2015年全国高考理科数学试题及答案-重庆卷

1、20152015 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数数学（理工类）学（理工类） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1、已知集合 A=1,2,3,B=2,3，则 A、A=B B、AB= C、AB D、BA 2、在等差数列an中，若a 2 =4，a 4 =2，则a 6 = A、-1 B、0 C、1 D、6 3、重庆市 2013 年各月的平均气温（oC）数据的茎叶图如下： 则这组数据的中位数是 A、19 B、20 C、21.5 D、23 4、 “x 1”是“log 1

2、 (x2) 0”的 2 A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 5、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A、 12 3 B、 3 C、 1 3 2 D、 2 3 2 1 6、若非零向量a,b满足|a| 则a与b的夹角为 2 2 |b|，且(ab) (3a2b)， 3 B、 42 3 C、 D、 4 A、 7、执行如题（7）图所示的程序框图，若输入 K 的值为 8，则判 断框图可填入的条件是 35 B、s 46 1125 C、s D、s 1224 A、s 8、已知直线l : xay 1 0(aR)是圆C: x2 y24x2y1 0的对称轴.过点A

3、(4,a)作圆 C的一条切线，切点为B，则| AB| A、2 B、4 2 C、6 D、2 10 9、若tana 2tan 5 cos( ，则 3 ) 10 sin() 5 A、1 B、2 C、3 D、4 x2y2 10、设双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的右焦点为F，过F作AF的垂线与双曲线交于 B,C 两点， ab 过 B,C 分别作 AC，AB 的垂线交于点 D.若 D 到直线 BC 的距离小于aa2b2，则该双曲线的渐近 线斜率的取值范围是 A、(1,0)(0,1) B、(,1)(1,) C、( 2,0) (0, 2) D、(, 2) ( 2,) 二、填空题：本大题共6 小题，考生作

4、答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填写在答题卡相应 位置上. 11、设复数abi(a,bR)的模为 3，则(abi)(abi) _. 2 1 8x 12、x3的展开式中的系数是_(用数字作答). 2 x 13、在ABC中，B=120，AB= 2，A 的角平分线 AD=3,则 AC=_. 考生注意：考生注意： （1414） 、 （1515） 、 （1616）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给 分分. . 14、如题（14）图，圆O的弦AB,CD相交于点E，过点A作 圆O的切线与DC的延长线交于点P

5、，若PA 6， o 5 AE 9，PC 3，CE :ED 2:1，则BE _. 15、已知直线l的参数方程为 x 1t （t为参数） ，以坐标 y 1t 原 点 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 坐 标 系 ， 曲 线C的 极 坐 标 方 程 为 2cos2 4( 0, 35 )，则直线l与曲线 C 的交点的极坐标为_. 44 16、若函数f (x) | x1| 2| xa|的最小值为 5，则实数a _. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分 13 分， （）小问 5 分， （）小问 8 分）

6、端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个， 白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3 个。 （）求三种粽子各取到1 个的概率； （）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望 （18） （本小题满分 13 分， （）小问 7 分， （）小问 6 分） 已知函数f x sin xsin x3cos2x 2 （）求f x的最小正周期和最大值； （）讨论f x在 2 , 上的单调性. 63 （19） （本小题满分 13 分， （）小问 4 要， （）小问 9 分） 3 如题（19）图，三棱锥P ABC中，PC 平面ABC， PC

7、3，ACB 2 .D,E分别为线段AB,BC上的点，且 CD DE 2,CE 2EB 2. （）证明：DE 平面PCD （）求二面角A PD C的余弦值。 （20） （本小题满分 12 分， （）小问 7 分， （）小问 5 分） 3x2ax 设函数f xaR xe （）若f (x)在x 0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y f (x)在点(1,f (1)处的 切线方程； （）若f x在3,上为减函数，求a 的取值范围。 （21） （本小题满分 12 分， （）小问 5 分， （）小问 7 分） x2y2 如题（21）图，椭圆 2 2 1a b 0的左、右焦 ab 点分别为F 1,F2 ,

8、过F 2 的直线交椭圆于P,Q两点，且PQ PF 1 （） 若PF 1 22, PF 2 22， 求椭圆的标准方 程； （）若PF 1 PQ ,求椭圆的离心率e. （22） （本小题满分 12 分， （）小问 4 分， （）小问 8 分） 在数列an中，a 1 3,a n1an a n1 a n 0nN 2 （）若 0, 2,求数列an的通项公式； （）若 111 a k01 2 k 0 N ,k 0 2, 1,证明：2 k 0 3k 0 12k 0 1 4 参考答案参考答案 一、选择题：每小题 5 分，满分 50 分。 1.D2.B3.B4.B5.A 6.A7.C8.C9.C10.A 二、填

9、空题：每小题 5 分，满分 25 分。 11. 312. 5 2 13. 6 14. 215.(2,)16. -6 或 4 三、解答题：满分 75 分。 17 （本题 13 分） 解： （）令A表示事件“三种粽子各取到1 个” ，则由古典概型的概率计算公式有 P(A) C1 1C1 2C35 1 C3 10 4 （）X的所有可能值为 0，1，2，且 P(X 0) C3 8 7 C3 ， 10 15 12 P(X 1) C 2C8 7 C3 15 ， 10 P(X 2) C2 1 2 C 8 1 C3 . 10 15 综上知，X的分布列为 X012 P 771 151515 故E(X) 0 7

10、15 1 7 15 2 13 15 5 （个） 18.（本题 13 分） 解： （）f (x) sin( 2 x)sin x3cos2x 5 cosxsin x 3 (1cos2x) 2 13 sin2xcos2x 22 3 sin(2x) 32 （）当x 2 6 , 3 时，0 2x 3 ，从而 5 时，f (x)单调递增； 32612 52 x 当 2x，即 时，f (x)单调递减. 23123 552 上单调递增；在,上单调递减. 综上可知，f (x)在 , 6 12123 当0 2x ，即 x 19.（本题 13 分） （）证明：由PC 平面ABC,DE 平面ABC，故PC DE. 由

