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文档简介

1、 引 语思想是客观存在反映于人的意识中经过思维活动而产生的结果。方法是人们为认识世界和改造世界所进行的活动方式、手段的统称。数学思想方法能使人们领悟数学的价值,懂得思考和解决数学问题的根本途径。因此,研究数学思想方法是我们学习科学和应用科学的有效办法。 本文分为两个章节多个小节介绍了构造法的有关知识,第一章主要介绍构造法的相关背景历史。第二章主要介绍的是构造法在数学解题中的应用,本文将通过多个例题阐述如何应用构造法,让大家都了解构造法的神效。关键词:构造法 中学数学 解题应用 目 录 第一章 构造法的背景和历史 1.1 构造法的含义与产生 1.2 构造法的发展 第二章 构造法在中学解题中的应用

2、2.1 构造方程(组)在中学数学解题中的应用 2.2 构造函数在中学数学解题中的应用 2.3 构造数列在中学数学解题中的应用 2.4 构造向量在中学数学解题中的应用 2.5 构造图形在中学数学解题中的应用 2.6 其他构造法在中学数学解题中的应用 小结 参考文献 第一章 构造法的背景和历史1 .1 构造法的含义与产生 昆明到北京,在古代,我们的前辈主要靠骑马,做马车。现今我们有的人会选择乘火车、有的人会选择乘客车、而又得人会选择作飞机。可见在不同的历史时期,都是为了达到同一目的,选择的过程和方法都有着不同。而有一个不可否认的事实是后期的方式方法总是要比前面的先进和便捷。语音是人类出生就拥有的一

3、项技能,它不过是需要后期的磨练才能表达得清楚和理解。构造法的产生就如同人类自己的语音一样伴随着数学科学的产生而出现。它就像人类语音和昆明到北京的交通工具那样服务着数学中的解题和研究,在数学领域占着一个重要的地位。给数学研究带来绚丽辉煌的一面。 什么是构造法呢?所谓构造,就是为达到某一目的,经常会选择某种合理的、让大家能理解的方式去达到目的的途径。数学中的构造法是为了对数学科学的研究和解题方便而应用的一种思想。它能让原来一个复杂的过程简单化。在数学界有许多的数学家都用构造法做过自己研究和解题,如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日、柯西等,都用构造法”解决了许多的数学难题。在对构造法的应用过程中,国内

4、外有许多的研究成果。如西方的和中国的.我国的构造法主要是注重问题的能行性,它对推动中国数学的发展起到了深远的影响.当今的计算机科学,在很大程度上是靠数学来发展的,而这一过程离不开构造性数学.1. 2 构造法的发展 构造法的发展不是单独的在某个地域,它是在整个地球上不同的国度改进和发挥着作用的。犹如当今的航天事业,它不单在中国发展的很好,在西方国家里有着重要的角色。在早期中国的九章算术里就从分的体现出构造法的魅力。而西方数学的几何原本就像九章算术那样也把它用的出神入化。 构造法的发展主要经历了三个重要的阶段。一是直觉数学阶段;二是算法数学阶段;三是现代构造数学阶段。 直觉数学阶段的代表人是19世

5、纪末德国的克隆尼克,他明确提出并强调了能行性,主张没有能行性就不得承认它的存在性。他这样认为“定义应当包括由有限步骤所定义对象的计算方法,而存在性的证明对于要确立其存在的那个量,应当许可计算到任意的精确度。”与克隆尼克一样,彭加勒坚持“所有的定义和证明都必须是构造性的”。 这一阶段中的主要人物还有海丁和魏尔。他们在数学工作中的基本立场是:第一,认为数学的出发点不是集合论,而是自然数论。这就是海丁所说的:“数学开始于自然数及自然数相等概念形成之后。”所以他们不允许一般集合论概念进入数学,而将全部数学都归约为自然数算术和一种利用“展形”建造起来的构造性连续统概念的假定。第二,否认传统逻辑的普遍有效

6、性而重建直觉派逻辑。第三,批判传统数学缺乏构造性,创立具有构造性的“直觉数学”。 布劳威创立直觉数学的想法是“解决集合悖论引起的问题的唯一彻底的方法就是把所有的一般集合论概念都从数学中排除掉,只限于研究那些可以能行的定义或构造的对象”。 他丢弃了许多通用的数学术语,引进各种超数学原理方法,从而使得直觉数学难以让人读懂。同时直觉数学绝对排斥非构造性数学和传统逻辑的错误做法,无法解释后者在一定范围内的应用上的有效性。在这一点上,遭到了绝大多数数学家的反对。所以“对数学家来说,布劳威理论一直是稀奇的古董,而主要为逻辑家们感兴趣”。因而产生了另外几种构造性倾向,不象直觉数学那么走极端,它们的方案是把可

