2019高中数学专题复习数列的通项与数列求和

1、第 1 页 共 9 页 ( (十一十一) )数列的通项与数列求和数列的通项与数列求和( (注意命题点的区分度注意命题点的区分度) ) 一、选择题一、选择题 1 1 (2017(2017 安溪质检安溪质检) )数列数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n， 已知已知S Sn n1 12 23 34 4( (1)1) 则则S S17 17 ( () ) A A9 9 C C1717 B B8 8 D D1616 n n1 1 n n， 解析：解析： 选选 A AS S17 17 1 12 23 34 45 56 61515161617171 1( (2 23)3)( (4 45)

2、5)( (6 6 7)7)( (141415)15)( (161617)17)1 11 11 11 19.9. 2 2若数列若数列 a an n 的通项公式为的通项公式为a an n2 2n n1 1，令，令b bn n 为为( () ) A.A.2 2 C.C. 1 1 ，则数列，则数列 b bn n 的前的前n n项和项和 a a 1 1 a a2 2a an n n n1 1 n n2 2 3 3 B.B. 4 42 2 3 3 D.D. 4 4 2 2 2 2n n3 3 n n1 1n n2 2 2 2n n3 3 n n1 1n n2 2 n n1 1 n n2 2 解析：选解析：

3、选 B B易得易得a a1 1a a2 2a an nn n 3 32 2n n1 1 n n( (n n2)2)，所以，所以b bn nn n 1 11 1 n n2 22 2 2 2n n3 3 1 1 1 1 ，故 ，故T T1 1 1 11 1 1 1 1 1 3 3. . n n n n2 2 n n 2 2 2 2n n1 1n n2 2 4 42 2n n1 1n n2 2 3 3(2018(2018 届高三湖南十校联考届高三湖南十校联考) )已知已知S Sn n是数列是数列 a an n 的前的前n n项和，且项和，且S Sn n 1 1 S Sn na an n3 3， a

4、a 4 4 a a5 52323，则，则S S8 8( () ) A A7272 C C9292 B B8888 D D9898 解析：选解析：选 C C法一：由法一：由S Sn n 1 1 S Sn na an n3 3，得，得a an n 1 1 a an n3 3， 数列数列 a an n 是公差是公差d d3 3 的等差数列，的等差数列， 又又a a4 4a a5 523232 2a a1 17 7d d2 2a a1 12121， a a1 11 1，S S8 88 8a a1 18 8 7 7d d 92.92. 2 2 法二：由法二：由S Sn n 1 1 S Sn na an

5、n3 3，得，得a an n 1 1 a an n3 3，数列，数列 a an n 是公差为是公差为 3 3 的等差数列，的等差数列，S S8 8 8 8a a1 1a a8 8 2 2 8 8 a a 4 4 a a5 5 2 2 92.92. 4 4已知数列已知数列 a an n 的通项公式的通项公式a an nloglog2 2 成立的自然数成立的自然数n n( () ) A A有最大值有最大值 6363 C C有最大值有最大值 3131 n n1 1 * * ( (n nN N ) )，设，设 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，则使，则使S Sn n 5 5 n n

6、2 2 B B有最小值有最小值 6363 D D有最小值有最小值 3131 第 2 页 共 9 页 n n1 1 2 23 3n n1 1 2 2 3 3 解析：选解析：选 B BS Sn na a1 1a a2 2a an nloglog2 2loglog2 2loglog2 2loglog2 2 n n 2 2 3 34 4n n2 2 3 34 4 loglog2 2 2 22 2 5 56 6* * 5 5，2 ，n n62.62.又又n nN N ，n n有最小值有最小值 63.63. n n2 2n n2 2 * * 5 5设设 a an n 是正项数列，其前是正项数列，其前n n

7、项和项和S Sn n满足满足 4 4S Sn n( (a an n1)1)( (a an n3)(3)(n nN N ) )，则数列，则数列 a an n 的通项公式的通项公式a an n( () ) A A2 2 1 1 C C2 2n n1 1 n n B B2 2 1 1 D D2 2n n1 1 n n 解析：选解析：选 D D由由 4 4S Sn n( (a an n1)(1)(a an n3)3)， 得得 4 4S Sn n 1 1 ( (a an n 1 1 1)1)( (a an n 1 1 3)3)，n n2 2， 两式相减得两式相减得( (a an na an n 1 1)

