法速解比较大小问题 14、不等式利用数轴标根法速解

3、高次不等式 15、不等式用代入法速解 f型不等式选择题 16、不等式利用几何意义与三角不等式速解含有绝对值的不等式 17、不等式利用结论速解含双绝对值函数的最值问题 18、不等式利用“ 1 的代换”巧解不等式中的最值问题 19、不等式利用“对称思想”速解不等式最值问题 20、不等式利用柯西不等式速解最值问题 21、线性规划利用特殊法巧解线性规划问题 22、线性规划高考中常见的线性规划题型完整汇总 23、程序框图程序框图高效格式化解题模式 24、排列组合排列组合 21 种常见题型解题技巧汇总 25、排列组合利用公式法速解相间涂色问题 26、排列组合速解排列组合之最短路径技巧 27、二项式定理二项

4、式定理常见题型大汇总 28、二项式定理利用公式速解三项型二项式指定项问题 29、平面向量特殊化法速解平面向量问题 30、平面向量利用三个法则作图法速求平面向量问题 31、平面向量三点共线定理及其推论的妙用 32、平面向量平面向量等和线定理的妙用 33、平面向量向量中的“奔驰定理”的妙用 34、平面向量三角形四心的向量表示及妙用 35、平面向量利用极化恒等式速解向量内积范围问题 36、空间几何利用折叠角公式速求线线角 37、空间几何求体积的万能公式：拟柱体公式 38、空间几何空间坐标系中的平面的方程与点到平面的距离公式的妙用 39、空间几何利用空间余弦定理速求异面直线所成角 40、空间几何利用公

5、式速解空间几何体的外接球半径 41、函数用特值法速解分段函数求范围问题 42、函数数形结合法速解函数的零点与交点问题 2 43、函数数型结合法巧解带 f的函数型不等式 44、函数函数的周期性的重要结论的运用 45、函数利用特值法巧解函数图像与性质问题 46、函数通过解析式判断图像常用解题技巧 47、函数利用结论 速解“奇函数 C ”模型问题 48、函数利用特值法速解与指数、对数有关的大小比较问题 49、函数巧用耐克函数求解函数与不等式问题 50、函数利用对数函数绝对值性质速解范围问题 51、函数巧用原型函数解决抽象函数问题 52、函数构造特殊函数巧解函数问题 53、导数特殊化与构造方法巧解导数

6、型抽象函数问题 54、导数极端估算法速解与导数有关选择题 55、导数用母函数代入法巧解函数、导数中求范围问题 56、导数隐函数求导在函数与圆锥曲线切线问题中的妙用 57、三角函数利用口诀巧记诱导公式及其运用 58、三角函数利用结论速求三角函数周期问题 59、三角函数巧用特值法、估算法解三角函数图像问题 60、三角函数海伦公式及其推论在求面积中的妙用 61、三角函数借助直角三角形巧妙转换弦与切 62、三角函数特殊技巧在三角变换与解三角形问题中的运用 63、三角函数齐次式中弦切互化技巧 64、三角函数利用射影定理秒解解三角形问题 65、三角函数三角形角平分线定理的妙用 66、三角函数三角形角平分线

7、长公式的妙用 67、三角函数三角形中线定理及其推论的妙用 68、三角函数利用测量法估算法速解三角形选择题 69、三角函数利用公式法速解三角函数平移问题 70、数列利用公式法速解等差数列an与Sn 71、数列利用列举法速解数列最值型压轴题 72、数列用特殊化法巧解单条件等差数列问题 73、数列等差数列性质及其推论的妙用 74、数列观察法速解一类数列求和选择题 75、数列巧用不完全归纳法与猜想法求通项公式 76、数列代入法速解数列选项含 n 型选择题 77、数列一些数列选择填空题的解题技巧 78、统计与概率估算法速解几何概型选择题 79、直线与圆利用相交弦定理巧解有关圆的问题 80、直线与圆利用精