7、容许数学对象的范围限制到某个多少是任意选定的类,而不象直觉数学那样去向传统的证明规则挑战。其中以马尔科夫及其合作者创立的“算法数学”,尤为引人注目。 1967年,比肖泊的书出版以后,宣告了构造法进入“现代构造数学”阶段。从而构造法已发展到了一定的顶端。第二章 构造法在中学数学解题中的应用 数学构造法有两类用途:一用于对经典数学的概念、定理寻找构造性解释。在大多数情况下,猜测经典定理所对应的构造性内容二用于开发构造性数学的新领域,组合数学、计算机科学中所涉及的数学,都是构造性数学的新领域,尤其是图论更是构造数学发展的典型领域之一。因为图的定义就是构造性的,同时图的许多应用问题,如计算机网络,程序

8、的框图,分式的表达式等,也都是构造性很强的问题。 本章主要叙述构造法在中学数学中的应用,并通过案例说明该方法的作用。 2.1 构造方程(组)在中学数学解题中的应用 方程是解数学题的一个重要工具,根据数学题设中的量的关系,构造出方程,使原来复杂的数学问题变得直观合理,变得简洁易解。数学题中的有些问题表面上看似乎与方程无关,但通过分析题中的各个量之间的关系就可以构造出方程(主要是一元二次方程)。然后通过方程中的判别式和韦达定理来巧解数学问题。下面通过实例来见证构造方程的巧妙解题。例1: 已知x= (n为整数),求的值 。 分析:遇到求这样看似复杂的代数是的值,首先得看清已知条件是什么,通过已知条件

9、看采用怎样的方式去解容易。就本题来说,待求代数是比较复杂,有根式和幂。要是我们通过直接把已知条件代入式子是很难求出值。而仔细观擦我们就能发现与是成倒数关系。而代数式的括号部分看着就很像我们求一元二次方程的求根公式的右边部分。如果我们设a= , b=- 那么就有x=。即有a+b=4x ,a*b=-1,根据韦达定理不难发现a与b就可以看为时一元二次方程的两个根。用求根公式就能发现所求代数式与该方程之间的关系。 解:设a= , b=- 则x=。即有a+b=4x ,a*b=-1,故a,b 是方程的两个实数根。现求得,而ab,所以a=.则=()=2013 。 例2: 求的值。分析:看本题如果直接求解是算

10、不出来的,对于三角函数式的化简求值,我们最熟悉的就是和差角公式,所求式子与和差角公式结构一致,故我们尽量构造和差角公式。解:令,。则 由+得:,故所以,例3:求的最大值分析;这样的题型如果按找一般的方法去找y的最值,我们是很难找到的,因为x的取值范围是整个实数部分,要取哪个值才能使得y的值取到最值我们便不知道,也难也找出来。因此我们一般就会利用构造方程的方法来求出结论。如该题我们只要把它看成是关于x的一元二次方程就轻易解出此题。解:因为,故构造关于x的一元二次方程,由题意得: 又因为 = =所以(y-7)-4(y-12)解得 ,因而y取得最大值。例4:已知,求z的取值范围 分析:根据韦达定理不

11、难发现,题设中所给的条件都有加与积的形式,我们只要把z看微常数就可得x,y是关于某个一元二次方程的两个实根。 解: 由已知得x+y=-z,. 故x,y是方程(z看微常数)的两个实数根。 所以 ,解得或 。 2.2构造函数在中学数学解题中的应用函数是数学中的常量与变量之间的关系桥梁,通过构造函数,能解决很多数学命题中繁冗复杂的问题。本节就如何构造函数解决一些数学难题加以阐释。我们现在就来看看相关的例题,通过例题学习构造函数解数学难题。例1 已知、,求证:.分析 首先将不等式化为并整理为可将其看成是关于的一次式。证明:构造函数,这里、,则。因为所以,一次函数,当时,图象在轴的上方.这就是说,当、时

12、,有,即。例2 :学校组织学生到距离学校6km的海洋科技馆参观,小亮因有事没能乘上学校的包车, 于是他准备在学校门口乘出租车去。 出租车的收费标准是: 行驶里程不超过3km,收费8元;超过3km,每增加1km,加收18元。小亮只有14元钱,他乘出租车到海洋科技馆,车费够不够?分析;通过读题知道,小明所花的费用与乘车的里程数有关,因此不妨构造一个路程与费用的函数式出来,就能轻易的知道他的钱能否够乘车用。解: 设小明所花车费记为y元,乘车路程记作x km .由题意可以构建函数式 y=8+1.8(x-3)=8+1.8x-5.4=1.8x+26 (其中x3) 现在把x=6带入上式解得 y=13.414

