数学奥林匹克初中训练题(1-7)

1、数学奥林匹克初中训练题1这是我辛辛苦苦做出来的！第一试一、选择题(每小题7分，共42分)1.设，且x、y、z为有理数.则xyz=( ).(A)34 (B)56 (C)712 (D)13182.设二次函数f(x)=ax2+ax+1的图像开口向下，且满足f(f(1)=f(3).则2a的值为( ).(A)-3 (B)-5 (C)-7 (D)-93.方程|xy|+|x+y|=1的整数解的组数为( ).(A)2 (B)4 (C)6 (D)84.a、b是方程x2+(m-5)x+7=0的两个根.则(a2+ma+7)(b2+mb+7)=( ).(A)365 (B)245 (C)210 (D)1755.如图，R

2、tABC的斜边BC=4，ABC=30，以AB、AC为直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为( ) (A) (B) (C) (D) 6.从1，2，13中取出k个不同的数，使这k个数中任两个数之差既不等于5，也不等于8.则k的最大值为( ).(A)5 (B)6 (C)7 (D)8二、填空题(每小题7分，共28分)1.若整系数一元二次方程x2+(a+3)x+2a+3=0有一正根x1和一负根x2，且|x1|7.则ABC的面积为 .第二试一、(20分)解方程:(12x+5)2(6x-1)(x+1)=.二、(25分)如图，四边形ABCD中，ACB=ADB=90，自对角线AC、BD的交点N作NMAB于点M，

3、线段AC、MD交于点E，BD、MC交于点F，P是线段EF上的任意一点.证明:点P到线段CD的距离等于点P到线段MC、MD的距离之和. 三、(25分)矩形玻璃台板碎裂成一些小玻璃片，每块碎片都是凸多边形，将其重新粘合成原矩形后，有交结点30个，其中20个点在原矩形的周界上(包括原矩形的四个顶点)，其余10个点在矩形内部.在矩形的内部有45条粘缝(两个结点之间的线段算是一条粘缝，如图所示).试求该矩形台板所碎裂成的各种类型(指三角形、四边形、五边形等)的块数.说明:若凸多边形的周界上有n个点，就将其看成n边形,例如,图中的多边形ABCDE要看成五边形.数学奥林匹克初中训练题1参考答案第一试 1.A

4、.两边平方得3+ +=x+y+z+2+2+2.根据有理数x、y、z的对称性,可考虑方程组x+y+z=3,2= ,2=,2= .解得x=1,y=12,z=32.此时,xyz=3/4.2.B.注意到f(1)=2a+1,f(3)=12a+1,f(f(1)=a(2a+1)2+a(2a+1)+1.由f(f(1)=f(3),得(2a+1)2+(2a+1)=12.所以,2a+1=3或-4.因a0,即(a+3)24(2a+3).解得a3或a-1.又由题设条件知,方程的两根和与积皆负,即-(a+3)0,2a+3-3,a-3/2,即-3a-3/2.而a为整数,则a=-2.2. . x=是方程x2+3x-5=0的根

5、,3.73.记x+y=a2,y=b2,则1ba100.而x=a2-b2=(a+b)(a-b)100,因a+b、a-b同奇偶,故a+b(a-b)+2.(1)若a-b=1,则a+b为奇数,且3a+b99.于是,a+b可取3,5,7,99,共49个值,这时,相应的x也可取这49个值.(2)若a-b=2,则a+b为偶数,且4a+b50.于是,a+b可取4,6,8,50,共24个值,这时,相应的x可取8,12,16,100这24个值.其他情况下所得的x值均属于以上情形.若a-b=奇数,则a+b=奇数.而x=a2-b2a+b3,归入(1).若a-b=偶数,则a+b=偶数.而x=(a-b)(a+b)为4的倍