8、( )(a an na an n 1 1 2)2)0.0. 又又 a an n 是正项数列，是正项数列， a an na an n 1 1 2 20(0(n n2)2)， 则数列则数列 a an n 是公差为是公差为 2 2 的等差数列，的等差数列，a a1 13 3， a an n2 2n n1.1. 6 6已知数列已知数列 2 015,2 016,12 015,2 016,1，2 0152 015，2 0162 016，这个数列的特点是从第二项起，这个数列的特点是从第二项起， 每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 2 0172 017 项

9、和项和S S2 017 2 017 等于等于( () ) A A2 0182 018 C C1 1 B B2 0152 015 D D0 0 解析：选解析：选 B B由已知得由已知得a an na an n 1 1 a an n 1 1( (n n 2)2)，a an n 1 1 a an na an n 1 1，故数列的前 ，故数列的前 8 8 项依次为项依次为 2 015,2 016,12 015,2 016,1，2 0152 015，2 0162 016，1,2 015,2 016.1,2 015,2 016.由此可知数列为周期数列，且周期由此可知数列为周期数列，且周期 为为 6 6，S

10、 S6 60.0.2 0172 0176 63363361 1，S S2 017 2 017 2 015.2 015. n n 1 1n n为奇数为奇数， 7 7 已知数列已知数列 a an n 的通项公式的通项公式a an n n n n n为偶数为偶数， 则则a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4a a99 99 a a100 100 ( () ) A A4 8004 800 C C5 0005 000 B B4 9004 900 D D5 1005 100 解析：解析： 选选 C C由题意得由题意得a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4a a99 99 a a100

11、100 0 02 22 24 44 498989898100100 2(22(24 46 698)98)1001002 249 492 29898 2 2 1001005 000.5 000. 1 1 * * 8 8已知数列已知数列 a an n 是等比数列，是等比数列，a a2 22 2，a a5 5 ，则，则a a1 1a a2 2a a2 2a a3 3a an na an n 1 1( (n n N N ) )的取值范的取值范 4 4 围是围是( () ) A A12,1612,16 B.B. 8 8， 3232 3 3 第 3 页 共 9 页 C.C. 8 8， 3232 3 3 1

12、6 163232 D.D. ， 3 33 3 1 1 解析：选解析：选 C C因为因为 a an n 是等比数列，是等比数列，a a2 22 2，a a5 5 ， 4 4 a a 5 5 1 11 1a a1 1a a2 21 1q q2 2n n3232 2 2n n 所以所以q q ，即，即q q ，a a1 14 4，故，故a a1 1a a2 2a a2 2a a3 3a an na an n 1 1 (1(1q q) ) 2 2a a 2 2 8 82 21 1q q3 3 3 3 3232 8 8， ，故选，故选 C.C. 3 3 5 51 1 1 1 n n1 1 9 9(201

13、7(2017宁波二模宁波二模) )已知在数列已知在数列 a an n 中，中，a a1 1 ，a an n 1 1 a an n ，则，则a an n( () ) 6 63 3 2 2 3 32 2 A.A. n n n n 2 23 3 1 12 2 C.C. n n n n 2 23 3 2 23 3 B.B. n n n n 3 32 2 2 21 1 D.D. n n n n 3 32 2 1 12 2 n n 1 1 n n1 1n n1 1n n1 1 解析：选解析：选 A A法一：法一：a an n 1 1 a an n 两边同时乘以两边同时乘以 2 2，得，得 2 2a an

14、n 1 1 (2(2 a an n) )1 1， 3 33 3 2 2 2 2 n n 令令b bn n2 2 a an n，则，则b bn n 1 1 b bn n1 1， 3 3 2 2 即即b bn n 1 1 3 3 ( (b bn n3)3)， 3 3 4 42 2 所以数列所以数列 b bn n33是以是以b b1 13 3 为首项，为首项， 为公比的等比数列，为公比的等比数列， 3 33 3 4 4 2 2 n n1 1 2 2 n n 所以所以b bn n3 3 ，b bn n3 32 2 ， 3 3 3 3 3 3 b bn n3 32 2 所以所以a an n n n n

15、n n n. . 2 22 23 3 1 1 1 1 n n1 1n n1 1 法二：法二：a an n 1 1 a an n 两边同时乘以两边同时乘以 3 3， 3 3 2 2 得得 3 3n n 1 1 3 3 n n1 1n n a an n 1 1 3 3 a an n ， 2 2 3 3 n n1 1n n 令令b bn n3 3 a an n，则，则b bn n 1 1 b bn n ， 2 2 3 3 n n 3 3 n n1 1 3 3 2 2 可得可得b bn nb bn n 1 1 ，b bn n 1 1 b bn n 2 2 ，b b2 2b b1 1 ， 2 2 2 2

