2019年河南省洛阳市高考数学三模试卷(理科)解析版

1、20192019 年河南省洛阳市高考数学三模试卷（理科）年河南省洛阳市高考数学三模试卷（理科） 一、选择题（本大题共 1212小题，共 60.060.0分） 1.若复数 z 满足（3-4i）z=|4+3i|，则 的虚部为（） 2 B两点， O为坐标原点，9.已知抛物线 y =4x的焦点为 F， 过焦点 F 的直线交抛物线于 A、若|AB|=6， 则AOB 的面积为（） A.B.C.D.4 10. 若 m，n，p（0，1），且 log3m=log5n=lgp，则（ ） A.B.C.D.A.B.C.D. 2 2.设全集 U=R，A=x|x -2x0，B=x|ln（1-x）0，则 A （UB）=（）

2、 A.B.C.D. 3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图 2所示为了了解该地区中小学生的近视形成原 因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（） 11. 函数的图象与函数 g（x）的图象关于直线对称，则关于函数 y=g（x）以下说 法正确的是（） A.最大值为 1，图象关于直线 对称 C.在 B.在上单调递减，为奇函数 D.周期为 ，图象关于点 对称上单调递增，为偶函数 x 12. 已知函数 f（x）=（kx-2）e -x（x0），若f（x）0）的解集为（s，t），且（ s，t）中恰有两个整数， 则实数 k的取值范围为（） A.B.C.D

3、. 二、填空题（本大题共4 4 小题，共 20.020.0分） n2 13. 若，则的展开式中，含 x 项的系数为_ A.200，20B.100，20C.200，10D.100，10 4.在等比数列an中，a1a3=a4=4，则 a6=（） A.6B.C.D.8 5.已知，点 C（-1，0），D（4，5），则向量在方向上的投影为（） A. 14. 甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是团支书，一位是学习委员，已知丙比、学习委员的年 龄大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙的年龄小，据此推断班长是_ 15. 若数列an满足 a1=1， 且对于任意的nN*都有 a n+1=an+n+1， 则 =

4、_ B.C.D. 6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（） A. B. C. D. 7.执行如图的框图， 若输入的N是 7， 则输出 p的值是 （） A.720 B.120 C.5040 D.1440 8.欧阳修卖油翁中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以 杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿可见“行行出状元”，卖油翁的技艺 让人叹为观止若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴 油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是（） F分别是棱 C1D1，16. 如图所示， 在棱长为 6 的正方体 ABCD-A1B1C1D

5、1中， 点 E， B1C1的中点，过 A，E，F三点作该正方体的截面， 则截面的周长为_ 三、解答题（本大题共7 7 小题，共 82.082.0分） 17. 在ABC中，已知内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，向量， ，且，B为锐角 （1）求角 B的大小； （2）设 b=2，求ABC的面积 SABC的最大值 18. 如图，四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为菱形，PA底面 ABCD，PA=2，E是 PC上的一 点，PE=2EC （）证明：PC平面 BED； （）设二面角 A-PB-C为 90，求 PD 与平面 PBC所成角的大小 A.B.C.D. 第 1 页，共 9 页 20.

6、在平面直角坐标系 xoy中，椭圆 E：（a0，b0）经过点 A（，），且点 F（0，-1） 19. 某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会 发生一定的变化，经过试点统计得到以如表： 反馈点数 t 销量（百件）/天 1 0.5 2 0.6 3 1 4 1.4 5 1.7 （1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量y（百件）与返还点数 t之间的相关关系请 用最小二乘法求 y关于 t的线性回归方程 y=bt+a，并预测若返回 6个点时该商品每天销量； （2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销

7、调研机构对其中的 200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查， 得到如下一份频数表： 返还点数预期值区间 （百分比） 频数 1，3） 3，5） 2060 5，7） 60 7，9） 30 9，11）11，13） 2010 为其一个焦点 （）求椭圆 E的方程； 2 （）设椭圆E与 y轴的两个交点为 A1，A2，不在y 轴上的动点 P在直线 y=b 上运动，直线PA1，PA2 分别与椭圆 E 交于点 M，N，证明：直线 MN通过一个定点，且FMN的周长为定值 21. 已知函数 f（x）=lnx-kx，其中 kR 为常数 （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个相异零点