6、数,且a-b2,a+b4,故x8,归入(2).因此,这种x共有49+24=73个.4.168.注意到AB2=(2a)2+482,BC2=(a+7)2+242,AC2=(a-7)2+242.如图,以AB为斜边,向ABC一侧作直角ABD,使BD=2a,AD=48,ADB=90.在BD上取点E,使BE=a+7,ED=a-7,又取AD的中点F,作矩形EDFC1.因BC21=BE2+EC21=(a+7)2+242=BC2,AC21=C1F2+AF2=(a-7)2+242=AC2,故点C与点C1重合.而SABD=48a,SCBD=24a,SACD=24(a-7),则SABC=SABD-SCBD-SACD=

7、168.第二试一、将原方程变形得(12x+5)2(12x-2)(12x+12)=660.令12x+5=t,则t2(t-7)(t+7)=660,即t4-49t2=660.解得t2=60或t2=-11(舍去).由此得t=2 15,即有12x+5=2.因此,原方程的根为x1,2=.二、如图,易知A、B、C、D四点共圆,B、C、N、M四点共圆,因此,ACD=ABD=MCN.故AC平分DCM.同理,BD平分CDM.如图,设PHMC于点H,PGMD于点G,PTCD于点T;过点P作XYMC,交MD于点X,交AC于点Y;过点Y作YZCD,交MD于点Z,交PT于点R;再作YH1MC于点H1,YT1CD于点T1.

8、由平行线及角平分线的性质得PH=YH1=YT1=RT.为证PT=PG+PH,只须证PR=PG.由平行线的比例性质得EPEF=EYEC=EZED.因此,ZPDF.由于XYZ与MCD的对应边分别平行,且DF平分MDC,故ZP是XZY的平分线.从而,PR=PG.因此,所证结论成立.三、设全部碎片中,共有三角形a3个,四边形a4个,k边形ak个(a3,a4,ak为非负整数).记这些多边形的内角和为S角,于是,S角=a3+a42+ak(k-2).另一方面,矩形内部有10个结点,对于每个点,围绕它的多边形顶角和为2,10个内结点共获得102弧度;矩形边界上(不含4个顶点)共有16个结点,在每个这种结点处,

9、各多边形的顶角在此汇合成一个平角,16个这种结点共获得16弧度;而原矩形的4个顶点处,共获得多边形碎片的2弧度.因此,S角=20+16+2=38.于是,a3+2a4+(k-2)ak=38.记这些多边形的边数和为S边.由于每个n边形有n条边,则S边=3a3+4a4+kak.另一方面,在矩形内部的45条粘缝,每条都是两个多边形的公共边,故都计算了两次;矩形周界上的20条线段各被计算了一次,因此,S边=245+20=110.于是,3a3+4a4+kak=110. -得2(a3+a4+ak)=72.故a3+a4+ak=36. -得a4+2a5+3a6+(k-3)ak=2.因所有aiN,故a6=a7=a

10、k=0,a4+2a5=2.所以,或者a4=2,a5=0;或者a4=0,a5=1.综上,本题的解共有两种情况,即全部碎片共36块,其中,或含有34个三角形,2个四边形;或含有35个三角形，1个五边形.数学奥林匹克初中训练题2第一试一、选择题(每小题7分,共42分)1.若x、y、z均为实数,且满足,则x、y、z的取值情况是( ).(A)全为正数 (B)全为非负数 (C)全为负数 (D)有且仅有一个为零2.如图,在钝角ABC中,BC=1,A=30,D为边BC的中点,G为ABC的重心.若B、C为定点,当点A运动时,线段GD长度的取值范围是( ). (A)0GD (B)GD (C)00)与直线y=k(x

11、-1)-.无论k取任何实数,此抛物线与直线都只有一个公共点.那么,抛物线的解析式是( ).(A)y=x2 (B)y=x2-2x (C)y=x2-2x+1 (D)y=2x2-4x+25.若x为实数,记x=x-x(x表示不超过x的最大整数),则方程2006x+x=的实根的个数是( ).(A)0 (B)1 (C)2 (D)大于2的整数6.如图,正方形ABCD内接于O,P为劣弧CD上一点,PA交BD于点M,PB交AC于点N,记PAC=.若MNPA,则2cos2-tan的值等于( ). (A)1 (B)2 (C)12 (D)4二、填空题(每小题7分,共28分)1.已知x、y为实数,且满足(x+)(y+)

