2019年江苏省南京市秦淮区高考数学三模试卷(解析版)

1、20192019 年江苏省南京市秦淮区高考数学三模试卷年江苏省南京市秦淮区高考数学三模试卷 一、填空题（本大题共 1414小题，共 70.070.0分） 1.已知全集 U=1，2，3，A=2，则UA=_ 2.复数 z=i（2+i）（其中 i为虚数单位）的共轭复数为_ 3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5：5：4，现按年级采用分层 抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级为12人，则抽取的样本容量为 _人 4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T 的值为_ 5.将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6） 先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点

2、数之和是6的概率是_ 6.曲线 y=xcosx在 x=处的切线的斜率为_ 7.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，CAB=90，AC=AB=2，CC1=2，P 是 BC1的中 点，则三棱锥 C-A1C1P的体积为_ 8.函数 f（x）=cos（3x+）在0，的零点个数为_ a1=1，9.已知等差数列an的各项均为正数，且a2+a6=a8 若p-q=10 则ap-aq=_ 10. 已知 ab0，椭圆 C1的方程为 + 16. 在锐角ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 cos2C=- （1）求 sinC 的值； （2）当 c=2a，且 b=3时，求ABC的面积 17. 运输

3、一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米/小时、120千 米/小时，500千米/小时，每千米的运费分别为：20元、10元、50元这批海鲜在运输过程中每小时 的损耗为 m元（m0），运输的路程为 s（千米）设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自 的总费用（包括运费和损耗费）分别为y1（元）、y2（元）、y3（元） （1）请分别写出 y1、y2、y3的表达式； （2）试确定使用哪种运输工具总费用最省 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为 ，以椭圆C 左顶点 T 222 为圆心作圆 T：（x+2） +y =r （r0）

4、，设圆 T与椭圆 C 交于点 M 与点 N （1）求椭圆 C 的方程； 的最小值，并求此时圆T 的方程；（2）求 （3）设点 P是椭圆 C 上异于 M，N的任意一点，且直线 MP，NP分别与 x轴交于点 R，S，O为坐标 原点，求证：OROS为定值 ，双曲线 C2的方程为 -C1 与 C2的离心率之积为 ，则 C2的渐近线方程为_ 11. 已知无盖的圆柱形桶的容积是12立方米，用来做桶底和侧面的材料每平 方米的价格分别为 30元和 20元，那么圆桶造价最低为_元 12. 在矩形 ABCD中，AB=2，AD=1，点 E，F分别为 BC，CD边上动点，且 的最大值为_满足 EF=1，则 A， B为

5、 x轴正半轴上的两个动点， P13. 在平面直角坐标系 xOy中，（异于原点 O） 22 为 y轴上的一个定点 若以 AB为直径的圆与圆 x + （y-2）=1 相外切， 且APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为_ 14. 对定义在0，1上的函数 f（x），如果同时满足以下两个条件： （1）对任意的 x0，1总有 f（x）0； （2）当 x10，x20，x1+x21 时，总有 f（x1+x2）f（x1）+f（x 2）成立 x 1上 G函数， 则实数 a的取值范围为_则称函数 f（x）称为 G函数 看 h（x）=a2 -1是定义在0， 二、解答题（本大题共 1111小题，共 150.0150

6、.0分） 15. 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是矩形，四条侧棱长均相等 （1）求证：AB平面 PCD； （2）求证：平面 PAC平面 ABCD 第 1 页，共 9 页 22. 已知圆 C 的极坐标方程是 =4cos，以极点为平面直角坐标系的原点， 极轴为 x 轴的正半轴，建立平面 t 为参数），若直线 l与圆 C 相切，求实数 m 的值直角坐标系，直线 l的参数方程是（ 23. 已知函数 f（x）=|x-1|+|x-2|若不等式|a+b|+|a-b|a|f（x）对 a0，a、bR恒成立求实数 x的范围 24. 如图，在底面边长为 1，侧棱长为 2 的正四棱柱 ABCD-A1B

7、1C1D1，中，P 是侧棱 CC1上的一点，CP=m （1）若 m=，求直线 AP与平面 BDD1B1所成角； x-x 19. 已知函数 f（x）=e +be -2asinx（a，bR） （1）若 a=0，b=1，求函数 f（x）的单调区间； （2）b=-1时，若 f（x）0 对一切 x（0，）恒成立，求 a的取值范围 2k 20. 对于给定的正整数 k，若各项均不为 0 的数列an满足：an-k a n-k+1an-1 a n+1 an+k-1an+k=（an） 对任 意正整数 n（nk）总成立，则称数列an是“Q（k）数列” （1）证明：等比数列an是“Q（3）数列” （2）若数列an既是

