专题12 基本不等式及其应用

1、2.若对任意x0， a恒成立，则a的取值范围是 .,解析：因为x0，所以 x+ 2 (当且仅当x=1时取等号)， 所以有 ， 即 的最大值为 ，故a .,例1：(1)已知x ，求函数y= 4x-2+ 的最大值 (2)已知x0，y0，且 + =1，求x+y的最小值 (3)求y= 的最小值,分析：创造应用基本不等式的条件，合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的前提在于使等号成立的条件；求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中要密切注意字母隐含的取值范围； 函数y=bx+ (a0，b0，为常数)的单调性与 极值(或值域)要了解，并能在解题时

2、灵活运用，特别是当问题不能满足均值不等式的条件之一“取等”时,解析：(1)因为x ，所以5-4x0， 所以 当且仅当5-4x= ， 即x=1时，上式等号成立， 故当x=1时，ymax=1.,(2)因为x0，y0， + =1， 所以x+y=(x+y)( + )= + +106+10=16. 当且仅当 = 时， 上式等号成立，又 + =1， 所以x=4，y=12时，(x+y)min=16.,(3) = 此时，不能使用基本不等式，等号取不到利用“对勾”函数的单调性解决， 即当x=0时，得其最小值为 .,【点评】(1)用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积，然后这两项的积或和或平方

3、和为定值，然后用基本不等式求出最值； (2)在条件最值中，一种方法是消元转化为函数最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值； (3)不管哪种题，哪种方法，求最值时要验证等号是否成立,变式1. (1)若-4x1，则 的最大值为_； (2)若a，b，c0，且a2+ab+ac+bc=4， 则2a+b+c的最小值为_ (3)已知0x ，则f(x)=sinx+ 的最小值为_,解析：(1) = = (x-1)+ = - -(x-1)+ 因为-4x1，所以-(x-1)0， 0. 从而-(x-1)+ 2，,所以- -(x-1)+ -1， 当且仅当-(x-1)=

4、 ， 即x=2(舍)或x=0时取等号 即( )max=-1.,(2)由a2+ab+ac+bc=4，分解因式得(a+b)(a+c)=4， 所以2a+b+c=(a+b)+(a+c)2 =2 =4. (3)因为00， 所以1=a+b2 ， 当且仅当a=b= 时等号成立， 即00，所以1=a+b2 (当且仅当a=b= 时等号成立)， 所以0ab ，所以0anbn (nN*),设anbn=t，则t(0， 令f(t)=t+ .问题等价于当t(0， 时，求f(t)的最小值 因为f (t)=1- 0，即函数y= +6x+504在15，+)上是增函数 所以当x=15时，y取最小值，最小值为 +615+504=6

5、34(元),变式3.甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元 (1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/小时)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?,解析：(1)建模：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ，全程运输成本为y=(a+bv2)=sb(v+ )，v(0，c,(2)依题意，有s，b，a，v都是正数 因此y=sb(v+ )2s ； 若 c，则当且仅当v= v=

6、时，y取到最小值 若 c，则y在(0，c上单调递减，所以当v=c时，y取到最小值 综上所述，为了使全程运输成本最小，当 c时，行驶速度应该为v= ；当 c时，行驶速度应该为v=c.,1基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“一正”是指各项均为正数；“二定”就是若积为定值则和有最小值，若和为定值则积有最大值；“三相等”就是必须验证等号成立的条件，这也是最容易出错的地方若等号不在给定的区间内，通常利用函数的单调性求最值,2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用,3在不等式的证明过程中，常根据不等号的方向