12、=2 008.则x2-3xy-4y2-6x-6y+2 008的值等于 .2.设实数a、b、c满足a+b+c=0,abc=2.则u=|a|3+|b|3+|c|3的最小值为 .3.在直角坐标平面内,已知A(- ,0)、B( ,0),点P在直线y=(x+4)+1上运动.当APB最大时,的值为 .4.设RtABC的三边长分别为a、b、c,且abn,2006m2+m=2 007n2+n.问m-n是否为完全平方数?并证明你的结论.二、(25分)如图,在梯形ABCD中,ABCD,AD=12,E是边CD上一点,且.设过A、B、C、E四点的O1的半径为R1,过A、C、D三点的O2的半径为R2,且边BC与O2相切

13、.(1)求边CD的长;(2)求的取值范围.三、(25分)求实数a的值,使得函数f(x)=(x+a)(|x-a+1|+|x-3|)-2x+4a的图像为中心对称图形.数学奥林匹克初中训练题2参考答案第一试 一、1.D.显然,(x+y)(y+z)(z+x)0.去分母得xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)=(x+y)(y+z)(z+x).化简整理得xyz=0.所以,x、y、z中至少有一个为零.若x、y、z中有两个或三个为零,则x+y、y+z、z+x中至少有一个为零,等式无意义.故x、y、z中有且仅有一个为零.2.B.因为A= 30,且ABC为钝角三角形,所以,点A在如图所示的不含端点的弧A1

14、B、弧A2C上(其中,A1BBC,A2CBC).设G1为RtA1BC的重心,则BDGDG1D.易知A1B= ,则G1D=A1D=.又BD=1/6,所以,1/6GD.3.A.若a+b为斜边长,则(a+b)2=(a+5)2+(b-2)2,即 2(ab-5a+2b)=29.上式左边为偶数,右边为奇数,矛盾.若a+5为斜边长,则(a+5)2=(a+b)2+(b-2)2,即 2(5a-ab-b2+2b)=-21.矛盾.若b-2为斜边长,则(b-2)2=(a+b)2+(a+5)2,即 2(a2+ab+5a+2b)=-21.矛盾.故满足条件的正整数对(a,b)不存在.4.C.由y=ax2+bx+c,y=k(

15、x-1)-k2/4得ax2+(b-k)x+c+k+k2/4=0.由题设知,方程有两个相等的实根,则=(b-k)2-4a( c+k+k2/4)=0,即 (1-a)k2-2(2a+b)k+b2-4ac=0.因为k为任意实数,所以,抛物线的解析式为y=x2-2x+1.5.C.因为x=x+x,所以,原方程可化为2 006x+2 007x=1/2 007.又02 007x2 007,所以,x=-1或x=0.若x=-1,则x=1-0、b0、c0.因为b+c=-a,bc=2/a,所以,b、c为方程x2+ax+2/a=0的两个负根.于是,有=a2-8/a0.解得a38.故u=a3-b3-c3=a3-(b+c)

16、(b+c)2-3bc=a3+a (a2-6/a)=2a3-628-6=10.当且仅当a3=8,即a=2时,上式等号成立.此时,b=c=-1.因此,u的最小值为10.3. -1.如图,设直线与x轴的交点为M.由平面几何知识即知,要使APB最大,则过A、B、P三点的圆必和直线相切于点P.因为MPA=MBP,所以,MPAMBP.则有PA/PB=MP/MB.又由切割线定理得MP2=MAMB.故PA/PB= =MA/MB.因M(-4- ,0)、A(-,0)、B(,0),所以,MA=4,MB=4+2.故PA/PB=-1.4.8:15:17因为c2-a2=b2,c2-b2=a2,所以,又ab= (a+b+c