8、“Q（2）数列”又是“Q（3）数列”证明：数列an是等比数列 21. （选做题）已知矩阵的一个特征值为 3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量 （2）在线段 A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的实数m，都有 D1QAP，并证明你的结论 nn23* +a（ Sn=a1+a2+a3+an25. 附加题： 已知 （x+1）=a0+a（其中 nN ） n x-1）， 1 x-1） 2 x-1）+a（ 3 x-1）+a（ （1）求 Sn； n2 （2）求证：当 n4时，Sn（n-2）2 +2n 第 2 页，共 9 页 答案和解析 1.【答案】1，3 【解析】 解：U=1，2，3，A=2， UA=

9、1，3， 故答案为：1，3 根据补集的定义进行求解即可 本题主要考查集合的基本运算，根据补集的定义是解决本题的关键 2.【答案】-1-2i 【解析】 解：z=i（2+i）=-1+2i， 故答案为：-1-2i 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3.【答案】42 【解析】 解：设抽取的样本为 n， 则由题意得得 n=42人， 故答案为：42 根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论 本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础 4.【答案】15 【解析】 解：根据题中的程序框图，可得： T=1I=3

10、 执行循环体，T=3，I=5 不满足条件 I6，执行循环体，S=15，I=7 此时，满足条件 I6，退出循环，输出 T的值为 15 故答案为：15 由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，模拟程序的运行，即可得到本题答 案 本题主要考查了程序和算法，依次写出每次循环得到的 T，I的值是解题的关键，属于基本知识 的考查 5.【答案】 【解析】 解：将一枚骰子先后抛掷 2次，观察向上的点数， 基本事件总数 n=66=36， “点数之和等于 6”包含的基本事件有： （1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），共 5 个， “点数之和等于 6”的概率为 p= 故答案为： 先

11、求出基本事件总数 n=66=36，再由列举法求出“点数之和等于 6”包含的基本事件的个数，由 此能求出“点数之和等于 6”的概率 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用 6.【答案】 - 【解析】 解：y=f（x）=xcosx， f（x）=cosx-xsinx， f（）=cos-sin=-， 即 y=xcosx在 x=处的处的切线的斜率 k=- 故答案为：- 求出函数的导数，利用导数的几何意义令 x=，即可求出切线斜率即可 本题主要考查导数的计算，以及导数的几何意义，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基 础 7.【答案】 【解析】 第 3 页，共 9 页 解：A

12、A1平面 ABC，AB平面 ABC， AA1AB，又 ABAC，AA 1AC=A， AB平面 AA1C1C， P 是 BC1的中点， V=V =V= 故答案为： 证明 AB平面 AA1C1C，于是 V=V =V 本题考查了棱柱的结构特征，棱锥的体积计算，属于 中档题 8.【答案】3 【解析】 解：f（x）=cos（3x+）=0， 3x+=+k，kZ， x=+k，kZ， 当 k=0时，x=， 当 k=1时，x=， 当 k=2时，x=， 当 k=3时，x=， x0， x=，或 x= ，或 x=， 故零点的个数为 3， 故答案为：3 由题意可得 f（x）=cos（3x+）=0，可得 3x+=+k，k

13、Z，即 x=+k，即可求出 本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于基础题 9.【答案】 【解析】 解：设等差数列an的公差为 d0，a1=1，且 a2+a6=a8 2+6d=1+7d，解得 d= 若 p-q=10则 ap-aq=10d= 故答案为： 设等差数列an的公差为 d0，根据 a1=1，且 a2+a6=a8可得 2+6d=1+7d，解得 d，进而得出结 论 本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 10.【答案】 【解析】 解：椭圆 C1的方程为+=1，离心率 e1= 双曲线 C2的方程为-=1，离心率 e2= C 1 与 C2的离心率