16、 2 2 3 3 2 2 3 3 n n 以上各式累加可得以上各式累加可得b bn nb b1 1 ， 2 2 2 2 5 55 53 3 又又b b1 13 3a a1 13 3 1 1 ， 6 62 22 2 3 3 3 3 2 2 b bn n3 32 2 3 3 n n 3 3 n n1 1 所以所以b bn n1 1 2 2 2 2，a an n n n n n n n. . 2 2 2 2 3 32 23 3 2 2 2 2 第 4 页 共 9 页 1010(2017(2017福州二模福州二模) )已知公比不为已知公比不为 1 1 的等比数列的等比数列 a an n 的前的前n n

17、项和为项和为S Sn n，满足，满足S S6 663 63， ， 3232 且且a a2 2，a a4 4，a a3 3成等差数列，若数列成等差数列，若数列 b bn n 满足满足b bn nnanan n，则数列，则数列 b bn n 的前的前 1010 项和项和T T10 10 为为( () ) 6363 A.A.48 48 5353 C.C.38 38 5353 B.B.48 48 7373 D.D.48 48 6363 S S 6 6 ， 3232 解解析析：选选 A A设设数数列列 a an n 的的首首项项为为a a1 1，公公比比为为q q，由由题题意意得得 a a 2 2 a

18、a3 32 2a a4 4 a a 1 1 1 1q q6363 ， 3232 1 1q q a a 1 1q q a a1 1q q2 22 2a a1 1q q3 3 6 6a a 1 1 3 3， 1 1 q q 2 2 a an n3 3 n n 1 1. .于是 于是b bn n3 3n n n n 1 1. . 2 22 2 T T 1010 3 3 0 03 32 2 1 13 33 3 2 23 31010 9 9， 2 22 22 22 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 1010 T T10 10 3 3 3 32 2 3 33 3 3 31

19、010 ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 9 9 1 1 1010 得得T T10 10 3 3 3 3 3 3 3 3 3030 ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 1 16363 整理得整理得T T10 10 2020 . . 3 3 1 0241 02448483 3 5 5 1111设设S Sn n是公差不为是公差不为 0 0 的等差数列的等差数列 a an n 的前的前n n项和，项和，S S1 1，S S2 2，S S4 4成等比数列，且成等比数列，且a a3 3 ， 2 2

20、则数列则数列 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2n n1 1 的前的前n n项和项和T Tn n( () ) a an n A A2 2n n 1 1 2 2n n C C2 2n n 1 1 n n B.B.2 2n n 1 1 2 2n n D.D.2 2n n 1 1 n n 解析：选解析：选C C设设 a an n 的公差为的公差为d d，因为，因为S S1 1a a1 1，S S2 22 2a a1 1d d2 2a a1 1 a a1 1a a1 115 15. . 2 2 a a 3 3 a a1 13 3 2 2 5 5 a a1 1 ，S S4 4

21、3 3a a3 3 2 24 4 因为因为S S1 1，S S2 2，S S4 4成等比数列，成等比数列， 5 5 2 2 1515 3 3 所以所以 a a1 1 a a1 1 a a1 1， 4 4 2 2 2 2 第 5 页 共 9 页 5 51 1 2 2 整理得整理得 4 4a a1 11212a a1 15 50 0，解得，解得a a1 1 或或a a1 1 . . 2 22 2 5 5 当当a a1 1 时，公差时，公差d d0 0，不符合题意，舍去；，不符合题意，舍去； 2 2 1 1a a3 3a a1 1 当当a a1 1 时，公差时，公差d d1 1， 2 22 2 1

22、11 11 1 所以所以a an n ( (n n1)1)( (1)1)n n (2(2n n1)1)， 2 22 22 2 所以所以 1 1 2 2n n1 1a an n 2 2 2 2n n1 1 1 1 1 1 ， ， 2 2n n1 1 2 2n n1 12 2n n1 1 所以其前所以其前n n项和项和 T Tn n 1 1 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 5 5 1 11 1 2 2n n1 12 2n n1 1 1 1 2 2n n 1 1，故选，故选 C.C. 2 2n n1 1 2 2n n1 1 1212(2017(2017郑州第一次质量预测郑州第一次质量预测)

