控制系统的频域分析

1、第六章 控制系统的频域分析 Chapter6 Frequency-Domain Analysis for Control System,第一节 引言（introduction） 第二节 频率特性的基本概念 （Basic Concepts of Frequency Characteristic) 第三节 频率特性的极坐标图 (The Polar plot of the frequency Characteristic) 第四节 频率特性的对数极坐标图 (The logarithm plot of the frequency characteristic) 第五节 控制系统的奈氏图分析 (Nyqu

2、ist plot Analysis for the control system) 第六节 控制系统的伯德图分析 (Bode plot Analysis for the control system) 第七节 闭环系统频率特性分析 (Frequency characteristic Analysis for Closed-loop System),6.1 引言 频域分析法的优点： 可以在开环传函未知的情况下，根据系统的开环频率特性判断系统的稳定性及估算性能指标 频域分析中包含多种图形分析方法，这些方法并不局限于低阶系统，对高阶系统同样有效 对线性系统而言，系统地时域性能指标和频域性能指标之间具

3、有一定的对应关系。 频域分析为我们提供了一个分析问题的新视角。,本章的主要内容：,频率响应；,频域工具：奈氏(Nyquist)图;伯德(Bode)图;等M圆；等N圆；对数幅相图；尼柯尔斯(Nichols)曲线；等M圆,稳定性分析：奈氏判据；相位裕量和幅值裕量,闭环频域性能指标：截止频率；带宽；谐振峰值； 谐振频率,6.2 频率特性的概念,设系统结构如图，,由劳斯判据知系统稳定。,给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，,Ar=1 =0.5,=1,=2,=2.5,=4,曲线如下:,给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入,同频率的正弦，幅值随而变，相角也是的函数。,频率响应的定义 系统对正

4、弦输入的稳态响应称为频率响应。开环系统对正弦输入的稳态响应称为开环频率响应；闭环系统对正弦输入稳态响应称为闭环频率响应；,Frequency Characteristic refer to the system response performance (magnitude and phase characteristics) with respect to different frequency sinusoidal input signals.,2、直角坐标形式：,1. 极坐标形式：,系统的频率特性函数 ：,频率特性函数 的表示方式：,Polar Coordinates：,Quadratu

5、re Coordinates： (Cartesian),4. 确定频率特性函数的方法 由传递函数求解: 有频率特性函数的定义求解 :,3. 极坐标与直角坐标之间的转换,例6-1 求一惯性环节的频率特性函数，设系统的传函为 G(s),解：方法一：,给系统一输入信号 ，对输出函数y(t)求拉氏反变换,得,方法二：(依据频率特性函数的定义）,系统的稳态输出 为 :,将输入 表示成复数形式，有,6.3 频率特性的极坐标图 6.3.1 基本概念 频域分析法是一种半图形分析法，可方便快捷地获得系统的近似解。 两种常用图形表示法： 极坐标图和对数图,直角坐标系中的表示：,6.3.2. 典型环节频率特性的极坐

6、标图 比例环节（proportional element）,2. 积分环节,3. 微分环节,Integrating element,Derivative element,4. 惯性环节：,半条曲线,Inertial element,0,ReG(j),ImG(j),1,惯性环节G(j),5. 二阶震荡环节,Second-order oscillation system,0,ReG(j),ImG(j),1,A,B,A:,B:,振荡环节G(j),6. 迟延环节：,time-delay element,6.3.3.奈氏图的绘制(开环频率特性的极坐标图),开环传函的求法：打开闭环求通路之积 Gi,开环传

7、递函数的定义：,奈氏图绘制：取 逐点计算M、或R、I，描点绘线成图。,手工；利用机器 例5-2 设系统的开环传递函数如下，试绘制系统的极坐标图。,解:,6.3.4 典型系统的奈氏图的绘制 1) 0型系统,系统频率特性函数为,2) 1型系统,3) 2型系统,小结：0，1，2 型系统奈氏图终止于原点，入射角为（ nm) 。但起始点各不相同，在s平面中顺时针方向行走。 系统类型 (0) () () 0 0 -(n-m)90 1 -90 -(n-m)90 2 -180 -(n-m)90,Im,Re,例题1：绘制 的幅相曲线。,解：,求交点：,曲线如图所示：,开环幅相曲线的绘制,最小相位系统和非最小相位