8、 x1，x2（x1x2），求证：lnx22-lnx1 22. 已知极点与坐标原点O 重合，极轴与 x轴非负半轴重合，M 是曲线 C：=2sin上任一点，点 P 满足 设点 P 的轨迹为曲线 Q （1）求曲线 Q的平面直角坐标方程； （2）已知曲线Q向上平移 1个单位后得到曲线 N，设曲线N 与直线：为参数）相交于A，B 两点，求|OA|+|OB| 23. 已知函数 f（x）=|x-5| （1）解不等式：f（x）+f（x+2）3； （2）若 a0，求证：f（ax）-f（5a）af（x） （i） 求这 200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值X的样本平均数及中位数的估计值 （同 一区间的

9、预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）； 3）13的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲 （ii） 将对返点点数的心理预期值在1，和11， 望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取 6名，再从这 6 人中随机抽取 3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“欲望膨胀型”消费者的人数为随机变量X，求X 的分布列及数学期望 参考公式及数据：，； 第 2 页，共 9 页 答案和解析 1.【答案】B 【解析】 解：由（3-4i）z=|4+3i|，得 z=， 的虚部为 故选：B 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得 z，进一步得到 得答案 本题

10、考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 2.【答案】C 【解析】 解：A=x|x2-2x0=x|0x2，B=x|ln（1-x）0=x|01-x1=x|0x1， 则 UB=x|x1 或 x0， 则 A（UB）=x|1x2， 故选：C 求出集合的等价条件，结合集合补集交集的定义进行求解即可 本题主要考查集合的基本运算，结合集合补集交集的定义是解决本题的关键 3.【答案】A 【解析】 解：由图 1 得样本容量为（3500+2000+4500）2%=100002%=200， 抽取的高中生人数为 20002%=40人， 则近视人数为 400.5=20 人， 故选：A 根据分层抽样的定

11、义建立比例关系即可得到结论 本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键 4.【答案】D 【解析】 解：设等比数列an的公比为 q，a1a3=a4=4，=4， 解得 a1=q=， 则 a6= =8 故选：D 利用等比数列的通项公式即可得出 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题 5.【答案】A 【解析】 解：，点 C（-1，0），D（4，5）， 可得=（5，5）， =25+15=15， |=5， 可得向量在方向上的投影为： = 故选：A 运用向量的加减运算可得=（5，5），运用向量的数量积的坐标表示，以及向量在方 向上的投影为

12、，即可得到所求值 本题考查向量的数量积的坐标表示，以及向量的投影的概念，考查运算能力，属于基础题 6.【答案】B 【解析】 解：由已知三视图得到几何体是底面半径为 2，高为 3的圆柱的，所以几何体的体积为 ； 故选：B 由已知三视图得到几何体是底面半径为 2，高为 3的圆柱的，由此计算体积即可 本题考查了几何体的三视图；关键是正确还原几何体的形状，利用公式求体积 第 3 页，共 9 页 7.【答案】C 【解析】 丨 AB丨=x1+x2+p= |y1-y2|= +2+2=6，则 k= =2， ， 解：若 N=7，p=1，k7 是，k=2， p=2，k7 是，k=3， p=6，k7 是，k=4，

13、p=24，k7 是，k=5， p=120，k7 是，k=6， p=720，k7 是，k=7， p=5040，k7 否，输出 p=5040， 故选：C 根据程序框图进行模拟运算即可 本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键 8.【答案】D 【解析】 SAOB=SAOF+SBOF=|OF|y1-y2|=12 AOB 的面积 故选：A ， =， 求得焦点坐标，将直线方程代入抛物线方程，利用抛物线的焦点弦公式求得k的值，则SAOB= |OF|y1-y2|，即可求得AOB的面积 本题考查抛物线的焦点弦公式，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，三角形的面积公式， 考查计算能力，属

14、于中档题 10.【答案】A 【解析】 解：如图所示： 故选：D 本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的 大小，然后代入几何概型计算公式进行求解 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度 量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件 A的基本事件对应 ， 解：m，n，p（0，1），且 log3m=log5n=lgp=k， kkk lgm，lgn，lgp0，m=3，n=5 ，p=10 ， 因为 同理 所以 =，= ， =，=， ， ， =53=125，所以 =10，所以=55=25， 0

15、， k 又因为 y=x（k0）在（0，+）上单调递减， 即 的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据 P= 9.【答案】A 【解析】 2 解：根据题意，抛物线 y =4x 的焦点为 F（1，0） 求解 故选：A kkk 令 log3m=log5n=lgp=k，则 k0，则 m=3 ，n=5 ，p=10 ， = k =，=，= = 设直线 AB的斜率为 k，可得直线 AB的方程为 ，比较、 、的大小，再转化为函数 y=x （k0）的单调性处理即可 本题借助对数相等，考查了两个数的大小比较，幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力， y=k（x-1），设 A（x1，

