2018江苏数学竞赛初赛

1、2018 全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（本题共一、填空题（本题共 1010 小题，每小题小题，每小题 107107 分，满分分，满分 7070 分分. .要求直接将答案写在横线上要求直接将答案写在横线上. .） 1.函数y cosx cos2x(xR)的值域为_. b 2.已知(abi)2 34i，其中a,bR，i是虚数单位，则a的值为_. 3.圆心在抛物线x 2y上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程为_. 14x 2 x 4.设函数f (x) ，则不等式f (1 x ) f (5x7) 0的解集为_. x2 5.已知等差数列a n 的前 12 项的和为 60，则a

2、1 a 2 a 12 的最小值为_. 6.已知正四面体内切球的半径是1，则该四面体的体积为_. 7.在ABC中，AB 5，AC 4，且ABAC 12，设P是平面ABC上的一点，则PA(PB PC)的 最小值为_. n 8.设g(n) (k,n)，其中nN ，(k,n)表示k与n的最大公约数，则g(100)的值为=_. * k1 9.将1,2,3,4,5,6,7,8,9，这 9 个数随即填入33的方格中，每个小方格恰填写一个数，且所填的数各不相 同，则使每行、每列所填的数之和都是奇数的概率为_. 10.在1,2,3,4, ,1000中， 能写成ab1(a，bN)的形式，且不能被 3 整除的数有_

3、 _个. 第 1 页 共 11 页 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 2020 分，共分，共 8080 分）分） 11.如图， 在平面直角坐标系xoy中， 已知圆O的方程为x2 y2 4，过点P(0,1)的直线l与圆O交于A,B 两点，与x轴交于点Q，设QAPA,QB PB，求证：为定值. 12.已知an是公差为d(d 0)的等差数列，且a 1 t2 a 2 t3 a 3 t， （1）求实数t，d的值； （2）若正整数满足mpr，a m 2tm a p 2tp a r 2tr 0，求数组(m, p,r)和相应的通项公式a n . 13.如图， 在圆内接

4、四边形ABCD中， 对角线AC与BD交于点P，ABD与ABC的内心分别为I1和I 2 ， 直线I 1I2 分别与AC，BD交于点M,N，求证：PM PN. 14.从1,2,3, ,2050这 2050 个数中任取 2018 个数组成集合A，把A中的每个数染上红色或蓝色，求证： 总存在一种染色方法，是使得有600 个红数及 600 个蓝数满足下列两个条件： 这 600 个红数的和等于这 600 个蓝数的和； 这 600 个红数的平方和等于这600 个蓝数的平方和. 第 2 页 共 11 页 参考答案参考答案 一、填空题一、填空题 1.0, ； 2.5； 3.(x1) (y ) 1； 4.(2,3

5、)； 5.60； 6.8 3； 7. 2 9 8 1 2 2 65 ； 8 8.520； 9. 1 ； 14 10.501； 二、解答题二、解答题 11. 8 3 证明：当AB与x轴垂直时，此时点Q与点O重合 从而 2， 28 , . 33 当点Q与点O不重合时，直线AB的斜率存在. 设AB: y kx1，A(x 1, y1),B(x2 , y 2 )，则Q( 由题设得：x 1 1 ,0). k 11x x11 x 1 ，x2 x 2 ，即1 2 12. kkkx 1 kx 2 kx 1x2 2222 将y kx1代入x y 4，得(1k )x 2kx3 0， 2k3 x x ，. 12 1k

6、21 k2 2k8 .所以 2 3k3 8 综上，为定值. 3 则 0，x 1 x 2 第 3 页 共 11 页 12. . t 131 ，d ；(m, p,r) (1,3,4)，an (3n11)； 288 2323 a1t a1d t ,d t t , 解： （1）由题，即 33 d t t,a1 d t a 1 2d t, 2 因为d 0，所以t 0,t 1，所以由2t t 1 0得t 13 ,d . 28 13 ,d ， 28 1 p 1 m 1 r 1 p 得(pm)d 2( ) () ，及(r p)d 2() () ， 2222 31 p 1 m 31 r 1 p 即 (pm) 2

