高中文科数学解三角形部分讲练整理

1、高中文科数学解三角形部分整理高中文科数学解三角形部分整理 一一正弦定理正弦定理 （一）知识与工具： abc 2R 。正弦定理：在ABC 中， sin AsinBsinC 变形：a:b:c sin A:sin B:sin C. 在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。 注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化， 在变形中，注意三角形中其他条件 的应用： (1)三内角和为 180两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 (2)三角函数的恒等变形 sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC ，sin (3)面积公式：S= A BCC A B =cos

2、，cos=sin 222 2 1abc absinC=2R2sinAsinBsinC 24R （二）题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型 题型 1 利用正弦定理公式原型解三角形 例一、在ABC 中，若C 90 ,a 6,B 30，则cb等于（） A1B1C2 3D 2 3 【解析】C. 00 b tan300,b atan300 2 3,c 2b 4 4,cb 2 3 a 题型 2 利用正弦定理公式变形边角互化解三角形： 关于边或角的齐次式可以直接边角互化。 例二、在ABC中，若b 2asinB，则A等于（） 0000 A300或600B450或600C120 或60D30 或150 【解析

3、】D.b 2asin B,sin B 2sin Asin B,sin A 题型 3 三角形解的个数的讨论 方法一：画图看 1 , A 300或1500 2 方法二： 通过正弦定理解三角形， 利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果 是否符合实际意义，从而确定解的个数。 例三、等腰三角形一腰上的高是 3，这条高与底边的夹角为600，则底边长为（D ） A2B 3 C3D2 3 2 二二 余弦定理余弦定理 （一）知识与工具： a2=b2+c22bccosA b2c2a2 cosA= 2bc b2=a2+c22accosB a2c2b2 cosB= 2ac a2b2c2 cosC= 2ab c

4、2=a2+b22abcosC 注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化， 当题中含有二次项时， 常使用余弦 定理。在变形中，注意三角形中其他条件的应用： (1)三内角和为 180； (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 abc1 (3)面积公式：S=absinC=2R2sinAsinBsinC 4R2 (4)三角函数的恒等变形。 （二）题型使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型 题型 1 利用余弦定理公式的原型解三角形 例一、在ABC 中，若a b bc c ,则A _。 222 b2c2a21 cos A , A 1200120 【解析】 2bc2 0 题型 2 利用余弦定理公

5、式的变形(边角互换)解三角形： 凡在同一式子中既有角又有边的 题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。 题型 3 判断三角形的形状 结论：根据余弦定理，当 a2+b2c2、b2+c2a2、c2+a2b2中有一个关系式成立时，该 三角形为钝角三角形，而当 a2+b2c2、b2+c2a2，c2+a2b2中有一种关系式成立时，并不 能得出该三角形为锐角三角形的结论。 判断三角形形状的方法： (1)将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系， 从而判断三角形的形状。 例一、在ABC 中，若acos AbcosB ccosC,则ABC 的形状是

6、什么？ 解：acos AbcosB ccosC,sin Acos Asin BcosB sinC cosC sin 2Asin 2B sin 2C,2sin( A B)cos( A B) 2sin C cosC cos(A B) cos(A B),2cos AcosB 0 cosA0或cosB 0，得A 所以ABC 是直角三角形。 （2）应用题 求 距 离 两点间不可通又 不可视 2 或B 2 两点间可视但不 可达 两点都不可达 底部可达 求 高 度 底部不可达 题型 1 计算高度题型 2 计算距离 题型 3 计算角度题型 4 测量方案的设计 实际应用题型的本质就是解三角形， 无论是什么样的现

7、象， 都要首先画出三角形的模型， 再通过正弦定理和余弦定理进行求解。 例一、 （三）其他常见结论 1三角形内切圆的半径：r 2S ， abc 特别地，r 直 abc 斜 2 2三角学中的射影定理： 在ABC 中，b acosC ccos A， 3两内角与其正弦值： 在ABC 中，A B sin A sinB， 例一、在ABC 中，若a 7,b 3,c 8，则其面积等于（） 21 C28D6 3 2 11 【解析】Dcos A , A 600,SV ABCbcsin A 6 3 22 A12B 基础练习 一、选择题 1若A为ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（） 1 Asin ABcos