8、准作图估算法速解直线与圆选择题 81、直线与圆利用两圆方程作差的几何意义速解有问题 82、圆锥曲线利用“阿波罗尼圆”速解一类距离比问题 83、圆锥曲线用点差法速解有关中点弦问题 84、圆锥曲线用垂径定理速解中点弦问题 85、圆锥曲线用中心弦公式定理速解中心弦问题 86、圆锥曲线焦点弦垂直平分线结论的妙用 87、圆锥曲线利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程 88、圆锥曲线用公式速解过定点弦中点轨迹问题 89、圆锥曲线巧用通径公式速解离心率等问题 90、圆锥曲线巧用三角形关系速求离心率 91、圆锥曲线构造相似三角形速解离心率 92、圆锥曲线用平面几何原理巧解圆锥曲线问题 93、圆锥曲线

9、利用焦点弦公式速解焦点弦比例问题 94、圆锥曲线利用焦点弦公式速解焦半径与弦长问题 95、圆锥曲线椭圆焦点三角形面积公式的妙用 96、圆锥曲线双曲线焦点三角形面积公式的妙用 97、圆锥曲线离心率与焦点三角形底角公式的妙用 98、圆锥曲线用离心率与焦点三角形顶角公式速求离心率范围 99、圆锥曲线用特值法巧解圆锥曲线选填题 100、圆锥曲线用对称思想速解圆锥曲线问题 1 1 9 9 、不不等等式式利利用用“对对称称思思想想”速速解解不不等等式式最最值值问问题题 在高考的选择题、填空题中,常会遇到不等式最值问题,用对称思想解决最值问题.这种方法简单有 效,可以解决绝大数不等式最值问题. 什么叫做对称

10、式？什么叫做对称式？ 如果把一个代数式中的任意字母对调,所得的代数式与原来的代数式恒相等,那么就说原来的代数式关于这 些字母成对称,问题 (条件和结论 )中的地位相同,作用一样 .原来的代数式就是关于这些字母的对称式. 例 如：(1)xy,x y,xy ,xxyy ,x 2222 11 y; (2) 在ABC 中,对于 A 来说,b和c是相互对称 xy 的,所以在结论cosA bca 中b和c也是相互对称的 . 解题方法解题方法 两个 (多个 ) 元素在问题中相互对称时,就 没有充分理由认为这些元素中的某个元素比其他的元素的作 用 大或小,地位高或低,它们对结论的贡献应是相等的,地位应 是相同

11、的,谁也无特权,故诸元素均相等时,问 题达到最优化 . 这种“ 一视同仁 ”地 、“ 公正 ” 地看待某些对象的“ 非充分 理由 ”原理,用来监控对称问题的结 论是很有效的,即条件和研究对象的形式是对称的,结论也应该符合对称的要求,否则可判断结论或者不完整, 或者就是根本错误的 . 对称思想告诉我们:没有充分理由区别的,可能是不必区别的 . 对称的原因必然导致对称的结果,对称的条件必能得出对 称的结论 . 利用诸对称元素相等时,问题达到最 优化(取某个最值 ),是速解高考客观题中的最值问题的一种极为有效的策略和方法,是对称思想用于指导解 题的具体体现 . 发现或构造对称, 并利用对称原理解题,

12、是解题者对称思想成熟的标志! 最后,需要说明的是,在问题中具有相互对称性的诸元素相等是问题取得最值的充分不必要条件 . 例如,若 222 x,y0, 1,xy1,则当 xy 1 时,xy取得最大值;当x 0,y1,或 x1,y0时, xy 取得 4 2 最小值 0. 但即便如此,它仍然是解决高考客观题中的最值问题的一种极为简便的方法, 也是猜测、估计解答 题中最值问题的结论,并变求解题为证明 题的有效措施和手段 . 应用举例应用举例 （1 1）诸元素均相互对称）诸元素均相互对称 1 11 aba0,b033 3 例例 1 1 (2009(2009 天津理天津理 6)6) 设,若是与的等比中项,