14、之积为 ， = =，解得 C 2 的渐近线方程为 故答案为： 椭圆 C1的方程为 +=1，离心率 e1=双曲线 C2的方程为-=1，离心率 e2= 利用 C1与 C2的离心率之积为 ，即可得出 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 11.【答案】360 【解析】 解：设桶的底面半径为 r，高为 h，则 r2h=12，故 h=， 圆桶的造价为 y=30r2+202r=30r2+ =30r2+ 3=360 当且仅当 30r2=即 r=2 时取等号， 故答案为 360 第 4 页，共 9 页 设桶的底面半径为 r，用 r表示出桶的总造价，根据基本不等式得出最

15、小值 本题考查了函数解析式求解及函数最值的计算，属于中档题 12.【答案】4 【解析】 tanAPB= =|r+1|， =， 22 a =（r+1） -4， 解：建立平面直角坐标系，如图 1所示； tanAPB= 设 E（2，a），F（b，1）， APB的大小恒为定值， EF=1， 22 即（a-1） +（b-2） =1； =， =1， |OP|= 设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），利用差角的正切公式，结合以AB为直径的 圆与圆 x2+（y-2）2=1相外切且APB的大小恒为定值，即可求出线段 OP 的长 本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算

16、能力，属于中档题 14.【答案】 【解析】 =2b+a，又 令 a+2b=t，其中 0a1，0b2； 画出图形，如图 2所示； x 解：因为 h（x）=a2 -1是定义在0，1上 G函数， 所以对任意的 x0，1总有 f（x）0； 则 a 当直线 a+2b=t经过点 F（0，2）时，t 取得最大值 t=4 故答案为：4 22 利用平面直角坐标系，设出点 E、F的坐标，由 EF=1可得（a-1） +（b-2） =1， 对任意的 x0，1恒成立， 解得 a1， 当 a1 时，f（x1+x2）-（f（x1）+f（x2）=a22+1-a2-a2=a（2 -1）（2-1）+1-a0 恒成立， 所以（2-

17、1）（2-1）在 x10，x20，x1+x21 时恒成立， 利用数量积运算求得=2b+a，再用线性规划的知识求出 t=a+2b的最大值 又（2-1）（2-1）在 x10，x20，x1+x21 时的最小值为 0， 即， 本题考查了两点间的距离公式、平面向量的数量积运算、直线与圆的位置关系，也考查了推理 能力和计算能力，是中档题 13.【答案】 【解析】 所以 a1， 即 a=1， 故答案为： 对任意的 x0，1恒成立，解得 a1，又 ，所以a1，即a=1，得解 由不等式恒成立问题常采用分离变量最值法得：a 解：设 O2（a，0），圆 O2的半径为 r（变量），OP=t（常数），则 tanOPA=

18、，tanOPB=， （2-1）（2 -1）在x10，x20，x1+x21时恒成立，即 本题考查了不等式恒成立问题，通常采用分离变量最值法，属中档题 第 5 页，共 9 页 15.【答案】证明：（1）在矩形 ABCD中，ABCD， 又 AB平面 PCD，CD平面 PCD， 所以 AB平面 PCD（6 分） （2）如图，连结 BD，交 AC于点 O，连结 PO， 在矩形 ABCD中，点 O为 AC，BD的中点， 又 PA=PB=PC=PD， 故 POAC，POBD，（9分） 又 AC BD=O，AC，BD平面 ABCD， 所以 PO平面 ABCD，（12分） 又 PO平面 PAC， 所以平面 PA

19、C平面 ABCD（14分） 【解析】 2 （1）利用二倍角公式 cos2C=1-2sin C 求解即可，注意隐含条件 sinC0； （2）利用（1）中的结论，结合正弦定理和同角三角函数的关系易得 sinA，cosA，cosC 的值，又由 sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC 求出 sinB的值，最后由正弦定理求出 a的值，根据三角形 的面积公式即可计算得解 此类问题是高考的常考题型，主要考查了正弦定理、三角函数及三角恒等变换等知识点，同时 考查了学生的基本运算能力和利用三角公式进行恒等变形的技能，属于中档题 17.【答案】解：（1）y1=20s+ ，y2=10s+ ，

20、y3=50s+ ， （2）m0，s0，故 20s10s， y 1y2恒成立，故只需比较y2与 y3的大小关系即可 令 f（s）=y3-y2=40s-=（40- ）s， 故当 40-0 即 m 当 40-0即 m 当 40-=0即 m= 【解析】 （1）由矩形 ABCD，对边平行得到 ABCD，结合线面平行的判定定理得到 AB平面 PCD； （2）连结BD，交AC于点O，连结PO，由在矩形ABCD中，点O为AC，BD的中点，可得POAC， POBD，进而由线面垂直的判定定理得到 PO平面 ABCD，进而由面面垂直的判定定理得到 平面平面 PAC平面 ABCD 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判