11、CE 2,CD DE 2得CDE为等腰直角三角形，故CD DE. 由PC CD C,DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE 平面PCD. （）解：由（）知，CDE为等腰直角三角形，DCE 4 . 如图，过D作DF垂直CE于F，易知DF FC FE 1， 又已知EB 1，故FB 2. 由 ACB 2 得 DF / AC, DFFB2 ACBC3 ，故 AC 33 DF . 22 以C为坐标原点，分别以CA,CB,CP的方向为x轴，y轴，z ), 轴 的 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则C(0, 0, 0P 1 ED (1,1,0),DP (1,1,3),DA ( ,1,

12、0). 2 设平面PAD的法向量为n 1 (x 1, y1,z1) ， 3 (0, 0A , 3),(E , 0, 0),D (0, 2,，0), 2 (1, 1, 0) 6 x 1 y 1 3z 1 0, 由n 1 故可取n 1 (2,1,1).DP 0,n 1DA0 ，得1 x 1 y 1 0, 2 由（）可知DE 平面PCD，故平面PCD的法向量n 2 可取为ED，即n 2 (1,1,0). 从而法向量n 1,n2 的夹角的余弦值为 cos n 1,n2 n 1 n 2 3 ， |n 1 | |n 2 |6 3 . 6 故所求二面角A PD C的余弦值为 20.（本题 12 分） (6x

13、a)ex(3x2ax)ex3x2(6a)xa 解： （）对f (x)求导得f (x) x2x(e )e 因为f (x)在x 0处取得极值，所以f (0) 0，即a 0. 333x23x26x f (1), f (1) 当a 0时，f (x) x , f (x) ， 故， 从而f (x)在点(1,f (1) eeeex 处的切线方程为y 33 (x1)，化简得3xey 0. ee 3x2(6a)xa （）由（）知f (x) . ex 令g(x) 3x2(6a)xa， 6aa2366aa236 由g(x) 0解得x 1 ,x 2 66 当x x 1 时，g(x) 0，即f (x) 0，故f (x)

14、为减函数； 当x 1 x x 2 时，g(x) 0，即f (x) 0，故f (x)为增函数； 当x x2时，g(x) 0，即f (x) 0，故f (x)为减函数. 96aa236 由f (x)在3,)上为减函数，知x2 3，解得a ， 26 7 故a的取值范围为 ,) 21.（本题 12 分） 9 2 a 2. 解： （）由椭圆的定义，2a | PF 1 | PF 2 |(22) (22) 4，故 设椭圆的半焦距为c，由已知PF 1 PF 2 ， 因此2c | F 1F2 | PF 1 | | PF 2 | (22) (22) 2 3， 即c 3，从而b a2c21. 2222 x2 y21

15、故所求椭圆的标准方程为 4 （）解法一：如图，设点P(x 0 , y 0 )在椭圆上，且PF 1 PF 2 ，则 22x 0 y 0 2221,x y c ， 00 22ab a 2 b2 2a 2b , y 0 .求得x0 cc 由| PF 1 | PQ| PF 2 |得x 0 0， a a22b2b4 2 从而| PF 1 | (c) 2 2(a2b2)2a a22b2 (aa22b2)2 cc 2 由椭圆的定义，| PF 1 | PF 2 | 2a,| QF 1 |QF 2 | 2a. 从而由| PF 1 | PQ| PF 2 |QF 2 |，有|QF 1 | 4a2| PF 1 |.

16、又由PF 1 PF 2 ,| PF 1 | PQ|，知|QF 1 |2 | PF 1 |， 22 因此(2 2) | PF 1 | 4a，即(22)(aa 2b ) 4a， 于是(22)(12e21) 4，解得 e 14 1(1)2 6 3 222 解法二：如答（21）图，由椭圆的定义，| PF 1 | PF 2 | 2a,| QF 1 |QF 2 | 2a. 8 从而由| PF 1 | PQ| PF 2 |QF 2 |，有|QF 1 | 4a2| PF 1 | 又由PF 1 PQ,| PF 1 | PQ|，知|QF 1 |2 | PF 1 |， 因此4a2| PF 1 |2 | PF 1 |

17、，得| PF 1 | 2(22)a， 从而| PF 2 | 2a| PF)a. 1 | 2a2(22)a 2( 2 1 2222 由PF 1 PF 2 ，知| PF 1 | | PF 2 | | F 1F2 | (2c) ，因此 | PF 1 |2| PF 2 |2c e (22)2( 2 1)296 2 6 3 a2a 22.（本题 12 分） 解： （）由 0, 2，有a n1an 2a n 2(nN ). 若存在某个n0N，使得an 0 0，则由上述递推公式易得a n01 0.重复上述过程可得 a 1 0，此与a 1 3矛盾，所以对任意nN ,a n 0. 从而a n1 2a n (nN )，即a n 是一个公比q 2的等比数列. 故a n a 1q n132n1 （）由 1 , 1，数列a n 的递推关系式变为 k 0 11 a n1 a n 2 0，变形为a n1(an ) a n 2(nN ). k 0 k 0 a n1an 由上式及a 1 3 0，归纳可得 3 a 1 a 2 . a n a n1 . 0. 2a n 因为an1 2a n 1 a n k 0 11 k 0 2k 0 2111 a n ，所以对n 1,2,., k0 1 kkk a 1 000n a n k 0 求和得ak 01 a 1 (a 2 a 1).(ak01 a k0 ) 9 11