17、)(a+b-c),所以, ,即17(a+b)=23c.两边平方得289(a2+2ab+b2)=529c2=529(a2+b2).整理得(15a-8b)(8a-15b)=0.所以,a/b=8/15或a/b=15/8.又82+152=172,且abc,故abc=81517.第二试一、m-n为完全平方数.证明如下:设m=n+k(k为正整数).代入2 006m2+m=2 007n2+n,得n2-22 006kn-(2 006k2+k)=0.因为n为正整数,所以,=4(2 006k)2+4(2 006k2+k)为完全平方数.故/4=k(2 0062+2 006)k+1为完全平方数.又因(k,(2 006

18、2+2 006)k+1)=1,所以,k与(2 0062+2006)k+1均为完全平方数.故m-n为完全平方数.二、(1)因为BC是O2的切线,所以,ACB=CDA.又ABCD,则BAC=ACD.所以,ABCCAD.从而,ABC=CAD.故AD是O1的切线.由切割线定理得AD2=DEDC.则122=DC2.解得CD=18.(2)由(1)知,ABCCAD,CD=18.所以, R1/R2=AC/CD,即R1/R2=AC/18.因为6=CD-ADACCD+AD=30,所以,1/3 R1/R25/3.又ACCD(否则,四边形ABCD为平行四边形),所以,R1R21.故R1R2的取值范围是1/3 R1/R

19、25/3,且R1R21.三、为叙述方便,用maxa1,a2,an、mina1,a2,an分别表示a1,a2,an中的最大数和最小数.当xmina-1,3时,有f(x)=(x+a)(-2x+a+2)-2x+4a=-2x2-ax+a2+6a.当xmaxa-1,3时,有f(x)=(x+a)(2x-a-2)-2x+4a=2x2+(a-4)x-a2+2a.当mina-1,3xV2V3).这三个圆柱型容器M、N、P可以拼成六个不同形状的容器(将三个容器从上至下依次拼接为PNM、NPM、PMN、MPN、NMP、MNP)，其容积为M、N、P的容积之和.现向这6个容器均匀注水，注水速度相同，直至注满为止.其中有

20、三个容器的水深h(cm)与注水时间t(s)的变化规律如图7、8、9所示. (1)图7、8、9所反映的规律分别是这6个容器中的哪一个?(2)求h1、h2、h3的值及S1S2S3的比值;(3)若V3=cm3，注水速度为cm3s，其中m、n为常数，求M、P、N这三个容器的容积之和.二、(25分)如图10，两条平行线l1、l2之间的距离为6，l1、l2间有一半径为1的定圆O切直线l2于点A，P是直线l1上一动点.过P作O的两条切线PB、PC，切点分别为B、C，分别交直线l2于点M、N.试问AMAN是一个定值吗?若是，求出该定值;若不是，说明理由.三、(25分)已知k为常数，关于x的一元二次方程(k2-

21、2k)x2+(4-6k)x+8=0的解都是整数.求k的值.数学奥林匹克初中训练题3参考答案第一试 一、1.D.(1)当m=-5，n2时，单项式2x5yn-2与0的和2x5yn-2还是单项式.此时，m+n可为大于-3的所有整数，故命题错.(2)当M=x6+1，N=x3+1时，M-N2=-2x3.而-2x3是三次单项式，故命题错.(3)当m=0时，x=0使得(-x)2m-2和x6m-1无意义，此时，x=0不是原方程的解，故命题错.(4)当DN在DEF的内部时(如图11).易证RtAMCRtDNF.所以，DFE=ACM=BAC+ABC=75.故命题错.2.B.设AM=x.易证ABMCNB.所以，AB

