二阶常系数齐次线性微分方程

1、1,常系数,6.6,齐次线性微分方程,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,第十二章,2,二阶常系数齐次线性微分方程:,代入得,称为,1. 当,时,有两个,因此方程的通解为,若,则微分方程,其根称为特征根.,当r 为常数时，,为常数),为的解,微分方程,的特征方程,线性无关,的特解:,有两个,不相同的实根,3,例1.,的通解.,解:,特征根:,因此原方程,特征方程,的通解为,4,2. 当,时,特征方程,有两个相等实根,则微分方程,有一个特解,另一个特解,因此方程的通解为,5,例2.,的通解.,解:,特征根:,因此原方程,特征方程,的通解为,6,例3.,特征方

2、程,有重根,因此原方程的通解为,由初始条件得,于是所求初值问题的解为,则,解:,求解初值问题,7,3. 当,时,这时原方程,利用26页最后一行,因此原方程的通解为,有一对,原方程的,特征方程,共轭复根,有两个复数解:,得,线性无关的特解:,8,例4.,的通解.,解:,特征方程,因此原方程的通解为,9,小结:,特征方程:,特征根:,实根,特 征 根,通 解,特殊情况,特 征 根,通 解,以上结论,可推广到高阶,常系数线性微分方程 .,10,练习.,求方程,的通解 .,解:,通解为,通解为,通解为,特征方程,特征根,特征方程,特征根,特征方程,特征根,特征方程,11,若特征方程,若特征方程,则其通

3、解中必含,对应项,特征方程:,推广:,全为常数),则其通解中,全部为任意常数),含 k 重实根 r ,必含对应项,含 k 重复根,12,例5.,的通解.,解:,特征根:,因此原方程通解为,特征方程,13,练习.,特征方程:,特征根:,原方程通解:,(不难看出,解:,原方程有特解,14,例6.,解:,特征根为,则方程通解 :,特征方程:,15,例7.,为特解,并求其通解 .,解:,因此特征方程为,即,故所求方程为,其通解为,求一个以,的4 阶,齐次,根据给定的特解知,特征方程有根 :,常系数,方程,线性,16,小结:,特征方程:,特征根:,实根,特 征 根,通 解,特殊情况,特 征 根,通 解,

4、以上结论,可推广到高阶,常系数线性微分方程 .,17,作业,29页习题66,1.(1),(3),2,作业本写上班级姓名，编号,3,18,42页例5.51.,质量为m 的物体，,悬挂在一端固定的弹簧上,弹性系数,在无外力作用下做自由运动,立坐标系如图,取其平衡位置为原点建,初始,求物体的运动规律,设 t = 0 时物体的位置为,解:,弹性恢复力,介质的阻力,根据牛顿第二定律,为了,结果简单,记,初始条件,方程:,1) 无阻力自由振动情况 ( n = 0 ),19,方程:,特征方程:,特征根:,由,故所求特解:,方程通解:,1) 无阻力自由振动情况 ( n = 0 ),则,特解为:,令,得,由,得,20,解的特征:,简谐振动,A: 振幅, : 初相,周期:,固有频率,(仅由系统特性确定),21,方程:,特征方程:,特征根:,小阻尼: n k,临界阻尼: n = k,22,( n k ),大阻尼解的特征:,1) 无振荡现象;,此图参数:,2) 对任何初始条件,即随时间 t 的增大,物体总趋于平衡位置.,24,( n = k ),临界阻尼解的特征 :,任意常数由初始条件定,最多