2018-2019学年广西梧州市、桂林市、贵港市等高三(上)期末数学试卷(理科)解析版

1、2018-20192018-2019学年广西梧州市、桂林市、贵港市等高三（上）期末数学试学年广西梧州市、桂林市、贵港市等高三（上）期末数学试 卷（理科）卷（理科） 一、选择题（本大题共 1212小题，共 60.060.0分） 2 1.（2-i ） -（1+3i ）=（） A. B. C. D. C.D. D. D. A. x B. 2.已知集合 A=x|24，B=x|0 x-15 ，则（ RA） B=（ ） A.B.C. 满足|=2 ，|=，则 =（） ，|=1 ，|3.已知向量 A.B.C. 9.若 x，y满足约束条件，则 z=12x+3y的最大值为（） A.15B.30 2 4.若双曲线-

2、y =1（a0）的实轴长为 1，则其渐近线方程为（） C. C. D.34 2 10. 若 tan ，tan 是方程 x -2x-4=0的两根，则|tan （ - ）|= （） A.B.C.D.A.B.D. 5.如图显示的是欧阳修的卖油翁中讲述的一个有趣的故事，现模仿 铜钱制作一个半径为 2cm 的圆形铜片，中间有边长为1cm 的正方形 孔若随机向铜片上滴一滴水（水滴的大小忽略不计），则水滴正好 落人孔中的概率是（） 11. 设 a=log 30.4 ，b=log23，则（ ） A. 且B.且 12. 设 A 1，A2，B1分别是椭圆 ： C. 且D.且 的左、右、上顶点，O 为坐标原点，D

3、为线段 OB 1 A. B. C. D. 6.已知函数 f （x）=Asin x（A0， 0）与 g（x）= cos x的部分图象如图所示，则 （） 的中点，过 A 2作直线 A1D 的垂线，垂足为 H 若 H 到 x轴的距离为 ，则 C 的离心率为（） A.B.C.D. 二、填空题（本大题共4 4 小题，共 20.020.0分） 53 13. （） 的展开式 xy 的系数为_ 3 14. 曲线 y=-x在点（1，-1）处的切线方程为_ 2 15. ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a=4，c=9，sin Asin C=sinB，则 cosB=_ 16. 已知 A，B

4、，C，P 四点都在以 PC 为直径的球 O 的表面上，AB BC ，AB =2，BC =4，若球 O 的体积为 8 ，则异面直线 PB 与 AC 所成角的正切值为_ 三、解答题（本大题共7 7 小题，共 82.082.0分） 17. 设 Sn为等差数列an的前 n 项和，S 9=81，a2+a3=8 （1）求an的通项公式； （2）若 S3，a14，Sm成等比数列，求 S2m PA 平面 ABC ，18. 如图， 在三棱锥 P-ABC 中，且 PA =AB =BC =2， （1）证明：三棱锥 P-ABC 为鳖臑； （2）若 D 为棱 PB 的中点，求二面角 D -AC -P 的余弦值 注：在九

5、章算术中鳖臑是指四面皆为直角三角形的棱锥 A. ， B. ， C. ， D. ， x 7.已知 f （x）为定义在 R 上的奇函数，当 x0时，f （x）=2，则 f （x）的值域为（） A.B.C.D. 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） 第 1 页，共 7 页 2 19. 在直角坐标系 xOy中直线 y=x+4与抛物线 C：x =2py（p0）交于 A，B两点，且 OAOB （1）求 C 的方程； （2）若 D为直线 y=x+4外一点，且ABD的外心 M在 C 上，求 M 的坐标 20. 某工厂共有男女员工 500人，现从中抽取 100位员工对他们每月完成合格产品的件数

6、统计如下： 每月完成合格产品的件数（单位：百件） 26，28）28，30）30，32）32，34）34，36 频数 男员工人数 10 7 45 23 35 18 6 1 4 1 a 21. 已知函数 f（x）=x -alnx-a（a0） （1）讨论 f（x）的单调性 （2）当 a0时，对任意 x1，x2，|f（x1）-f（x2）|e-2恒成立，求 a 的取值范围 22. 在直角坐标系 xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点x轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为 cos =sin （1）求直线 l的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线 l与