22、/CN=AM/CB，即1/CN=x/1，亦即CN=1/x.故MN=AM+AC+CN=3.A.题设等式化为4(ab+1)(ac+1)+(ab-ac)2=0，即 (ab+ac)2+4(ab+ac)+4=0，亦即(ab+ac)+22=0.故ab+ac=-2.4.B.如图，延长AC至点F，使CF=AD.联结BF，过点C作CGAB交BF于点G，联结DG、AG.因为AC=DB，CF=AD，所以，AC+CF=DB+AD，即AF=AB又BAC=60，所以，ABF为等边三角形.故AF=BF，F=60.因为CGAB，所以，CFG为等边三角形.故CF=FG=CG.易知AGFBCF，有AG=BC=18.又CG平行且相

23、等 AD，故四边形ACGD是平行四边形.因此，CD与AG互相平分，即E为AG的中点.故AE= AG= 18=9.5.D.设x=1/a+1/b+1/c+1/d，2 005a3=2 006b3=2 007c3=2 008d3=k3.显然，a、b、c、d、k同号且不为零，则由已知的第二个等式得于是，有=x.所以，x=0，x=-1，x=1.因a、b、c、d同号，则x0.故x=a-1+b-1+c-1+d-1=1.6.C.设点P的坐标为(x0，y0)，矩形OMPN的面积为S.则x00，y00，S=x0y0.因为点P(x0，y0)在y=2kx+3-4k上，所以，y0=2kx0+3-4k.故S=x0(2kx0

24、+3-4k)=2kx20+(3-4k)x0.因此，S最大=，即16k2-(24-8S最大)k+9=0.因为k为实数，则有=-(24-8S最大)2-41690.故|24-8S最大|24.解得S最大6或S最大0(舍去).当S最大=6时，k=-3/4.二、1.7/3.延长AC至点E，使CE=CD，联结DE.则有E=CDE=ACD=B.因为AD是BAC的平分线，则BAD=EAD，AB/BD=AC/CD.所以，ABDAED.故AB=AE=AC+CE=AC+CD.因为AB=a2-4b+4，AC=8c-27-2b2，CD=9+4a-c2，则a2-4b+4=(8c-27-2b2)+(9+4a-c2)，即 (a

25、-2)2+2(b-1)2+(c-4)2=0.所以，a=2，b=1，c=4.从而，AB=4，AC=3，CD=1.易知BD=4/3，因此，BC=BD+CD=7/3.2.-1.由式得(-b)+(a+c+1)=8.由式得(a+c+1)(-b)=c2+16.所以，a+c+1、-b是方程x2-8x+c2+16=0的两个根.于是，有=(-8)2-4(c2+16)0.从而，c20.易知c=0.进而x1=x2=4，即a+c+1=4，-b=4，亦即a=3，b=-4.故(a-1-b-1)abc(a+b+c)a+b+c=(3-1+4-1)03+(-4)+03-4+0=-1.3.120.如图，联结AG、BF、FG，过点

26、E作EPFG于点P.设AB=2a，则CD= AB=2 a.因为OA=AD，G是OD的中点，于是，AGOD.所以，AGB=90.同理，AFB=90.因此，A、B、F、G四点共圆，其直径为AB、圆心为E.又F、G分别是OC、OD的中点，所以，FG=CD= 3a=2asinFEG.故FEG=60，FEG=120.4.(5/3，0) .如图，联结OE，过点F作FPOE交AB于点P，联结EP交OF于点G.因OEPF，则SOEF=SOEP.故SOEF-SOEG=SOEP-SOEG，即 SEFG=SOGP.所以，EP为水渠取直路线，点P即为所求.易求直线OE的解析式为y=3x.因为OEPF，于是，直线PF的

27、解析式可设为y=3x+b.又F(3，4)，则有4=33+b，即b=-5.所以，直线PF的解析式为y=3x-5.当y=0时，3x-5=0，x=5/3.因此，点P的坐标为(5/3，0) .第二试一、(1)从图7知注满M、N、P三个容器共需60 s，从图8知注满M、N、P三个容器中的两个容器需要54 s，于是，注满图8所示的容器的最上面一个容器需要60-54=6(s).同理，注满图9所示的容器的最上面一个容器需要60-24=36(s).由此可知，注满第三个容器需要60-6-36=18(s).因为注水速度一定，且V1V2V3，所以，注满M、N、P三个容器分别需要36 s、18 s、6 s.因此，图7、