16、y1）、B（x2，y2）， 由 2 ，消去 x，得 y -y-4=0， 属于中档题 11.【答案】B +2， 【解析】 y1+y2=，y1y2=-4则 x1+x2=+2= 第 4 页，共 9 页 解：函数 则：g（x）=f（ 所以函数在（ 故选：B ）= 的图象与函数 g（x）的图象关于直线 ， 对称， 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件进行转化，利用数形结合建立不等式关系是解决本 题的关键综合性较强，有一定的难度 13.【答案】-2295 【解析】 ）为单调递减的奇函数， 解：若 则 =6sinx n =6， =（-2x2 ）（x6+18+135x3+160 +1215+4374直接利用

17、函数的对称性求出函数的关系式，进一步求出结果 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考察学生的 运算能力和转换能力，属于基础题型 12.【答案】D 【解析】 xx 解：由 f（x）=（kx-2）e -x0，得（kx-2）e x， =（-2x2） +729x-3） 展开式中， 2 1215=-2295，含 x 项的系数为 135-2 故答案为：-2295 利用定积分的运算求得 n=6，再利用二项式定理把 2 展开式中，含 x 项的系数 展开，可得 n 的 即 kx-2 设 h（x）= h（x）= ，（x0）， ，（x0）， =， 本题主要考查定积分的运算，二项式

18、定理的应用，属于中档题 14.【答案】乙 【解析】 由 h（x）0 得 0x1，函数 h（x）为增函数， 由 h（x）0 得 x1，函数 h（x）为减函数， 即当 x=1 时，f（x）取得极大值，极大值为 h（1）=， 要使 kx-2，（x0），在 s，t）中恰有两个整数，则 k0 时，不满足条件 ，当 x=3 时，h（3）=，即 A（2，），B（3，）， 解：由甲与团支书的年龄不同，团支书比乙的年龄小，可得丙是团支书， 丙比学习委员的年龄大比乙的年龄小，即乙不是学习委员，即甲是学习委员， 则乙是班长， 故答案为：乙 先阅读题意，再结合简单的合情推理可得解 本题考查了阅读能力及简单的合情推理，

19、属中档题 15.【答案】 【解析】 则 k0，当 x=2 时，h（2）= 则当直线 g（x）=kx-2 在 A，B之间满足条件，此时两个整数解为 1，2， 此时满足，即得，即+k1+， 即 k 的取值范围是 故选：D 由 f（x）0得 kx-2 +，1+）， 解：由 an+1=an+n+1，得 an+1-an=n+1， a n=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（a2-a1）+a1 =n+（n-1）+（n-2）+2+1= ， ，（x0），构造函数，求函数的导数，作出两个函数的图象，结合不等式 解集中恰有两个整数，建立不等式关系，利用数形结合进行求解即可 第 5 页，共 9 页 则 故

20、答案为： =2（1-+）= （1）根据向量平行的条件得到=，利用二倍角的正弦、余弦函数公式及同角 由已知利用累加法求得数列an的通项，再由裂项相消法求和得答案 本题考查数列递推式，训练了利用裂项相消法求数列的前 n项和，是中档题 16.【答案】6+3 【解析】 三角函数间的基本关系化简可得 tan2B的值，根据 B为锐角，得到 2B的范围，利用特殊角的三 角函数值求出 B即可； （2）根据求出的 B的度数和 b等于 2，由余弦定理得到一个关于 a和 c的关系式，利用基本不等 式求出 ac的最大值，利用面积公式表示出三角形的面积，根据 ac的最大值即可得到面积的最 大值 此题考查学生掌握向量平行

21、时的条件，灵活运用余弦定理和三角形的面积公式化简求值，灵活 运用同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值化简求值，会利用基本不等式求函数 解：如图，延长 EF、A1B1相交于 M，连接 AM交 BB1于 H， 延长 FE、A1D1相交于 N，连接 AN交 DD1于 G， 可得截面五边形 AHFEG ABCD-A1B1C1D1是边长为 6的正方体，且 E，F分别是棱 C 1D1，B1C1 的中点， ，AG=AH=EF=3 截面的周长为 6 故答案为：6+3 +3 =2，EG=FH= 的最值，是一道综合题 18.【答案】解：（I）以 A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系 A-xyz， 设 D

22、（，b，0），则 C（2，0，0），P（0，0，2），E（， 延长 EF、A1B1相交于 M，连接 AM交 BB1于 H，延长 FE、A1D1相交于 N，连接 AN交 DD1 于 G，可得截面五边形 AHFEG由此能求出截面的周长 本题考查截面周长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算 求解能力、函数与方程思想，是中档题 得17.【答案】解：（1）由 即即 又B为锐角，2B（0，） （2） ， 由余弦定理 22 得 a +c -ac-4=0 0， ），B（，-b，0） =（2，0，-2），=（ ，b， ）， =（，-b， ） =0 = - =0， PCBE，PCDE

