拟合优度检验.ppt

1、b,1,第七章 拟合优度检验,b,2,拟合优度检验的应用,总体分布未知，从样本数据中发现规律（总体分布），再利用拟合优度检验对假设的总体分布进行验证。,【引例1】某地区在1500到1931年的432年间，共爆发了299次战争，具体数据如下（每年爆发战争的次数可以看作一个随机变量X）：,根据我们对泊松分布产生的一般条件的理解，可以用一个泊松随机变量来近似描述每年爆发战争的次数。也就是说，我们可以假设每年爆发战争次数分布 X 近似泊松分布。,现在的问题是：,上面的数据能否证实 X 具有泊松分布的假设是正确的？,【引例2】某钟表厂对生产的钟进行精确性检查，抽取100个钟作试验，校准24小时后进行检查

2、，将每个钟的误差（快或慢）按秒记录下来。,问该厂生产的钟的误差是否服从正态分布？,【引例3】某工厂制造了一批骰子，声称它是均匀的。,为检验骰子是否均匀，要把骰子实地投掷若干次，统计各点出现的频率与1/6的差距。,问题是：,得到的数据能否说明“骰子均匀”的假设是可信的？,K.皮尔逊,解决这类问题的工具是英国统计学家K.皮尔逊在1900年发表的一篇文章中介绍了 2 检验法。,b,8,拟合优度检验的工具- 2 检验,2 检验法是在总体 X 的分布未知时，根据来自总体的样本，检验关于总体分布的假设的一种检验方法。,H0：总体 X 的分布函数为 F(x),然后根据样本的经验分布和所假设的理论分布之间的吻

3、合程度来决定是否接受原假设。,这种检验通常称作拟合优度检验，它是一种非参数检验。,使用 2 检验法对总体分布进行检验时，,先提出原假设:,b,10,拟合优度检验的一般步骤,将总体 X 的取值范围分成 k 个互不重叠的小区间，记作A1, A2, , Ak。 把落入第 i 个小区间 Ai 的样本值的个数记作 fi ，称为实测频数； 所有实测频数之和（f1+ f2+ + fk）等于样本容量 n。 根据所假设的理论分布，可以算出总体X 的值落入每个 Ai 的概率 pi，npi就是落入区间 Ai 的样本值的理论频数。,皮尔逊引进如下统计量表示经验分布与理论分布之间的差异:,在理论分布 已知的条件下, n

4、pi是常量,实测频数,理论频数,观测频数与理论频数比较，判断二者不符合程度是否由于机会所造成。,b,12,统计量 的分布是什么?,皮尔逊为什么会选用这个统计量?,两个问题：,关于第一个问题，皮尔逊证明了如下定理:,若原假设中的理论分布 F(x) 已经完全给定，那么当 n 时，统计量：,的分布渐近 (k-1) 个自由度的 分布。,如果理论分布 F(x) 中有 r 个未知参数需用相应的估计量来代替，那么当 n 时，统计量 的分布渐近 (k-1-r)个自由度的 分布。,b,14,皮尔逊定理的几点说明,统计量的选择 自由度的确定 连续性矫正,b,15,统计量的选择,求 k 个 OiTi 之和，显然它们

5、恒等于0 求 k 个 (OiTi)2 之和，得不出相对的不符合程度 Oi9、Ti6，OiTi3；Oi49、Ti46，OiTi3。前者的不符合程度远大于后者。 求 k 个 (OiTi)/Ti2 之和，但仍有问题 如：Oi8、Ti5以及Oi80、Ti50时 (OiTi)/Ti 都等于0.6。,b,16,统计量的选择,为了解决上述问题，以 Ti 为权求加权值,b,17,自由度的确定,变量之间存在着一个制约关系：,故统计量 渐近 (k-1) 个自由度的 分布。,在 F(x) 尚未完全给定的情况下，每个未知参数用相应的估计量代替，就相当于增加一个制约条件，因此，自由度也随之减少一个。,若有 r 个未知参

6、数需用相应的估计量来代替，自由度就减少 r 个。,故统计量 渐近 (k-1-r) 个自由度的 分布。,如果根据所给的样本值 X1,X2, ,Xn算得统计量 的实测值落入拒绝域，则拒绝原假设，否则就认为差异不显著而接受原假设。,得拒绝域:,(不需估计参数),(估计 r 个参数),根据皮尔逊定理，对给定的显著性水平 ，查 分布表可得临界值 ，使得,b,20,连续性矫正,当df1时应做连续性矫正，矫正方法如下：,b,21,皮尔逊定理是在 n 无限增大时推导出来的，因而在使用时要注意 n 要足够大，以及 npi 不太小这两个条件。,根据计算实践，要求 n 不小于50，以及npi 都不小于 5。否则应适

7、当合并区间，使 npi 满足这个要求 。,皮尔逊定理小结,奥地利生物学家孟德尔进行了长达八年之久的豌豆杂交试验，并根据试验结果，运用他的数理知识，发现了分离规律。,孟德尔,以遗传学上的一项伟大发现为例，说明统计方法在研究自然界和人类社会的规律性时，是起着积极的、主动的作用。,【例1】,他的一组观察结果为：,黄70，绿27,近似为2.59:1，与理论值相近。,根据他的理论，子二代中，黄、绿之比 近似为3:1，,这里，n=70+27=97，k=2,检验孟德尔的3:1理论:,提出假设H0: O-T=0 (p1=3/4，p2=1/4),理论频数为： np1=72.75，np2=24.25,实测频数为7

8、0（黄），27（绿）。,自由度为 2-1=1,未落入拒绝域。,故认为试验结果符合孟德尔的3:1理论。,按 =0.05，自由度为1，查表得,由于统计量,=0.41583.841,【引例1】某地区在1500到1931年的432年间，共爆发了299次战争，具体数据如下（每年爆发战争的次数可以看作一个随机变量X）：,【例2】引例1，检验每年爆发战争次数分布是否服从泊松分布。,按参数 为0.69的泊松分布，计算事件X=i 的概率pi ，pi的估计是：,H0：O-T=0 （X 服从参数为 的泊松分布）,根据观察结果，得参数 的极大似然估计为：,解：,将有关计算结果列表如下:,2. 因H0所假设的理论分布中

9、有一个未知参数 ，故自由度为4-1-1=2。,1. 将npi ，接受原假设； 如果 P ，接受备择假设。,【例1】用两种饲料 A 和 B 饲养小白鼠，一周后测小白鼠增重情况（如下表）。问用不同饲料饲养的小白鼠体重是否存在差异？,解：,1. 原假设H0：两种饲料的饲养效果相同,2. 计算 P 值,解：,3. 结论,双侧检验，P 值与 /2比较,P =0.015 0.025,接受原假设，男女对该药物的反应没区别。,b,58,适合性检验,独立性检验,变异性检验,2检验的应用（小结）,b,59,1. 变异性检验,在连续型资料的假设检验中，对一个假设的总体标准差的同质性检验。 【例】一个混杂的小麦品种，株高标准差014 cm，经提纯后随机抽出10 株，它们的株高为：90、105、101、95、100、100、101、105、93、97 cm，考查提纯后的群体是否比原群体整齐？ 检验统计量：,b,60,2. 适合性检验,是指通过一定的理论分布推算出样本的理论数，然后用实际观测值与理论数相比较，从而判断实际观测值与理论数之间是否吻合（吻合度检验）。 检验统计量,b,61,2.适合性检验-二项分布的检验,【例1】独立分配规律的验证。,b,62,2.适合性检验-泊松分布的检验,【例2