7、 () () ，及(r p) 2() () ， 822822 1 p 1 m 1 r 1 p4 也即3(pm) 24( ) () ，及3(r p) 2 () () ， 2222 （2）由an2tm a p 2tpa r 2tr 0，t 两式左边都是正整数，故m p r 4，且m, p都是奇数， 所以m 1,p 3，r 4,a 1 1. 验证如下： 11 a 1 2() 1 2() 0； 22 19111 a 3 2()32()3 0； 2882 112111 a 4 2()42()4 0. 2882 3311 所以(m, p,r) (1,3,4)，an 1 (n1)=n. 888 13. 证明

8、：因为I1,I2分别为ABD和ABC的内心， 第 4 页 共 11 页 11 DAB，I 1BA DBA， 22 11 I 2 AB CAB，I 2 BA CBA， 22 1 故AI1B 180 (DAB DBA)， 2 1 AI 2 B 180 (CAB CBA). 2 所以I1AB 在ABD和ABC中，ADB ACB， 所以DAB DBA CAB CBA， 从而AI 1B AI2B ，故A,I 1,I2 ,B四点共圆. 1 DBA， 2 1 则PMN MAI2MI 2 A (CAB DBA). 2 1 同理，PNM (CAB DBA). 2 因此I1I2A I1BA 所以PMN PNM，即

9、PM PN. 22222222 14.证明一：注意到1 467 2358 18，且1 4 6 7 2 3 5 8 102， 则(8k 1)(8k 4)(8k 6) (8k 7) (8k 2) (8k 3)(8k 5) (8k 8)， 且(8k 1) (8k 4) (8k 6) (8k 7) (8k 2) (8k 3) (8k 5) (8k 8). 把A中的8k 1,8k 4，8k 6,8k 7型数染成红色， 22222222 8k 2,8k 3，8k 5,8k 8型数染成蓝色. 因为2050 8256 2，所以k 0,1,2,256. 构造257个抽屉，第k 1个抽屉放置形如“8k 1,8k

10、2,8k 3，8k 4,8k 5,8k 6，8k 7,8k 8” 的数，k 0,1,2,255.第257个抽屉放置A中大于2048的数(最多 2 个数). 2050个数中任取2018个数按要求放入抽屉，至少填满224个抽屈(放入了8个数)，224个填满数的抽屉 每个抽屉都是4个红数和4个蓝数，其和相等且平方和相等. 取224个抽屉中的150个，4150 600，共600个红数与600个蓝数，也有和相等，且平方和相等. 即存在600个红数与600个蓝数，这600个红数与600m个蓝数的和相等，且平方和相等. 证明二：注意到45 1 26 9，且4 5 1 2 6 41. 第 5 页 共 11 页

11、 22222 则7k (7k 4)(7k 5) (7k 1)(7k 2)(7k 6)， 且(7k)2(7k 4)2(7k 5)2 (7k 1)2(7k 2)2(7k 6)2. 把A中的7k，7k 3,7k 4,7k 5型数染成红色， 7k 1,7k 2,7k 6型数染成蓝色. 因为2050 7292 6，所以k 0,1,2,292. 构造293个抽屉，k 0时，抽屉放置集合A中不超过 6 的数，其余的第k 1个抽屉放置形如 7k,7k 1,7k 2,7k 3，7k 4,7k 5,7k 6型数，k 0,1,2,292. 2050 个数中任取 2018 个数按要求放入抽展，至少填满260 个抽屉(放入了 7 个数)，260 个 填满数的抽屉中每个抽屉都是4 个红数和 3 个蓝数。 取7k,7k 4,7k 5型 3 个红数和 3 个蓝数， 其和相等 且平方和相等. 取 260 个抽屉中的 2