抛物线及其标准方程

1、13.3.1抛物线及其标准方程,生活中的抛物线,北京2008奥林匹克体育馆,生活中的抛物线,上海卢浦大桥,拱桥,生活中的抛物线,喷泉,抛球运动,抛物线的画法,一、抛物线的定义:,在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,点F 叫抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线.,|MF|=d,d 为 M 到 l 的距离,准线,焦点,d,H,即:若 ,则点M的轨迹是抛物线.,定义告诉我们：,1、判断抛物线的一种方法,2、抛物线上任一点的性质：|MF|=|MH|,一、抛物线的定义:,在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,

2、点F 叫抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线.,|MF|=d,d 为 M 到 l 的距离,准线,焦点,d,H,即:若 ,则点M的轨迹是抛物线.,2.比较椭圆方程的建立过程，你认为如何选择坐标系,建立的抛物线的方程才能更简单?,思考：,1. 若l经过点F,动点M的轨迹是什么?,求曲线方程的基本步骤是怎样的？,H,二、抛物线标准方程的推导,解：以过F且垂直于直线 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.,两边平方,整理得,K,O,F,M,l,（x,y）,设M（x，y）是抛物线上任意一点，,H,点M到l的距离为d,d,由抛物线的定义，抛物线就是点的集合,二、抛物

3、线标准方程的推导,三、抛物线的标准方程,y2 = 2px（p0）,其中p 为正常数，它的几何意义是:,焦 点 到 准 线 的 距 离,y2 = 2px（p0）,方程 y2 = 2px（p0）表示焦点在x轴正半轴上的 抛物线,三、抛物线的标准方程,抛物线的标准方程还有哪些不同形式?,若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根据上述办法求出它的标准方程吗？,探,究,各组分别求解开口不同时抛物线的标准方程。,抛物线的标准方程,如何确定抛物线焦点位置及开口方向?,寻找：区别与联系,(1)、四种形式标准方程的共同特征,1、二次项系数都化成了_,2、四种形式的方程一次项的系数都含_,1,3、四种抛物线都过

4、_点 ，且焦点与准线分别位于此点的两侧,O,2p,1、一次项(X或Y)定焦点,2、一次项系数符号定开口方向. 正号朝正向，负号朝负向。,(2)、四种形式标准方程的区别,寻找：区别与联系,如何确定抛物线焦点位置及开口方向?,图形,标准方程,焦点坐标,准线方程,左右型,上下型,4.M是抛物线y2 = 4x上一点，若点M到焦点F的距离等于6，求点M坐标.,3.焦点在x轴负半轴，且焦点到准线距离 ;,四、抛物线及其标准方程的应用,例1,根据下列条件求抛物线的标准方程？,1.抛物线的焦点坐标是 F(0,-2);,2.抛物线的准线方程是 y=-4;,返回例1,返回例1,求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.,

5、求抛物线的焦点或准线时，一定要先把方程化为标准方程；,练习,例2 已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2） 求它的标准方程。,解: 因为焦点在y的负半轴上,所以设所 求的标准方程为x2= -2py 由题意得 ，即p=4 所求的标准方程为x2= -8y,变式 已知抛物线的准线方程是x = ,求它 的标准方程。,解题感悟:,求抛物线标准方程的步骤：,（1）确定抛物线的形式.,（2）求p值,（3）写抛物线方程,注意:焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论,求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。,解:（1）当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2） 代入x2 =2py，得p=,（2）当焦点在x轴的负半轴上时， 把A（-3，2）代入y2 = -2px， 得p=,抛物线的标准方程