13、 因此 小明带着的钱够他乘出租车到海洋科技馆。例3:比较和的大小。分析:和都可以看成是的两个函数值,因此可以利用幂函数的单调性进行比较。解:设幂函数, 因为, 所以函数 在上是减函数, 又因为5 例4:证明当x-1时,恒成立。分析:在证明不等式时候,通常的做法就是把不等式的两边中的一边转换到另一边去,即是的某一边的值为零。在经过函数的单调性来证明不等式在什么范围都满足怎样的关系进而证明命题。如本题我们通过建立两个函数就能解决该命题证明。 解: 根据命题,构造第一函数为, 对g(x)求导得 , 当时,函数 , 当时,函数, 即:g(x)在上为减函数,g(x)在上为增函数。 故函数g(x)在定义域

14、内取得最小值个g(0)=0,所以函数在x-1时,有 ,则证明左边;再来构造第二个函数 ,对t(x)求导得,当时,当时,。所以函数t(x)在上是单调递增函数,在上时单调递减函数。那么函数t(x) 在定义域内取得最大值t(0)=0因此有,即宗上所诉,当x-1时,恒成立。 2.3 构造数列在中学数学解题中的应用数列是学习数学知识的一个重要部分。在现在的高考题中免不了它的考查。可见数列是数学中的一个很重要的工具。在求许多数列的通项时,往往不能直接的求出来,因此就需要在构造一个新的数列来完成解题。通常构造的数列有等差数列,等比数列等。1. 构造等差数列在解题中,如果某列数出现相邻两项的差是某一个定值,我

15、们就可以给这列数构造一个相应的数列,通过数列来求解相关的问题。例1:已知数列的前n项和(n为正整数),求 分析;看本题所给条件,给了与之间的关系。因此我们就可以求出,然后再根据条件写出与的关系式。看两关系式的结构从而构造出新的数列。解:通过前n项和公式,求出=因为,所以,则因此得,等式两边同时乘以得现构造新数列,那么就有。则,例2:已知函数,当,并且 ()时,求分析:要求出,我们就要求出根据条件知道,n都是取整数,因此与数列很近。则我们就把看作一列数列,求出的通项,那么就可以求得。解:构造新数列,使得数列在n取整数时有因为,所以有则是以为首项,为公差的等差数列。即故,把n=2013带入上式的

16、2. 构造等比数列 构造等比数列一般是在某个未知项前出现不是1倍的倍数关系时。就以倍数为公比构造一个新的等比数列的方法。例1:已知(p,q为常数且)且知道的值,求 分析:类似这样的题型我们就是需要构造一个新的数列(t为待定常数),求出新数列的通项,进而就能求出。 解:构造数列,使得与为同一个式。则解得 即例2: 已知,并且,求分析:看题中条件,它的相连两项的与的系数不相同,我们就需要使得他们系数统一。如此题,我们只要构造新的数列使得与的系数相同,这样就能求得通项。解:根据题中条件构造新数列(t为常数),使得新的数列与是同一式。因此解得t=-。因为所以是以为公比,为首项的等比数列,即从而得到例3

17、: 已知,求分析: 已知数列,且(其中,C为常数),试求。求形如这样的数列题,通常是构造新的数列和(t是关于p与q的常熟),也就是把条件中的等式两边取倒数。求出新数列再次求倒数就得到数列的通项。解:把条件变形为,即构造新数列,使得与同式;解得因此是以为首相,为公比的等比数列,其通项,那么则2.4 构造向量在中学数学解题中的应用 向量是中学数学里非常有用的一个工具,在一些比较复杂数学问题上,如果能把它转化为向量,用向量的计算方法来解决所求问题,会让我们省去许多时间。为此,研究如何根据条件构造向量是本节的突出点,本节通过实例证实构造向量的好处。 例1:设a,b,c ,x,y,z,且 求的值 分析:

18、要求题中代数式的值,只要a,b,c均为x,y,z的同一倍数即可。因此可设a=m x, b=m y , c=m z,则构造两个向量,应有。题目条件明显的特点,可以构造两个向量,求的模即可得结果。 解:构造向量,则已知条件可化为 ,。例2:已知A(1,-1),B=(3,5), C=(4,8),求证:A,B,C三点共线。 分析:要证明多点共线问题,我们只要能知道几个点的坐标,通过两个点构造一个向量,使得所得的向量中存在关系即可。 解:由已知条件A(1,-1),B=(3,5), C =(4,8), 所以构造向量例3:设p、q满足,求证分析:向量在证明不等式中也能取到很好的效果,观察题目中的条件,根据条