8、ACtan AD tan A 2在ABC 中，角均为锐角，且cos A sin B,则ABC 的形状是（） A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形 3边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（） A90B120C135D150 4.在ABC 中，A:B:C 1:2:3，则a:b:c等于（） A1:2:3B3: 2:1C1: 3:2 D2: 3:1 5.在ABC 中，若A 2B，则a等于（） A2bsin AB2bcosAC2bsinBD2bcosB 6在ABC 中，若lgsin A lgcosB lgsinC lg2，则ABC 的形状是（） A直角三角形B等边三角形C不能确定D

9、等腰三角形 7在ABC 中，若(a b c)(b c a) 3bc,则A () 0000 A900B600C1350D1500 8在ABC 中，若tan A Bab ，则ABC 的形状是（） 2ab A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形 二、填空题 1在ABC 中，若a b bc c ,则A _。 2在ABC 中，若b 2,B 30 ,C 135 ,则a _。 3在ABC 中，若sin AsinBsinC 7813，则C _。 4若在ABC 中，A60 ,b 1,SABC 3,则 0 00 222 a b c =_。 sin Asin B sinC 5在ABC 中，

10、若a 9,b 10,c 12,则ABC 的形状是_。 6在ABC 中，若a 三、解答证明题 3,b 2,c 6 2 则A _。 2 1 在ABC 中，A120 ,c b,a 21,S VABC 3，求b,c。 2 在ABC 中，若A B 1200，则求证： 2 3 在ABC 中，若acos 0 ab 1。 b ca c CA3b ccos2，则求证：ac 2b 222 4在ABC 中，求证： 【答案】 选择题 1.A0 A ,sin A 0 2.Ccos A sin( abcosBcos A c() baba 2 A) sin B, 2 A,B都是锐角，则 2 A B, A B 2 ,C 2

11、5282721 , 600所求 3.B设中间角为，则cos 2582 4.CA 6 ,B 3 ,C 2 ,a:b:c sin A:sin B:sinC 132 :1:3 :2 222 5.Dsin A sin 2B 2sin BcosB,a 2bcosB 6.Dlg sin Asin A lg2, 2,sin A 2cos BsinC cosBsinCcosBsinC sin(B C) 2cos BsinC,sin BcosC cos BsinC 0, sin(BC) 0,B C，等腰三角形 7.B (abc)(bca) 3bc,(bc) a 3bc, 22 b2c2

12、a21 , A 600b c a 3bc,cos A 2bc2 222 A BAB sin ABabsin AsinB 22 ，8.Dtan 2absin Asin B 2sin A B cos AB 22 AB tan AB 2 ,tan AB 0，或tan A B 1tan A B 222 tan 2 所以A B或A B 2 2cos 填空题 b2c2a21 , A 1200 1.120 cos A 2bc2 0 2. 6 2A 150, abbsin A6 2 ,a 4sin A 4sin150 4 sin Asin Bsin B4 0 3.120 abc sin AsinBsinC 7

13、813， a2b2c21 ,C 1200 令a 7k,b 8k,c 13k cosC 2ab2 4. 2 39113 3,c 4,a213,a 13S ABC bcsin A c 3222 abca132 39 sin AsinBsinCsin A33 2 5.锐角三角形 C为最大角，cosC 0,C为锐角 84 3 3 b c a3 11 0 4 6. 60cos A 222 2 2bc 2 2 6 222( 3 1) 2 四、解答证明题 1.解：S ABC 1 2 bcsin A 3,bc 4, a2 b2c22bccos A,bc 5，而c b 所以b 1,c 4 2证明：要证 a b c ba2acb2 a c 1，只要证 bc abbcacc2 1， 即a2b2c2 ab 而A B 1200,C 600 cosC a2b2c2 2ab ,a2b2c2 2abcos600 ab 原式成立。 3.证明：acos2 C 2 ccos2 A 2 3b 2 sin A 1cosC1cos A3sin B 2 si