7、曲线 C 交于 A，B 两点，P（-1，2），求|PA|PB| 23. 已知函数 f（x）=|x-1|+|x+2| （1）求不等式 f（x）13的解集； （2）若 f（x）的最小值为 k，且 2 （1）其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”由以上统计数据填写下 2列联表，并判断是否有 95%的把握认为“生产能手”与性别有关？面 2 非“生产能手” “生产能手” 合计 男员工 女员工 合计 =1（m0），证明：m+n16 （2） 为提高员工劳动的积极性， 工厂实行累进计件工资制： 规定每月完成合格产品的件数在定额2600 件以内的，计件单价为1元；超出（0，200件的

8、部分，累进计件单价为1.2元；超出（200，400件的 部分，累进计件单价为1.3元；超出 400件以上的部分，累进计件单价为1.4元，将这4段中各段的频 率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，没实得计 件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）不少于3100元的人数为 Z，求Z的分布列和 数学期望 2 附：K = ， P（K2k k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 第 2 页，共 7 页 答案和解析 1.【答案】A 【解析】 解：（2-i）2-（1+3i）=3-4i-（1+3i）=2-7i 故选：A

9、 直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题 2.【答案】C 【解析】 解：2x4，x2，A=x|x2， RA=x|x2， 0x-15，1x6，B=x|1x6， （RA）B=x|1x2 故选：C 由补集的运算求出RA，再由交集的运算求出（RA）B 本题主要考查集合的基本运算，比较基础 3.【答案】B 【解析】 解：|=1，|=2，| |=， =17-4， 则= 故选：B 由|= ，结合向量数量积的性质即可求解 本题主要考查了向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题 4.【答案】D 【解析】 解：双曲线-y2=1（a0）的实轴长为 1，可得 a= ，则双曲

10、线的渐近线方程为：y=2x 故选：D 利用双曲线的实轴长求出 a，然后求解渐近线方程即可 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力 5.【答案】D 【解析】 解：利用面积型几何概型公式可得， 圆形铜片的面积 S=4，中间方孔的面积为 S=1， 油滴正好落入孔中的概率为正方形的面积与圆的面积的比值， 即油滴正好落入孔中的概率为 p= 故选：D 利用题意将原问题转化为面积比值的问题，据此整理计算即可求得最终结果 本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题 6.【答案】B 【解析】 解：由图象可知，A=1，=1.5， A=2，T=6， 又 6=T=，

11、 =， 故选：B 结合图象可知，A=1，=1.5，然后再由周期公式即可求解 本题主要考查了利用函数的图象求解函数解析式中的参数，属于基础试题 7.【答案】C 【解析】 解：当 x0 时，f（x）=2x（0，1）， f（x）为定义在 R 上的奇函数，f（0）=0， 则当 x0 时，f（x） （0，1），综上 f（x） （-1，1），即函数的值域为（-1，1）， 故选：C 第 3 页，共 7 页 根据奇函数的对称性的性质进行求解即可 本题主要考查函数值域的求解，结合函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键 8.【答案】A 【解析】 利用韦达定理求得 tan+tan 和 tantan的值，可得 ta

12、n和 tan 的值，再利用两角差的正切 公式求得 tan（-）的值，可得结论 本题主要考查韦达定理，两角差的正切公式，属于基础题 11.【答案】B 【解析】 解：由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成 该几何体的表面积 S= 故选：A 由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成 本题考查了三视图，空间想象与运算能力，属于简单题 9.【答案】C 【解析】 =解：； -1log30.40； 又 log231； 即-1a0，b1； ab0，a+b0 故选：B ，表示的可行域，又 x Z， 容易得出-1log30.40，log231，即得出-1a0，b1，从而得出 ab0，a+b0

