线性谐振子 势垒贯穿

1、2.7 线性谐振子,一、求解一维线性谐振子的薛定谔方程,（1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式 （5）求归一化系数 （6）讨论,二、物理意义,量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。,经典力学中质量为 的粒子，受弹性力 F = - kx 作用，由牛顿第二定律可得运动方程：,其解为 x = Asin( t + )，这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。,若取V0 = 0，即选取平衡位置处势能为 0，则,引言,为什么研究线性谐振子？,自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振

2、动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。例如双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在 x = a 处，V 有一极小值V0 。在 x = a 附近势可以展开成泰勒级数：,取新坐标原点为(a, U0)，则势能可表示为标准谐振子势能的形式：,可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。,（1）方程的建立,线性谐振子的 Hamilton 量：,引入无量纲变量代替 x,（2）求解,其渐近解为：,满足束缚态条件：,先看渐近解，即当 时波函数的行为。此时， 2，于

3、是方程变为：,可以证明，只有当：,方程才有满足束缚态条件的级数解,其中 H() 必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即： 当有限时，H()有限； 当时，H()的行为要保证() 0。,厄密方程,下面给出前几个厄密多项式具体表达式： H0 ()=1 H1 ()=2 H2 ()=42-2 H3 ()=83-12,归一化波函数：,（1）空间反射变换：,（2）此时如果有：,称波函数具有偶宇称；,称波函数具有奇宇称；,（3）如果在空间反射下，,则波函数没有确定的宇称。,宇称,1、定态波函数,2、几率密度,而经典力学的谐振子在 -a, a 区间每一点上都能找到粒子，没有节点。,n10时的概率密度分布

4、,3、能级,这与无限深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，零点能是量子效应。,对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。,4、基态波函数,一维“无限深势阱”和“线性谐振子”是束缚态问题， 具有分立的能量本征值。如具有确定动量和能量的粒子 由无穷远入射，与“有限高”一维势阱相互作 用(或称发生散射)，又传播到无穷远处。,2.8 势垒贯穿,按照经典力学，粒子不可能穿过势垒。 但按照量子力学计算，粒子能穿过比它动能更高的势垒，这种现象称为隧道效应（tunnel effect）。,透射系数：,经典,量子,隧道 效应,解释原子核衰变,MeV,E,2

5、5,.,4,=,a,r,R,U,35MeV,0,George Gamov,隧道效应的应用(1),1986 Nobel Prize,德G.Binnig,瑞士 H.Rohrer,德 N.Ruska,1982年发明扫描隧道显微镜,1933年发明电子显微镜,Scanning Tunneling Microscopy,隧道效应应用(2) STM,神经细胞的STM扫描图,硅表面的STM扫描图,1991,年,恩格勒等用,STM,在镍单晶表面逐个移,动氙原子拚成了字母,IBM,，,每个字母长,5,纳米,本 章 要 求 1 理解和掌握波函数的统计解释和量子力学的第一条基本假定 2 掌握态迭加原理 3 掌握薛定谔方程和量子力学的第二条基本假定 4 掌握定态、定态薛定谔方程、哈密顿算符、本征方程、本征 值和本