19、件建立起向量即可方便解题。此题中我们只要构造向量就能方便的证明。证明:根据条件构造向量,则 即例4:已知求证 分析:根据条件我们可以构造两个向量,由结论想到是利用 证明:构造向量,则且例5:如图,已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形,且.求证:(1) (2)当的值为多少时,能使 分析:本题的问题意图很明显,就是需要我们构造向量来解决两线垂直。在中学数学中考察我们怎么应用向量解决几何问题的能力。证明:(1)设依题意,中两两所成的角为。于是.(2) 要证明只需证明. .同理可证明当,2.5 构造图形在中学数学中的应用在问题条件中的数量关系有明显的几何意义,或经过某种方式可以把问题条件与几何

20、图形建立联系时,则可考虑构造图形来寻求问题的解决办法。在中学数学解题中,常见的问题有:证明不等式,求最值等,都有可能应用到构造图形的方法来解决更有效。一般所给条件中常伴有根式、合式时,通常我们都回想到构造点与点、线与线、面积与面积,体积与体积之间的关系建立解决关系式。下面我们通过多个例题来说明构造图形法解中学数学题的优点和好处。例1:已知求证:x(1-y)+y(1-x)+z(z-x)1.分析:仔细观察题中所给的条件,有一个共同的特点,即x,y,z三个变量的取值范围都是(0,1).所以我们可以把问题条件中的z(z-x)改写为z(1-x).如果能证明该结论仍成立,那么所要证明的结论必定也成立。证明

21、:首先我们先构造一个图形如下:作边长为1的正,如图所示,在三边上分别取点D,E,F,使得DA=x,EB=y,FC=z,则CD=1-x,AE=1-y,BF=1-z.则.由三角形面积公式得到x(1-y)+y(1-x)+z(z-x)1。例2:求函数的最小值,并求得y取得最小值时x的值为多少?分析:看题中条件有根式,和式,且根式中都是一元二次式。不难想到它与两点距离公式有着紧密的关系。只要把改写成,把改写成我们就很快发现如何解答问题。解:如图所示,构造直角坐标系,并设A的坐标为(0,3),点B的坐标为(5,2),点P位x轴上的一点,其坐标为(x,0),则 由于所以y取得最小值,此时,x=3.例3:解方

22、程.分析:此方程中有两个根号,若用代数的方法去求解必须对其平方两次才行,解题过程会很繁且容易出错,所以我们不妨从几何的角度去思考。解:先将方程左端根号下的式子配方,得: (1)观察等式左边,不难会联系到两点间的距离公式,若假设,则有 (2) 因此 具有明显的几何意义:它表示到两个定点的距离之和为定值20的动点的轨迹,显然这是一个半长轴a=10,半焦距 c= ,半短轴b=5的椭圆而表示平行于x轴的两条直线,因此可知,椭圆与这两条直线的交点即为方程的解。 解方程组 得: ,即原方程的解为。 2.6 其他构造法在中学数学中的应用构造法形式是多种多样的,只要在知识的容量足够,以具备的能力为基础,以敏锐

23、的观察为先导,以联想与分析为武器,构造的成功,是解题的关键。许多构造的成功,精巧的构思,灵活的手法,优美的形象,简洁的过程都回令人拍案叫绝。下面我们在看看其他构造法在数学题目中的应用。例1:证明:对于一切大于1的自然数n, 分析:看条件中右边带有一个根式,且不等式右边的值是大于零的某一个数值。故首先要把根式去掉,然后再观察整个不等式的结构看怎样能把左边化简,只要找出化简的办法,那么我们就能证明不等式的成立。证明:对不等式两边平方得如果能证明成立,则自然原命题也成立。因为有对n为自然数都成立。故可构造一列数乘于不等式左边,则,而又有,所以,故此,原命题成立。例2:求的值。分析:在计算数值复杂的算

24、式时,通常计算式里有着某些特点,它就是给我们计算带来简便的途径,观察得当,就能准确快速的计算出算式的值。如本题中,具有四次方的数的底数,他们从左往右是具有一定规律排列的,即后一个数是前一个数加4所得。而每个因数中都是某个数的四次方加64。我们构造这样就能使部分计算中的数约去。从而减少远算。例3:正数a , b 满足 求证:分析:条件中a, b ,的次数都是3,而结论中是1次,因此需要降幂,又因为结论是不等式,当且仅当a=b=1时等号成立.于是考虑构造均值不等式证明.解:由均值不等式得, (1)同理得, (2)由(2)+(1)及变形整理,得。例4:命题“如果a,b 都是无理数,那么也是无理数”是否正确?请说明理由。分析:在证明命题时,我们可以把原命题的逆否命题写出来加以证明,若逆否命题是对的,则原命题就是对的。如果我们还能通过观察给出直接的反例推翻原命题的假设,即推出原命题中存在使命题不成立的因素,则可以判定原命题不成立。就

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