13、 考查对数函数的单调性，以及增函数的定义 解：画出不等式组 由 x=3 时，y=-， 则当直线 z=12x+3y经过点 z 取得最大值 故选：C 12.【答案】C 时， 【解析】 解：直线 A1D的方程为 ， ，直线 A2H的方程为 作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可 得到结论 联立 ，得 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键 10.【答案】A 【解析】 2 解：tan，tan 是方程 x -2x-4=0 的两根， 22 a =2b ， ， 则 故选：C ，tan=1+； tan+tan=2，tantan=-4， 解得 tan=1+，tan=1-；或 tan

14、=1- tan（-）= |tan（-）|= 故选：A ， =， 由题意画出图形，分别写出 A1D，A2H的方程，联立求得 H的坐标，再由 H到 x 轴的距离为 列式求解 本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 第 4 页，共 7 页 13.【答案】 【解析】 解：ABBC，ABC 的外心 O为 AC 的中点，OO平面 ABC， 易证 PAOO，PA平面 ABC，从而球 O的半径 R=OA，又 = 3 解：（） 的展开式的通项为 ） 的展开式 xy 的系数为 5 5 =8， R=，AC= =2，AO=，OO=1，PA=AB=2， = 设 PB与 AC 所成角为 ，则 cos

15、=cosPBAcosBAC= 故 tan=3， 故答案为：3 ABBC，ABC 的外心 O为 AC 的中点，OO平面 ABC，易证 PAOO，PA平面 ABC， 从而球 O的半径 R=OA，又 R= 可得 本题考查了异面直线所称的角，属中档题 17.【答案】解：（1）Sn为等差数列an的前 n项和，S9=81，a2+a3=8 ， 解得 a1=1，d=2， 2=2n-1 a n=1+（n+1） （2）由（1）知，Sn= 取 r=3，可得（ 故答案为： = 写出二项展开式的通项，得到 r值，则答案可求 本题考查二项式定理的应用，是基础的计算题 14.【答案】y=-3x+2 【解析】 2 解：y=-

16、3x =8 ，AO= ， ，OO=1，PA=AB=2，再根据三个角余弦的公式计算，AC=2 y|x=1=-3 而切点的坐标为（1，-1） 曲线 y=-x 在（1，-1）的处的切线方程为 y=-3x+2 故答案为：y=-3x+2 根据导数的几何意义求出函数在 x=1 处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出 切线方程即可 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题 15.【答案】 【解析】 2 解：a=4，c=9，sinAsinC=sin B， 2 9=36，由正弦定理可得：b =ac=4 3 =n2 S 3，a14，Sn成等比数列，S3Sm= ， 22

17、 即 9m =27 ，解得 m=9， =324 【解析】 （1）由等差数列an的前n项和公式和通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出an 的通项公式 （2）推导出 Sn= 求出 S2m 本题考查等差数列的通项公式、前 n项和的求法及应用，考查等差数列、等比数列的性质等基 础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题 18.【答案】（1）证明：AB=BC=2， ，AB2+BC2=AC2， ABBC，ABC为直角三角形 PA平面 ABC，PABC，PAAB，PAB，PAC均为直角三角形 ABPA=A，BC平面 PAB =n2由 S3，a14，Sn成等比数列，得 9m2=272，从而求出 m

18、=9，由此能 cosB= 故答案为： = 2 由已知及正弦定理可得 b =ac=36，进而根据余弦定理可求 cosB的值 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题 16.【答案】3 【解析】 第 5 页，共 7 页 又 PB平面 PAB，BCPB，PBC为直角三角形 故三棱锥 P-ABC 为鳖臑 （2）解：以 B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B-xyz， 如图所示，则 A（2，0，0），C（0，2，0），D（1，0，1）， ， ， ，则 设平面 ACD的法向量为， ， 则 令 x=1，则， ， 易知平面 PAC的一个法向量为， ， 则， M 的坐标为（4