28、8、9所反映的规律分别是NPM、PMN、MNP三种形式的容器.(2)设注水速度为Vcm3s.由图7、8、9及第(1)问的结果知h1+h3=24，h2+h1=30，h2+h3=18;V1+V2+V3=60V，V2+V1=54V，V3+V2=24V.解得h1=18，h2=12，h3=6;V1=36V，V2=18V，V3=6V.所以，S1=V1/h1=36V/18=2V，S2=V2h2=18V/12=32V，S3=V3h3=6V/6=V.故S1S2S3=2V32VV=432.(3)因为m2+4m+4.125=(m+2)2+0.125，所以，当m= -2时，m2+4m+4.125的最小值为0.125.

29、因此，V372.因注水速度V=，即n2+(6-V)n+(45-3V)=0，故=(6-V)2-41(45-3V)0.从而，V12或V-12(舍去).当n=3时，V的最小值为12.由(2)知，V3=6V.又V372，6V72，则V3=6V=72.此时，m=-2，n=3.于是，V=12.故V1+V2+V3=60V=6012=720(cm3).因此，所求的容积之和为720 cm3.二、如图，过点P作PDl2于点D，联结OA、OB、OC、OM、ON、OP.则PD=6，OA=OB=OC=1.设AM=m，AN=n，PC=p，DN=x，则DM=m+n-x.由题意知，O是PMN的内切圆，所以，BM=AM=m，C

30、N=AN=n，PB=PC=p;OAMN，OBPM，OCPN.又SPMN=SOMN+SONP+SOPM=MNOA+PNOC+PMOB= (MN+PN+PM)=m+n+p，SPMN=MNPD=3(m+n)，则m+n+p=3(m+n).故p=2m+2n.在RtPDN和RtPDM中，由勾股定理得PD2+DN2=PN2，PD2+MD2=PM2，即 62+x2=(p+n)2， 62+(m+n-x)2=(m+p)2. -得(m+n)(2x-m-n)=(n-m)(m+n+2p)=5(n-m)(m+n)，即 x=3n-2m.把式代入式得36+(3n-2m)2=(2m+3n)2，即 36=24mn.从而，mn=1

31、.5，即AMAN=1.5.因此，AMAN为定值，且定值为1.5.三、当k=0时，原方程化为4x+8=0，解得x=-2.故当k=0时，原方程的解都是整数.当k=2时，原方程化为-8x+8=0，解得x=1.故当k=2时，原方程的解都是整数.当k0或2时，原方程化为(kx-2)(k-2)x-4=0.解得x1=2/k，x2=.由x1=2/k，得k=2/x1.把k=2/x1代入x2=中，得x1x2+2x1-x2=0.故(x1-1)(x2+2)=-2=1(-2)=2(-1).因为x1、x2为整数，所以，x1-1、x2+2也均为整数.于是，有x1-1=1，x2+2=-2 或x1-1=-2，x2+2=1或x1

32、-1=2，x2+2=-1 或x1-1=-1，x2+2=2.分别解得x1=2，x2=-4或x1=-1，x2=-1或x1=3，x2=-3或x1=0，x2=0(舍去).故k=1，-2，2/3.综上，k的值为-2，0，1，2或2/3.数学奥林匹克初中训练题(四)第 一 试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.在(是大于3的整数)这5个数中,分数的个数为: (A)2 (B)3 (C)4 (D)5( )2.如图1,正方形ABCD的面积为256,点F在AD上,点E在AB的延长线上,RtCEF的面积为200,则BE的长为:(A)10 (B)11 (C)12 (D)15 ( )3.已知均为整数,且满足