8、系统 在s平面右半部没有极点和零点的传递函数称为最小相位传递函数；反之，在s平面右半部有极点和零点的传递函数称为非最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统；反之，称为非最小相位系统。,6.4 控制系统的奈氏判据 6.4.1 奈氏判据基本概念 频域分析中最重要的稳定性判据之一。,奈氏判据不仅可给出系统绝对稳定相对稳定的判断，同时还提供了如何 提高系统稳定的信息。,利用计算机可方便的绘制出系统的奈氏图,从奈氏图上获得系统的频域指标,对具有迟延的系统，奈氏图非常于适用,奈氏判据的基本特征：,重要概念: 1. 闭环特征方程的零极点 2. 幅角定理 3. 奈氏轨迹和映射,闭环特征方程

9、的零极点,注： Fs的极点是开环传函GH(s)的极点;F(s)的零点是闭环传递函数的极点。 因此, 闭环系统稳定的条件为F(s)的所有零点位于s平面的左半平面。,闭环特征方程,2.幅角定理 在s平面上任选一封闭曲线C，并使C上每个点不包含 的零点与极点，则C 映射到F(s)平面上也是一条封闭曲线C。当s 顺时针沿C变化一周时，F(s)向量端点轨迹按逆时针围绕原点总圈数N等于封闭曲线C内包围的零点数目与极点数目之差，其中，P 与Z 是指F(s)在C 内的零点数Z与极点数P。,N=P-Z,S-Plane,F-Plane,j,jIm,Re,C,C,-PiI,-PiII,-ZiI,-ZiII,s,(s

10、+ZiI),F(s),(s+ZiII),证：设封闭曲线C不通过s平面上任一零极点，且包围Z个零点P个极点，记为,未被包围的零极点记为,对于任一点s有F平面映射,当变点s沿C顺时针移动一圈，则有,3. 奈氏轨迹及其映射 若选取适当的封闭曲线将s平面右半平面包围起来，则变点s顺时针方向沿虚轴和半径为的右半圈绕一周形成的封闭曲线称为Nyquist轨迹 ，简称奈氏轨迹。,j,jI(),R(),=0,S平面的奈氏轨迹,F(j)平面的奈氏曲线,=,奈氏轨迹在平面的映射也为一个封闭曲线， 称为奈氏曲线, 例如 ：上半虚轴映射为 ：下半虚轴映射为 右半圈映射为,，因为当,回忆幅角原理 N=PZ，F的零点即闭环

11、极点。 Z=P-N,要使系统稳定则Z=0,若考虑G(s)H(s) 平面，则相当于F(s)曲线左移一个单位的奈氏图，即开环幅相频率特性，原F平面原点对应于GH平面, j0点 若要系统稳定，则Z=PN=0，N为GH 映射曲线绕,j0点次数,6.4.2 奈氏稳定性判据一 若奈氏曲线 逆时针包围, j0点的次数N等于位于右半平面上开环极点数P。则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。 约束条件：在原点和虚轴上无零极点。奈氏轨迹不能穿过零极点。 讨论：当奈氏曲线通过,j0点，则表示闭环系统临界稳定，也归为不稳定。,应用奈氏稳定性判据一的步骤： 绘 的奈氏图，可先绘 :一段，再以实轴对称的方法添上:的一段；

12、计算奈氏曲线包围,j0点的次数N 由给定的Gss确定右半平面上开环极点数 P 计算 PN ，若 PN =0 则闭环稳定,例： 解：作奈氏轨迹如下图示: N=1， P=1 有Z=NP=0 故系统稳定,6.4.3 奈氏稳定性判据二 若增补奈氏曲线 当:逆时针包围, j0点的次数N等于位于右半平面上开环极点数P。则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。 所谓增补就是使奈氏轨迹绕开位于原点和虚轴上的开环零极点。 增补奈氏轨迹：,增补奈氏轨迹映射出的奈氏轨迹分析：,可见增补奈氏轨迹映射为半径的圆曲线变点相角变化从M 900 M 90 如 M=1， -M：900-90 M=2时， -M：180 0 -180,