23、)已知数列已知数列 a an n 满足满足a a1 1a a2 2a a3 3a an n2 2n n( (n nN N ) )，且对任意，且对任意 2 2* * n nN N* *都有都有 t t，则实数，则实数t t的取值范围为的取值范围为( () ) a a 1 1 a a 2 2 a an n 1 11 11 1 1 1 A.A. ， 3 3 2 2 C.C. ， 3 3 1 1 B.B. ， 3 3 2 2 D.D. ， 3 3 2 2 2 2a a 1 1a a2 2a a3 3 a an n2 2n n 解析：解析： 选选 D D依题意得，依题意得， 当当n n2 2 时，时，a

24、 an n a a 1 1a a2 2a a3 3 a an n 1 1 2 2n n1 1 2 2n n( (n n1)1) 2 2 2 22 22 2n n1 1， ， 又又a a1 12 2 2 2 1 12 21 11 1， ，因此因此a an n2 22 2n n 1 1 1 1 1 11 11 11 1 ， 2 2n n1 1， ，所以数列所以数列 是以是以 为首项，为首项， 为公比的等比数列，为公比的等比数列， a an n2 22 24 4 a an n 1 11 1 1 1 n n 1 1 2 2 4 4 2 2 1 1 2 22 2 1 1故等比数列故等比数列的前的前n n

25、项和等于项和等于 n n a an n的解集为的解集为_ 解析：当解析：当n n2 2 时，时，a an nS Sn nS Sn n 1 1 2 2a an n4 42 2a an n 1 1 4 4，a an n2 2a an n 1 1；当 ；当n n1 1 时，时，a a1 12 2a a1 1 4 4，a a1 14 4， 数列数列 a an n 是首项为是首项为 4 4，公比为，公比为 2 2 的等比数列，的等比数列， 则则a an n4 42 2n n 1 1 2 2n n 1 1. . 设设b bn nloglog2 2a an n，则，则b bn nn n1 1， T Tn n

26、2 23 3n n1 1 若若 2 2T Tn n a an n，则，则n n3 3n n22 2 2 n n2 23 3n n 2 2 . . n n1 1，解得 ，解得n n2 2 或或n n3 3， 不等式的解集为不等式的解集为2,32,3 答案：答案：2,32,3 1 1 1616 设设S Sn n为数列为数列 a an n 的前的前n n项和，项和，S Sn n( (1)1)n na an n n n， ，n nN N* *， 则则S S1 1S S2 2S S100 100 _._. 2 2 1 11 1 n nn n1 1n nn n 解析：解析：a an nS Sn nS Sn

27、 n 1 1 ( (1)1)a an n n n ( (1)1)a an n 1 1 n n1 1( (n n 2)2)，a an n( (1)1)a an n( (1)1) 2 22 2 1 1a a n n1 1 n n( (n n 2)2) 1 11 11 1 当当n n为偶数时，为偶数时，a an n 1 1 n n，当 ，当n n为奇数时，为奇数时，2 2a an na an n 1 1 n n， ，a an n 1 1 n n1 1，从而可得 ，从而可得a a1 1 2 22 22 2 1 1 2 2 第 7 页 共 9 页 1 11 11 11 11 11 11 11 1 ，a

28、a ，a a ，a a ，a a ，a a ，a a ，a a 3 35 57 72 24 46 68 82 24 46 68 82 24 46 68 8. . 2 22 22 22 22 22 22 22 2 1 11 11 1 a a2 2a a1 1 ，a a4 4a a3 3 3 3， ，a a6 6a a5 5 5 5， ， 2 22 22 2 1 1 1 11 11 1 S S1 1S S2 2S S100 100 ( (a a2 2a a1 1) )( (a a4 4a a3 3) )( (a a100 100 a a99 99) ) 2 2 3 3 100100 2 2 2 2

29、2 22 2 1 1 1 11 11 1 1 11 1 3 3 9999 2 2 100100 2 2 2 22 22 2 2 22 2 1 1 1 1 100100 1 1 . . 3 3 2 2 1 1 1 1 答案：答案： 100100 1 1 3 3 2 2 三、解答题三、解答题 1717(2017(2017惠州调研惠州调研) )已知数列已知数列 a an n 中，点中，点( (a an n，a an n 1 1) )在直线 在直线y yx x2 2 上，且首项上，且首项a a1 11.1. (1)(1)求数列求数列 a an n 的通项公式；的通项公式； (2)(2)数列数列 a a