21、定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，属 于中档题 16.【答案】（本题满分为 14 分） 2 解：（1）由已知可得 1-2sin C=- 2 所以 sin C= 时，f（s）0，即 y2y3，此时选择火车运输费用最省； 时，f（s）0，即 y2y3，此时选择飞机运输费用最省； 时，f（s）=0，即 y2=y3，此时选择火车或飞机运输费用最省 （1）将运费和损耗费相加得出总费用的表达式； （2）作差比较 y2，y3的大小关系得出结论 本题考查了函数解析式的求解，不等式的大小比较，属于基础题 18.【答案】解：（1）依题意，得 a=2， ， 因为在ABC中，sinC0， 所以 sinC=（

22、6分） （2）因为 c=2a， 所以 sinA= sinC= 因为ABC是锐角三角形， 所以 cosC=，cosA= c=，b= =1， 故椭圆 C 的方程为（3 分） +=所以 sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= 由正弦定理可得：， （2）方法一：点 M与点 N关于 x 轴对称， 设 M（x1，y1），N（x1，-y1），不妨设 y10 由于点 M在椭圆 C 上，所以（*）（4分） 所以 a=（13分） 所以 SABC= absinC= =（14分） ，由已知 T（-2，0），则 ， =（x1+2）2- = 【解析】 第 6 页，共 9 页 =（6 分） 由于-

23、2x12， 故当时，取得最小值为 由（*）式，故， 又点 M 在圆 T上，代入圆的方程得到 故圆 T 的方程为：（8 分） 方法二：点 M与点 N关于 x 轴对称， 故设 M（2cos，sin），N（2cos，-sin）， 不妨设 sin0，由已知 T（-2，0）， 则， =（2cos+2）2-sin2 =5cos2+8cos+3 =（6 分） 故当时，取得最小值为， 此时， 又点 M 在圆 T上，代入圆的方程得到 故圆 T 的方程为： （8 分） （3）方法一：设 P（x0，y0）， 则直线 MP的方程为：， 令 y=0，得， 同理：，（10分） 故（*） （11 分） 又点 M 与点 P

24、在椭圆上， 故，（12分） 代入（*）式， 得： 所以|OR|OS|=|xR|xS|=|xRxS|=4为定值 （14分） 方法二：设 M（2cos，sin），N（2cos，-sin）， 不妨设 sin0，P（2cos，sin），其中 sinsin 则直线 MP的方程为：， 令 y=0，得， 同理：，（12分） 故 所以|OR|OS|=|xR|xS|=|xRxS|=4为定值（14分） 【解析】 （1）依题意，得 a=2，由此能求出椭圆 C 的方程 （2）法一：点 M 与点 N关于 x 轴对称，设 M（x1，y1），N（x1，-y1），设 y10由于点 M 在椭圆 C 上，故由 T（-2，0），知

25、=，由此能 求出圆 T的方程 法二：点 M 与点 N关于 x 轴对称，故设 M（2cos，sin），N（2cos，-sin），设 sin0，由 T（-2， 0），得 =，由此能求出圆 T 的方程 （3）法一：设 P（x0，y0），则直线 MP 的方程为： ，令 y=0，得 ，同理：，（10分）故，由此能够证明 |OR|OS|=|xR|xS|=|xRxS|=4为定值 法二：设M（2cos，sin），N（2cos，-sin），设sin0，P（2cos，sin），其中sinsin则直线 MP 的方程为：，由此能够证明|OR|OS|=|xR|xS|=|xRxS|=4 为定值 本题考查椭圆的方程和几何性

26、质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力， 考查函数与方程思想、数形结合思想 19.【答案】解：（1）当 a=0，b=1时，f（x）=ex+e-x， f（x）=ex-e-x， 令 f（x）=0，解得 x=0， 当 x0 时，f（x）0，当 x0 时，f（x）0， 函数 f（x）在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增； （2）当 b=-1时，f（x）=ex-e-x-2asinx， 由于 f（x）0对一切 x（0，）恒成立， （2）当 b=-1时，函数 f（x）=ex-e-x-2asinx， 又当 x（0，）时 sinx0， f（x）0 对任意 x（0，）恒成立等价于 2a恒