13、一型系统的奈氏曲线 二型系统的奈氏曲线,（-M：1800 -180）,（-M：900 -90）,例1：设开环传函 试用奈氏判据判定系统稳定性 解：,=,=,=-,GH平面,(-1,j0),作奈氏曲线考虑增补,当:顺时针 包围,j0点2次， N=2 P=0,Z=2 不稳定,绘制奈氏曲线,Z=P-N,试判定闭环系统稳定性 解：,=-,=,=,GH平面,(-1,j0),例2：,N=0，不包围, j0点 P=0，Z=N-P=0,绘制奈氏曲线,作增补奈氏曲线, 闭环稳定,例3: 绘制下列系统的奈氏曲线,其中： (a) z=1,p=2 (b) z=2,p=1. 分别讨论系统的稳定性,解:,(a): z=1

14、,p=2.,相频及幅频特性分别为：,E,A,D,B,C,Nyquist Path in s-plane,Contour on GH(s) plane,Case (b): z=2,p=1.,The magnitude and phase may be written directly is,Asymptotic values of yield:,E,A,B,D,C,Nyquist Path in s-plane,Contour on GH(s) plane,负穿越 在乃氏图上，开环频率特性，从上半部分穿过负实轴的 段到实轴的下半部分，称为正穿越；开环频率特性从下半部穿过负实轴的 段到实轴的上半部

15、分，称为负穿越；起始于（或终止于） 段的负实轴的正、负穿越称为正负半穿越；,补充：实用奈氏判据 若开环系统有q个 极点位于s右半平面，则当:0时，穿越段的次数 ，则闭环稳定，否则不稳定。（化数包围圈数为穿越次数） 穿越次数的计算按下定义： 半穿越 正穿越 负穿越 记法： 统计：,GH平面,例4：,解：,稳定,例5： 如图所示的乃氏曲线中，判别哪些是稳定的，哪些是不稳定的。,解：,所以系统稳定,所以系统不稳定,所以系统不稳定,所以系统稳定,所以系统不稳定,所以系统稳定,6.4.4.奈氏判据的应用问题 1.Minimum-phase system 最小相位系统的稳定性判别 最小相位系统右半s平面无

16、开环极点。 最小相位系统又称开环稳定系统。 奈氏判据应用于最小相位系统时 P=0 Z 才有稳定 只需判断奈氏曲线是否包围, j0点，包围则不稳定，不包围则稳定。,因奈氏曲线包围(-1, j0)点可判定系统不稳。,=,=,GH平面,(-1, j0),例6：,2. 利用奈氏判据确定稳定系统的可变参数取值范围 （象劳斯判据一样） 利用奈氏曲线穿过, j0点来确定。 例7：,求Kp的取值范围（Kp ）,解：,据奈氏判据，稳定的p：,3. 具有迟延环节的系统稳定性分析 设：,模相等, 的相角等于 的相角减去 或者说顺时针转动 。可先作出 的奈氏曲线，再选若干点 ，顺时针转动 得到,注： 值越大则转动角度

17、 越大。,解：绘制时的奈氏曲线。 分析： 当，奈氏曲线不包围, j0点，稳定； 当2，奈氏曲线穿过, j0点，临界稳定； 当4，奈氏曲线包围, j0点，不稳定。 可见越大，系统变化越不易稳定。,例8：,求：时的奈氏曲线。,jIm,Re,=0,=2,=4,(-1, j0),GH平面,6.4.5 广义频率特性及其应用 奈氏轨迹包围了整个s右半平面，所以可用奈氏曲线判系统的绝对稳定性，若将奈氏轨迹包围的区域扩大，则可用来判别系统的相对稳定性。 广义奈氏轨迹： BOA折线及半径的右半圆弧 广义奈氏曲线： 广义奈氏轨迹在GH平面的映射,B,0,A,广义奈氏轨迹,-m,衰减指数,广义频率特性：,广义奈氏判