19、，4）或（-8，16） 【解析】 （1）联立方程组，根据韦达定理和向量的数量积即可求出， （2）先求出线段 AB的中垂线方程为 y=-x+8，再联立方程组，解得即可 本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了转化能力和运算能力，属于中档题 20.【答案】解：（1）列联表： 非“生产能手” “生产能手” 合计 男员工 482 8 10 = 50 50 100 由图可知二面角 D-AC-P为锐角，则二面角 D-AC-P 的余弦值为女员工 42 合计 K2= 90 有 95%的把握认为“生产能手”与性别有关 1+2001.2+2001.3=3100元 （2）当员工每月完成合格产品的件数为3000时，实

20、得计件工资为 2600 从已知可得男员工实得计件工资不少于3100元的概率p1= ， 女员工实得计件工资不少于3100元的概率p1= 【解析】 （1）证明 ABBC，PABC，PAAB，即可证明 BC平面 PAB说明PBC 为直角三角形推出 三棱锥 P-ABC为鳖臑 （2）以 B为坐标原点，建立空间直角坐标系 B-xyz，求出平面 ACD的法向量，平面 PAC 的一个 法向量，利用空间向量的数量积求解二面角 D-AC-P的余弦值 本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及 计算能力 x2-2px-8p=0，19.【答案】解：（1）设 A（x1，y1），B

21、（x2，y2），联立，可得 则 x1+x2=2p，x1x2 =-8p， 从而 y1y2=（x1+4）（x2+4）=x1x2+4（x 1+x2）+16=-8p+8p+16=16， OAOB， =x1x2+y1y2=-8p+16=0，解得 p=2， 2 故 C 的方程为 x =4y， （2）设线段 AB的中点 N（x0，y0）， 由（1）可知 x0= （x1+x2）=2，y0=x0+4=6， 则线段 AB的中垂线方程为 y-6=-（x-2），即 y=-x+8， 联立，解得或， 在该厂男员工中随机选取1 人，女员工中随机选取2人进行工资调查，实得计件工资不少于3100元的人数 为 Z=0，1，2，3

22、， P（Z=0）=，P（Z=1）=+（1-）2 = P（Z=2）=， P（Z=3）= Z 的分布列： Z P 0 1 2 3 E（Z）=0+1+2+3= 【解析】 2 （1）求得 K = 即可判定有 95%的把握认为 “生产能手”与性别有关 （2）可计算得当员工每月完成合格产品的件数为3000时，实得计件工资为3100元从已知可得 男员工实得计件工资不少于 3100元的概率 p1=，女员工实得计件工资不少于 3100元的概率 第 6 页，共 7 页 p1=可得 Z=0，1，2，3，计算相应的概率即可 本题考查了概率计算，随机变量的分布列、期望值，独立性检验，属于中档题 21.【答案】解：（1）

23、函数的定义域是（0，+）， f（x）=axa-1- = ，（t为参数），1l22.【答案】解：（ ）直线 的参数方程为 ， 转换为直角坐标方程为：x+y-1=0 2 曲线 C的极坐标方程为 cos =sin 2 转化内直角坐标方程为：y=x ， 2 （2）把直线 l的参数方程为，（t为参数），代入 y=x ， 得到：（t1和 t2为 A、B 对应的参数）， 所以：t1 t 2=-2， 则：|PA|PB|=|t1 t 2|=2 【解析】 当 a0时，x （0，1），f（x）0，f（x）在（0，1）递减， x （1，+）时，f（x）0，f（x）在（1，+）递增， 当 a0时，x （0，1），f（x

24、）0，f（x）在（0，1）递减， x （1，+）时，f（x）0，f（x）在（1，+）递增； （2）|f（x1）-f（x2）|f（x）max-f（x）min， 故 f（x）max-f（x）mine-2， 由（1）知 f（x）在 ，1）递减，在（1，e递增， 故 f（x）min=f（1）=1-a， a-a f（ ）=e 与 f（e）=e -2a， （1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换 （2）利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果 本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系 数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 23.【答案】解：（1）