27、成立， 记 g（x）=，其中 0x，则 g（x）= ， 第 7 页，共 9 页 xx-x-x 令 h（x）=e （sinx-cosx）+e （sinx+cosx），则 h（x）=2（e -e ）sinx0， h（x）在（0，）上单调递增，h（x）h（0）=0， g（x）0 恒成立，从而 g（x）在（0，）上单调递增，g（x）g（0）， 由（-1）（-1）-4=0得 2=-1，（5 分） 设 2=-1对应的一个特征向量为 ， 则得 a=-y（8 分） 令 x=1则 y=-1， 所以矩阵 M 的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为（10分） 【解析】 由洛必达法则可知，g（0）= =2， 2a

28、1，即 a的取值范围是（-，1 【解析】 （1）求导，根据导数和函数单调性关系即可求出， （2）通过分离参数可知条件等价于2a恒成立，进而记g（x）=，问题转化为求g 根据特征多项式的一个零点为 3，可得 x=1，再回代到方程 f（）=0即可解出另一个特征值为 2=-1，最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量 本题主要考查了特征值与特征向量的计算的知识，同时考查了计算能力，属于基础题 （x）在（0，）上的最小值问题，通过二次求导，结合洛必达法则计算可得结论 本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，涉及分离参数法等技巧，涉及罗比 达法则等知识，注意解题方法的积累，属

29、于难题 20.【答案】证明：（1）an是等比数列，由等比数列的性质可得： =an-3 a n-2 a n-1 a n+1 a n+2 a n+3=an-3 a n+3 a n-2 a n+2 a n-1 a n+1= an为“Q（3）数列”； （2）证明：an既是“Q（2）数列”，又是“Q（3）数列”， a n-2 a n-1 a n+1 a n+2= ，（*） an-3 a n-2 a n-1 a n+1 a n+2 a n+3= * 可得：an-3an+3=对于任意 nN （n4）都成立 a 3，a4，a5，成等比数列，设公比为q a a a a =n=3，4时，由（*）可得：， 2 3

30、5 6 ， 可得 a1q=a2，a2q=a3 an是等比数列 22.【答案】解：由 =4cos，得 2=4cos， 22 x +y =4x， 22 即圆 C的方程为（x-2） +y =4， 圆的圆心坐标为（2，0），半径为 2 t，得 x-y-m=0，又由消 直线 l与圆 C相切， 圆心到直线的距离等于半径 ， 解得 【解析】 将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再根据直线 l 与圆 C 相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求实数 m 的值 【解析】 （1）由an是等比数列，由等比数列的性质可得： an-3an-2an-1an+1an+2an+3=an-3a

31、n+3an-2an+2an-1an+1=即可证明； ， 本题重点考查方程的互化，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离等 于半径，研究直线与圆相切 23.【答案】解：由|a+b|+|a-b|a|f（x）（a0，a、bR）恒成立，得 又因为 （2）an既是“Q（2）数列”，又是“Q（3）数列”，可得 an-2an-1a n+1an+2= an-3an-2an-1an+1an+2an+3=则 an-3an+3=对于任意 nN*（n4）都成立则 a3，a4，f（x）（3 分） a5，成等比数列，设公比为 q验证 a1q=a2，a2q=a3得答案 本题考查了数列递推关系、等比数列的定

32、义通项公式、新定义，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 21.【答案】解：矩阵 M的特征多项式为=-1 （）（-a）-4（1分） =2，则有 2f（x）（6分） 不等式即|x+1|+|x-2|2，由于|x+1|+|x-2|表示数轴上的 x 对应点到-1和 2对应点的距离之和，其最小值为3， 故|x+1|+|x-2|2 不可能，故实数 x 的范围为（10分） 【解析】 由题意可得f（x），而由绝对值不等式的性质可得的最小值为 2， 因为 1=3方程 f（）=0的一根，所以 a=1（3分） 第 8 页，共 9 页 故 2f（x）由绝对值的意义可得|x+1|+|x-2|2 不可能成立，由此可得到实数 x 的范围 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的性质，函数的恒成立问题，属于中档题 24.【答案】解：（1）连接 AC交 BD于 O，设 AP与平面 BDD1B1的公共点为 M，连接 OM， 则平面 ACP平面 BDD1B1=OM， 四边形 ABCD是正方形，ACBD， BB1平面 ABCD