33、.则以为根的一元二次方程是:(A) (B)(C) (D)( )4.如图2,在RtABC中,AF是高,BAC=90O,且 BD=DC=FC=1,则AC为:(A) (B) (C) (D) ( )5.若,则的值为:(A)1 (B)2 (C)3 (D)非上述答案( )6.设,则的最大值是:(A) (B)18 (C)20 (D)不存在二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.方程的实数根是 . 2.如图3,矩形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点,且 ,则= .3.已知二次函数(为常数).当时,当为任意实数时,都有.则抛物线的顶点到原点的距离为 .4.如图4,半径为,圆心角为90O的扇形OAB的上有

34、一运动的点P.从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设OPH的内心为I,当点P在上从点A运动到点B时,内心I所经过的路径长为 . 第 二 试一.(20分)在一个面积为1的正方形中构造一个如下的小正方形;将单位正方形的各边等分,然后将每个顶点和它相对应顶点最接近的分点连结起来,如图5所示.若小正方形的面积恰为,求的值. 二.(25分)一条笔直的公路穿过草原,公路边有一卫生站A,距公路的地方有一居民点B,A,B之间的距离为.一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是,在草地上行驶的最快速度是.问司机应以怎样的路线行驶,所用的行车时间最短?最短时间是多少?三.(

35、25分)从1，2，3，3919中任取2001个数。证明：一定存在两个数之差恰好为98。数学奥林匹克初中训练题5第一试一、选择题(每小题7分，共42分)1.若方程x2-3x+1=0的两根也是程x4-px2+q=0的根，则(p+q)2008的个位数字是( ).(A)2 (B)4 (C)6 (D)82.函数y= (其中，a、b为非零常数)取得最大值的条件是( ).(A)a2-4b0 (B)a2-4b0(C)a2-4bBC，I是内心.现给出三条路线:IACBI;ICBAI; IBACI.若记它们的长度分别为l1、l2、l3，则其中最短的是( ).(A)l1 (B)l2 (C)l3 (D)不能确定二、填

36、空题(每小题7分，共28分)1.已知则z-y的值等于 .2.如图，在四边形ABCD中，AB=10，BC=17，CD=13，DA=20，AC=21.则BD= .3.一个三位数xyz(其中，x、y、z互不相等)，将其各个数位的数字重新排列，分别得到的最大数和最小数仍是三位数.若所得到的最大三位数与最小三位数之差是原来的三位数，则这个三位数是 .4.如图，在等腰RtABC(C=90)内取一点P，且AP=AC=a，BP=CP=b(ab).则= .第二试一、(20分)若一直角三角形两直角边的长a、b(ab)均为整数，且满足.试求这个直角三角形的三边长.二、(25分)如图4，已知O与ABC的边AB、AC分

37、别相切于点P、Q，与ABC的外接圆相切于点T.设切点弦PQ的中点为I.求证:IT平分BTC.三、(25分)已知x31+x32+x38-x39的个位数字是1，其中，x1，x2，x9是2 001，2 002，2 009中的九个不同的数，且8x9x1+x2+x8.求x9的值.数学奥林匹克初中训练题5参考答案第一试 一、1.C.2.C.注意到y=.(1)若a2-4b0，则x2+ax+b=0有实根，此时，y无最大值;(2)若a2-4b0，则0y综上，当a2-4bBC，则abc.设AI=x，BI=y，CI=z(易知xyID，即 x+(a-b)y.所以，b+ya+x.同理，c+zb+y.因此，c+zb+ybc)，则最小的三位数是.由于1a9，1b9，1c9，且-=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c)是99的倍数，故所求的三位数xyz也是99的倍数.而是99倍数的三位数只有8个:198，297，396，495，594，693，792，891.经验证知，只有495符合题意.4.由题设知，BPC与CAP互补.如图，延长BP交AC于点K，则PC=PK=b，BK=2b.由PCKACP，知CK=b2/a.又BK2=BC2+CK2，所