13、则的最小值为 ( ) ab 3 A.8 B.4 C.1 D. 1 4 【秒解】【秒解】由题设得 3 2 3a3b3a b ,所以ab1将a、b看成是此问题的两个元素,它们对换时 11 取得最小 ab 问题不变,说明它们在此问题中是相互对称的.即本题中a、b的地位相同,所以a、b对于 值的作用和地位应当相同,谁也无权比另一个大. 因此,当a b 例例 2(20072(2007 重庆理重庆理 7)7) 若a是12b与12b的等比中项,则 111 时,取得最小值 4,选 B. ab2 2ab 的最大值为 ( ) |a | 2 |b | A. 2 5252 B. C. D. 15452 2222 【秒

14、解】【秒解】因为a是12b与12b的等比中项,所以 a1 4b ,即a 4b1. 以下虽然可以利用三角 代换或基本不等式求解,但均需用配凑等技巧,是对大多数考生思维的挑战,是大多数考生所想不到的,更何况 接下来,不是求导,就是放缩. 显然,这样解一道选择题是不经济的,这促使我们想有没有更好的、更经济的解 法呢?如果我们能把 a4b1和2ab分别看成是a2b1和 222 2 a(2b) ,那么条件式和求解式中的 |a | 2|b| a和2b 具有对称性,即元素a和2b在此问题中是相互对称的,当 a(2b) 取得最大值时,就没有充分理由 |a | 2|b| 认为 a比2b大或小,它们对取最 (极

15、)值的贡献是相等的,地位是相同的,故当a2b,即当 a2b 2 时,2ab取得最大值,选 B . 2 例例 3(20093(2009 重庆文重庆文 7 )7 ) 已知 a0,b0,则 11 2 ab的最小值是 ( ) . ab A.2 B.2 2 C. 4 D. 5 【秒解】【秒解】a与b对称,则ab时 111111 2 ab取最值,此时2 ab2 a a ababaa 22 2a22a4,选 C. aa 4 例例 4 4（20152015 福建文福建文 5 5）若直线 xy 1( a0,b0) ab x y 1( a 0, b 0)过点(1 ,1),则ab的最小值等于（） a b A.2 B

16、.3 C.4 D.5 【秒解】【秒解】易知 111111 1,ab(ab)(),上式中a与b对称,则ab时(ab)()取最值,此时 ababab 112 (ab)()2a4,选 C. aba xy 11 例例 5(20095(2009 天津文天津文 9 )9 ) 设 x,yR,a1,b1若ab3,ab2 3,则 的最大值为 ( ) xy A. 2 B. 21 C. 1 D. 32 11 取 最 值 , 此 时 xy 【 秒秒 解解 】 在axby3,ab2 3中 a 与b对 称 , 则 当ab时 , 1111 axay3,aa2 3xy2, xy 取最大值 1,选 C. 22 22 例例 6(

17、20116(2011 浙江文浙江文 16 )16 ) 若实数x、y满足 xyxy 1,则xy的最大值是 . 【秒解】【秒解】x2y2xy 1中x与 y 对称,答案： 2 3 . 3 （2 2）只有部分元素相互对称）只有部分元素相互对称 这类问题的解决 ,只需对这些具有对称性的元素 ,使用对称原理,即会使问题化难为易 ,化繁为简,思维 量、运算量大为减小,用时少,速度快 . 例例 1(20061(2006 重庆文重庆文 12 )12 ) 若a,b,c 0,且a2ab2ac4bc12a ,则abc的最小值是 ( ) A.2 3 B.3 C.2 D. 3 【秒解】【秒解】在本题中,无论是在题设中还是

