2020高考数学100个必考知识点详解41 指对数比较大小

1、第第 4141 指对数比较大小指对数比较大小 在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题， 通常是三个指数和对数混在一起， 进 行排序。这类问题如果两两进行比较， 则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方 法与技巧 一、一些技巧和方法 1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负” ，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为0,1和1, （1）如果底数和真数均在0,1中，或者均在1,中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在0,1中，一个在1,中，那么对数的值为负数 例如：log30.5 0,log 0.5 0.3 0,log 2 3 0等 2、要善

2、于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了 3、比较大小的两个理念： （1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数 的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为 某一部分相同的情况 例如：3 ,4 ,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同 1 3 1 4 1 2 3 3 1 3 1 4 12 ,4 4 1 4 1 3 12 ,5 5 1 2 1 6 12，从而只需比较底数的大小即可 （2）利用特殊值作“中间量” ：在指对数中通常可优先选择“ 0,1”对所比较的数进行

3、划分， 然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破” ，也 有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知 1 log 2 2 log 2 3 log 2 4 2，进而可估计log 2 3是一个 1 点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式： m m （1）a a n （2）logaM logaN logaMN log a M log a N log a n M N （3）log a Nn nlog a Na 0,a 1,N 0 （4）换底公式：logab log c b log c a 1n n （令c b）log amN

4、log a N log b am 进而有两个推论：logab 二、典型例题： 例 1：设a log 3 ,b log 2 3,c log 3 2，则a,b,c的大小关系是_ 思路： 可先进行0,1分堆， 可判断出a 1,0 b 1,0 c 1， 从而a肯定最大， 只需比较b,c 即可， 观察到b,c有相同的结构： 真数均带有根号， 抓住这个特点， 利用对数公式进行变换： 11 b log 2 3 log 2 3,c log 3 2 log 3 2，从而可比较出log 3 2 1 log 2 3，所以 22 c b 答案：c b a 例 2：设a log32,b ln2,c 5 1 2，则a,b

5、,c的大小关系是_ 思路：观察发现a,b,c均在0,1内，a,b的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系： a b，在比较和c的大小，由于c是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计a,b,c值 得大小：c 5 进而a 1 2 11111 ，可考虑以为中间量，则a log32 log3 3 ， 22542 1 c，所以大小顺序为b a c 2 ln2ln3ln5 ,b ,c , 则a,b,c的大小关系为（） 235 答案：b a c 例 3：设a A.a b c B.a c b C.b a c D.b c a 思路：观察到a,b,c都是以e为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的

6、 111 ln2ln3ln5 ln22,b ln33,c ln55,发现真数的底与指数也不相同，所 比较。a 235 以依然考虑 “求同存异” ， 让三个真数的指数一致：2 2 通过比较底数的大小可得：b a c 答案：C 1 2 1 15 30,3 3 1 3 1 10 30 ,5 5 1 5 1 6 30， 小有话说： （1）本题的核心处理方式就是“求同存异” ，将三个数变形为具备某相同的部分， 从而转换比较的对象，将“无法比较”转变为“可以比较” （2）本题在比较指数幂时，底数的次数较高，计算起来比较麻烦。所以也可以考虑将这三 个数两两进行比较，从而减少底数的指数便于计算。例如可以先比较

7、 a,b:2 =2 1 2 1 3 6 ,3 =3 1 3 1 2 6 ，从而a b，同理再比较a,c或b,c即可 例 4：设a log 3 6，b log 510 ，c log 7 14，则（ ） A.c b a B. b c a C.a c b D.a b c 思路：观察可发现： a log 3 321log 3 2,b log 5 521log 5 2,c log 7 721log 7 2 log 3 2 log 5 2 log 7 2，所以可得：a b c 答案：D 例 5：设a ,b ,c , 则a,b,c的大小关系为（） A.a b c B.a c b C.b a c D.b c

8、a 思路：观察可发现b,c的底数相同，a,c的指数相同，进而考虑先进行这两轮的比较。对于 3 5 2 5 2 5 3 5 2 5 2 5 b,c，两者底数在0,1，则指数越大，指数幂越小，所以可得b c，再比较a,c，两者指 数相同，所以底数越大，则指数幂越大，所以a c，综上：a c b 答案：B 例 6：已知三个数a 3 ,b log32,c cos 0.5 3 ，则它们之间的大小关系是（） 2 A.c b a B.c a b C.a b c D.b c a 思路： 可先进行0,1分组，a 30.51，0 b,c 1， 所以只需比较b,c大小， 两者都介于0,1 之间且一个是对数， 一个是

9、三角函数， 无法找到之间的联系。 所以考虑寻找中间值作为桥梁。 以cos 3331 作为入手点。利用特殊角的余弦值估计其大小。 cos cos ，而 223232 11 log 3 2 log 3 3 ，从而c b，大小顺序为c b a 22 答案：A 小有话说： 在寻找中间量时可以以其中一个为入手点， 由于非特殊角的三角函数值可用特殊 角三角函数值估计值的大小，所以本题优先选择c作为研究对象。 1.13.1 例 7： （2015 甘肃河西三校第一次联考）设a log37,b 2 ,c 0.8，则（） A.b a c B.a c b C.c b a D.c a b 思路：首先进行0,1分组，可

10、得c 1 a,b，下面比较a,b的大小，可以考虑以2作为中间 量，b 2 答案：D 1.1 2,a log 3 7 log 3 9 2，所以a 2 b，从而c a b 1 例 8：设a b 0,ab 1且x , y log 1 1 ab,z log 1 a，则x, y,z的大小关系 a b a b 是（） A.y x z B.z y x C.y z x D.x y z 思路：由a b 0,a b 1可得：0 b b 1 a 1，先用0,1将x,y,z分堆，x 0， 2 y,z 0，则x为最大，只需要比较y,z即可，由于y,z的底数与真数不同，考虑进行适当 变形并寻找中间量。y log 1 1

11、a b o g 1a l o g 而z lab log ab ab log 1 ab 1， ababb a ， b 因为0b1，所以logba logbb 1,z logba 1 y，所以顺序为y z x 答案：C 例 9：下列四个数：a ln2,b lnln2,c ln 2,d ln2的大小顺序为_ 思路：观察发现b lnln20，其余均为正。所以只需比较a,c,d，考虑ln2 0,1， 所以a d，而c ln 2 2 1 ln2 d，所以下一步比较a,c： 2 1 1 2 a c ln2ln2 ln2ln2 ln2 ln2lne 0，所以a c，综上所述， 22 大小顺序为b c a d 答案：b c a d 1 1 例 10：已知a,b,c均为正数，且2 log 1 a, log 1 b, log 2 c，则（ ） 22 22 a bc A.a b c B.c b a C.c a b D.b a c 思路：本题要通过左右相等的条件，以某一侧的值作为突破口，去推断a,b,c的范围。首先 观察等式左侧，左侧的数值均大于0，所以可得：log 1 a,log 1 b,log 2 c均大于 0，由对数的 22 1 符号特点可得：a,b0,1,c 1，只需比较a,b大小即可。观察到2 1 ，从而 2 a b log 1 a log 1 b a b，所以顺