30、n n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，等比数列，等比数列 b bn n 中，中，b b1 1a a1 1，b b2 2a a2 2，数列，数列 b bn n 的前的前n n项和为项和为 T Tn n，请写出适合条件，请写出适合条件T Tn nS Sn n的所有的所有n n的值的值 解：解：(1)(1)由已知得由已知得a a1 11 1，a an n 1 1 a an n2 2， 即即a an n 1 1 a an n2 2， 所以数列所以数列 a an n 是首项为是首项为 1 1，公差，公差d d2 2 的等差数列，的等差数列， 所以所以a an na a1 1( (n n1)1)

31、d d2 2n n1.1. (2)(2)由由(1)(1)知数列知数列 a an n 的前的前n n项和项和S Sn n 1 12 2n n1 1n n 2 2 n n. . 2 2 等比数列等比数列 b bn n 中，中，b b1 1a a1 11 1，b b2 2a a2 23 3， 所以公比所以公比q q3 3，b bn n3 3n n 1 1. . n nn n 1 13 33 3 1 1 所以数列所以数列 b bn n 的前的前n n项和项和T Tn n. . 1 13 32 2 3 3 1 1 2 2* * 若若T Tn nS Sn n，即，即n n，又，又n nN N ，所以，所以

32、n n1 1 或或 2.2. 2 2 1818已知等差数列已知等差数列 a an n 的各项均为正数，的各项均为正数，a a1 11 1，前，前n n项和为项和为S Sn n. .数列数列 b bn n 为等比数列，为等比数列，b b1 1 1 1，且，且b b2 2S S2 26 6，b b2 2S S3 38.8. (1)(1)求数列求数列 a an n 与与 b bn n 的通项公式；的通项公式； 1 11 11 1 (2)(2)求求 . . n n S S 1 1 S S 2 2 S Sn n 解：解：(1)(1)设等差数列设等差数列 a an n 的公差为的公差为d d，d d00，

33、等比数列，等比数列 b bn n 的公比为的公比为q q， 则则a an n1 1( (n n1)1)d d，b bn nq qn n 1 1. . 第 8 页 共 9 页 q q 2 2d d6 6， 依题意有依题意有 q q 3 33 3d d8 8， d d 1 1， 解得解得 q q 2 2 4 4 d d ， 3 3 或或 q q9 9 . . ( (舍去舍去) ) 故故a an nn n，b bn n2 2n n 1 1 1 1 (2)(2)由由(1)(1)知知S Sn n1 12 2n nn n( (n n1)1)， 2 2 1 1 即即 S Sn n 2 2 n nn n1 1

34、 1 1 1 1 2 2 ， n nn n1 1 1 11 11 1 1 1 1 11 1 故故 2 2 1 1 S S 1 1 S S 2 2 S Sn n 2 2 2 23 3 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2n n . . n n n n1 1 n n1 1 n n1 1 S Sn n n n 1919已知数列已知数列 a an n 的首项的首项a a1 11 1，前，前n n项和为项和为S Sn n，且数列，且数列 是公差为是公差为 2 2 的等差数列的等差数列 (1)(1)求数列求数列 a an n 的通项公式；的通项公式； (2)(2)若若b bn n( (1)1)a

35、 an n，求数列，求数列 b bn n 的前的前n n项和项和T Tn n. . 解：解：(1)(1)由已知条件可得由已知条件可得 1 1( (n n1)1)2 22 2n n1 1， S Sn n2 2n nn n. . 当当n n2 2 时，时，a an nS Sn nS Sn n 1 1 2 2n nn n2(2(n n1)1) ( (n n1)1)4 4n n3 3， 当当n n1 1 时，时，a a1 1S S1 11 1，而，而 4 41 13 31 1，a an n4 4n n3.3. (2)(2)由由(1)(1)可得可得b bn n( (1)1)a an n( (1)1) (

36、4(4n n3)3)， 当当n n为偶数时，为偶数时， n nn n 2 22 2 2 2 n n S Sn n n n n n T Tn n1 15 59 913131717(4(4n n3)3)4 4 2 2n n， 2 2 当当n n为奇数时，为奇数时，n n1 1 为偶数，为偶数， T Tn nT Tn n 1 1 b bn n 1 1 2(2(n n1)1)(4(4n n1)1)2 2n n1.1. 2 2n n， ，n n2 2k k，k kN N ， 综上，综上，T Tn n * * 2 2n n1 1，n n2 2k k1 1，k kN N . . * * * * 2020(2017(2017天津高考天津高考) )已知已知 a an n 为等差数列，前为等差数列，前n n项和为项和为S Sn n( (n nN N ) )， b bn n 是首项为是首项为 2 2 的的 等比数列，且公比大