18、结论中,虽然a,b,c不是相互对称的,但是b,c却是相互对称的,即地 位完全相同 ,所以b,c对于abc取得最小值的作用应当相同 ,也无权比另一个大 .因此,当bc时, 22 abc取得最小值.此时,题设式变为12a24ab4b2a2b,待求式恰为a2b,此时 2 a2b2 3,选 A . 5 例例 2(20062(2006 重庆理重庆理 10)10) 若a,b,c 0,且a a bcbc42 3,则2a bc的最小值是( ) A. 31 B.31 C.2 3 2 D.2 32 【秒解】【秒解】在本题中,无论是在题设还是结论中,虽然 a,b,c 不是相互对称的,但是b,c却是相互对称的,即地

19、位完全相同,所以b,c对于2abc取得最小值的作用应当相同 ,谁也无权比另一个大 . 因此,当bc时, 2abc取得最小.此时,题设式变为42 3a22abb2ab , 待求式2abc恰为2 a b ,此 2 时a b31,选 D . （3 3）元素不对称）元素不对称 有些元素不对称问题,可以根据问题的特点,通过配凑、恒等变形等手段,使 “ 新元素 ” 具有对称性,进 而再利用对称 思想求解 . 这是掌握了对称思想的标志和表现之一 . 例例 1(20101(2010 山东文山东文 14 )14 ) 已知x,yR, 且满足 xy 1,则 xy 的最大值为( ) . 34 【秒解】【秒解】如果能把

20、 xyx yxy 1和xy综合起来看成是1和12 ,那么条件式和求解式中的x和y具 34343 4 x y 取得最大值时,就没有充分理由认为x 3 4 有对称性,即元素x和y在此问题中是相互对称的,当 xy ,即12 x yx y xy1 12 =3 ,即xy取得最大 12 比y大或小,它们对 xy ,即取最(极 )值的贡献相等,故当时, 3 43 4 342 值 3. 例例 2(20082(2008 江苏江苏 11 )11 )设x,y,z R y2 ,满足 x2y3z0 则的最小值是 . xz 【秒解】【秒解】题中,无论是在题设中还是结论中,虽然x、y、z不是相互对称的,但是如果我们能把 x

21、 2y 3z 0 3y2y2 和综合起来看成是 x3z2y和 ,则条件式和求解式中的x和3z是相互对称的,当x 3z,即当 xzx 3z 3y2y2 取最小值 3. x 3z y时, xzx 3z 例例 3(20073(2007 山东理山东理 16)16) 函数y log a x 3 1,a 0,a 1 6 log a x 31,a 0,a 1的图象恒过定点A,若点A在直线mxny 1 0上,其中mn0则 【秒解】【秒解】易知定点 A 为 2, 1 ,所以2m n1 又因为mn 12 的最小值为 . mn 0,所以m0,n0 .若用对称思想,则由 2mn1和 1222 知,元素 2m 与n在此

22、问题中是相互对称的,地位相同 ,所以当且仅当 mn2mn 1 时, 12 取最小值 8. 2mn mn 2 例例 4(20104(2010 浙江文浙江文) ) 若正实数x、y满足 2xy 6xy,则xy的最小值是 . 【秒解】【秒解】 在本题中 ,虽然x、y不相互对称 ,但是如果我们能把 2xy 6xy和xy 综合起来看成是 1 1 (2x)y,那么条件式和求解式中的2x和 y 是相互对称的,故当2xy,即当和2xy 62x y 2 2 2xy6时, xy 1 2x y取得最小值 18. 2 例例 5(20115(2011 浙江理浙江理 16)16) 设x、y为实数,若4x2 y2xy 1,则2xy 的最大值是 . 2 【秒解】【秒解】 本题中,虽然x、y不相互对称 ,但是如果我们能把 4x 2 2 y2xy 1和2xy综合起来看成是 是相互对称的 ,当2x 11 和2xy2x y1 2 (2x)y,那么条件式和求解式中的2x和y 2 y 即当 10 时,2x y取得最大值 2 10 .2xy 5 5 例例 6(20106(2010 重庆理重庆理 7)7) 已知x 0,y0,x2y2xy8,则x2y的最小值是 ( ) . A.