二次函数图像与性质(一)

1、二次函数y=ax2的图象与性质,1.在上届珠海航空节中，某飞行员在特技飞行表演过程中，表演了一个俯冲动作，飞机飞行的路线近似于二次函数y= x2，你能画出飞机飞行的路线图吗？,在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2与y=-x2的图象.,函数图象画法,列 表,描 点,连 线,0,0.25,1,2.25,4,0.25,1,2.25,4,描点法,用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结,0,-0.25,-1,-2.25,-4,-0.25,-1,- 2.25,-4,观察并比 较这两个图 象，你发现 有什么共同特 和不同点？各自 有什么特征，对 应着的性质怎 么样？,观察图象,回答问题串,(1)你能描述图

2、象的形状吗?与同伴进行交流.,(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.,(3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?,(4)当x0呢？,(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？,二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。,这条抛物线关于y轴 对称，y轴就是它的 对称轴。,对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点.,当x0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而 增大.,抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的

3、值最小,最小值是0.,当x0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而减小.,y,抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.,二次函数y=ax2的性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=x2,y= -x2,（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方( 除顶点外),向上,向下,当x=0时,最小值为0.,当x=0时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧,

4、y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,例1 在同一直角坐标系中，画出函数y= x2，y=2x2的图象。,0,2,2,8,8,0,2,2,8,8,-1,当a0，图象开口向上 顶点是抛物线的最低 点，a越大开口越小 反之越大,对称轴,1,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,-8,-6,-4,-2,2,4,6,8,y,x,0,y=- x2,y=-x2,y=-2x2,当a0时，图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大。,a确定着抛物线的,2.当a0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（

5、除顶点外）,它的开口向上,并且向上无限伸展； 当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小； 在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大； 在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.,小结 拓展,1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.,由二次函数y=x2和y=-x2知：,当a的绝对值越大，则函数图象越靠近y轴.,4.抛物线y=ax2与y=-ax2关于X轴对称,也关于原点对称.,1.不画图象，说出抛物线y=-4x2和 y= x2的对称轴、顶点坐标和开口方向.,根据左边已画好的函数图象填空： （1

6、）抛物线y=2x2的顶点坐标是 , 对称轴是 ，在 侧， y随着x的增大而增大；在 侧， y随着x的增大而减小，当x= 时， 函数y的值最小，最小值是 ,抛物 线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。,（2）抛物线 在x轴的 方（除顶点外），在对称轴的 左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的 ，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 ， 当x 0时，y0的条件.,活动与探索,已知二次函数y=mx,m+m,当m取何值时它的图象开口向上。 （1）当x取何值时y随x的增大而增大。 （2）当x取何值时y随x的增大而减小。,练习,2、已知函数 是二次函数，且开口向上。 求m的值及二次函数的解析式，并

7、回答y随x的变化规律,再见,请在此键入您自己的内容,已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。,解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为 y= -2x2.,（2）因为 ，所以点B（-1 ，-4） 不在此抛物线上。,（3）由-6=-2x2 ,得x2=3, 所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是,例2 已知一次函数,与函数,的图象如图所示，其中,与,轴、,轴交于A（2，0）、B（0，2）；与二次函数图象,的交点为P、Q，P、Q的纵坐标之比14，求这两个函数解析式.,讨论,（1）抛物线y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、 顶点各是什么？ （2）抛物线y=x2+1、y=x2-1与y=x2抛物线有什么关系？,答：(1)它们开口方向向上，对称轴是y轴，顶点分别 是（0，1）