23、，BEDE=E PC平面 BED =（0，0，2），=（，-b，0） （II） =（x，y，z），则设平面 PAB的法向量为 =（b， ，0）取 =（p，q，r），则设平面 PBC的法向量为 =（1，-，）取 =b- =0故 b=平面 PAB平面 PBC， =（1，-1，），=（- ，-，2） = cos， 设 PD与平面 PBC所成角为 ，0， ，则 sin= =30 ，； 22 又a +c 2ac，代入上式得 ac4（当且仅当 a=c=2时等号成立） （当且仅当 a=c=2时等号成立） ABC面积的最大值为 【解析】 第 6 页，共 9 页 PD 与平面 PBC所成角的大小为 30 【解析

24、】 （1）利用已知条件，求出线性回归的对称中心的坐标，然后求解回归直线方程，y=bt+a，通过返 ，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用回 6个点时求解该商品每天销量； （2）（i）根据题意，这 200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值 X的平均值 ，然 后求解中位数的估计值即可 （ii）抽取 6 名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为 即可求解期望 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力 ，求出 X的可能值，然后求解概率， （I）先由已知建立空间直角坐标系，设 D（ 向量垂直的充要条件，证明 PCBE，PCDE，从而利用线面垂直的判定定理证明

25、结论即可； （II）先求平面 PAB的法向量，再求平面 PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得 b 的 值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角 本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的 判定定理，空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题 【答案】 解： （1） 易知19. ， 20.【答案】解：（）根据题意可得 ， 可解得 椭圆 E 的方程为，（4 分） （）不妨设 A1（0，2），A2（0，-2） P（x0，4）为直线 y=4上一点（x00），M（x1，y1），N（x2，y2） ，直线 PA1方程为，直线 PA2方

26、程为 y1）A（2）点 M （x1，的坐标满足方程组可得 1 0， 则 y关于 t的线性回归方程为， 当 t=6时，即返回 6个点时该商品每天销量约为2 百件（6分） （2）（i）根据题意，这 200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值X 的平均值 ， 及中位数的估计值分别为：， 中位数的估计值为（8分） 可得NxyA0-2点（ 2，2），2（ ， ）的坐标满足方程组 （ii）抽取 6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为，“欲望膨胀型”消费者人数为 . ， 由于椭圆关于 y 轴对称，当动点P 在直线 y=4上运动时，直线 MN通过的定点必在 y轴上， 当 x0=1时，直线 MN的方程为

27、 ，令 x=0，得 y=1可猜测定点的坐标为（0，1），并记这个 定点为 B ， 则直线 BM的斜率 kBM= 2 = 故随机变量 X 的分布列为 X P 01 直线 BN 的斜率 kBN= E（X）=2 +1 +0 =1（12分） 【解析】 k BM=kBN，即 M，B，N 三点共线，故直线 MN通过一个定点 B（0，1）， 又F（0，-1），B（0，1）是椭圆 E的焦点， FMN周长=|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8 【解析】 第 7 页，共 9 页 （）根据题意可得 （）不妨设 A1（0，2），A2（0，-2） P（x0，4）为直线 y=4上一点（x00），M（x1，y1

28、），N（x2，y2） 直线 PA1方程为 的坐标 ，直线 PA2方程为，分别与椭圆联立即可得到点 M，N 解出即可； g（t）g（1）=0， lnt， lnx1+lnx22， 即 lnx22-lnx1 【解析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 k的范围，求出函数的单调区间即可； （2）问题转化为 ，即 ln，设 t=1，上式转化为 lnt （t1），设 g（t）=lnt- 由于椭圆关于 y轴对称，当动点 P 在直线 y=4上运动时，直线 MN通过的定点必在 y轴上， ，根据函数的单调性证明即可 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查分类讨论思想方法和构造 当 x0=1时，直线 MN的方程为 记这个定点为 B 再证明 kBM=kBN，即 M，B，N三点共线即可 又 F（0，-1），B（0，1）是椭圆 E的焦点，利用椭圆的定义即可得出FMN 的周长 熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到方程组、三点共 线与斜率的关系等是解题的关键 21.【答案】解：（1）f（x）= -k= ，令 x=0，得 y=1可猜测定点的坐标为（0，1），并 函数法，以及转化思想的运用，考查化