18、据： 若Gss 有P个极点位于s平面上具有给定的m值的射线右侧，而对应的GH平面上的广义频率特性曲线Gm,jHm,j在从变化时，逆时针包围, j0点的次数为N，则当N=P时，闭环任一点衰减指数都大于给定的m值，如果P=0，而曲线GjHj恰好通过, j0点，则闭环系统有一对复极点的衰减指数mk恰好等于给定的m值。,例9：,解：,令通过（-1, j0）点，有,6.5 频率特性函数的对数坐标图绘制 6.5.1 基本概念 1. 优点: 对传递函数取对数，将指数曲线化为直线 2. 两类对数坐标图： 伯德图和幅相曲线图 伯德图包括2部分： 幅频特性曲线图和相频特性曲线图； 其中： (频率)轴刻度为对数坐标

19、 。 幅相曲线图 用对数坐标的幅值为纵坐标相角为横坐标绘制的曲线。,对数坐标系,0db,20db,40db,-20db,-40db,L(),-20,积分环节L(),0db,20db,40db,-20db,-40db,L(),+20,微分环节L(),0db,20db,40db,-20db,-40db,L(),+20,8db,惯性环节L(),0db,20db,40db,-20db,-40db,L(),+20,-8db,一阶微分L(),0db,20db,40db,-20db,-40db,L(),0.1,1,10,100,-40,振荡环节L(),0db,20db,40db,-20db,-40db,L(

20、),0.1,1,10,100,40,二阶微分L(),6.5.2 对数幅相图图示法 Steps: first, plot the Bode diagram to get L、 next, plot the magnitude-phase diagram. 作法：可先作伯德图得L、 ， 再作对数幅相图,6.5.3 Plot the Bode diagram 绘制Bode图的步骤： 1. 将整理成典型环节乘积形式； 2. 找出各环节的转角频率，并从大到小排列； 3. 画L渐近线，从左至右，每遇一个转角频率便改变斜率，如遇一阶惯性 则dBdec，遇 ，为4dBdec。,4. 画精确曲线：即在转角频率处

21、对渐近线修正对一阶环节：在转角频率处-3db，在左右一倍频处-1db。 对二阶环节按图5-1修正 5. 计算相频特性值： 取若干点，N。计算各i值 i ：分子因式相角和; :分母因式相角和 6. 连接各i，描成曲线。,例1 : 绘制如图所示单位反馈系统伯德图，其中K=500,-,R,C,解：,将传函写成伯德（时间常数）形式,Step 1: 计算转折频率,低频段：,确定二阶环节的阻尼比和无阻尼振荡频率,Step2: 确定绘制伯德图的频率范围.,由此的，本系统中的转折频率点为: 2rad/s,10rad/s, 和 20rad/s. 另赠益 环节为,Step3: 绘制各典型环节的幅频特性渐进线,1

22、rad/s (积分),2 rad/s (一阶比例微分),10 rad/s (二阶振荡环节),20 rad/s ( 惯性环节),Gain 0.5 (-6db),Step 4: 典型环节综合,+20db/dec,-20db/dec,-40db/dec,-20db/dec,Step5：绘制修正点,Step6：完成幅频特性曲线,Step8：相频特性合成,10,-1,10,0,10,1,10,2,10,3,-300,-200,-100,0,Step7: 绘制相频特性渐进线,例2 :绘制下列开环传递函数伯德图,解：,传递函数由一个比例，一个比例微分，一个惯性和一个积分环节组成.,Step1: 计算转折频率

23、点：系统转折频率点如下,低频段：,Step 2: 确定绘制频率范围. 所有的频率点位于1-10rad之间，故绘制范围为,Step： 绘制幅频特性渐进线.,Step 4:将所有渐进线相加.,Step 5：绘制修正点,Step 6：完成幅频特性曲线的绘制,Step 7：绘制相频特性渐进线.,Step 8：相频特性曲线合成,G(s),例题3：绘制 的对数曲线。,解：,对数幅频：低频段：20/s 转折频率：1 5 10 斜率： -40 0 -40 修正值：,对数相频：相频特性的画法为：起点，终点，转折点。环节角度：,开环对数曲线的计算,0db,20db,40db,-20db,-40db,L(),5,-

24、90,-180,对数幅频：低频段：20/s 转折频率：1 5 10 斜率： -40 0 -40 修正值：,-114.7,-93.7,-137.5,开环对数曲线的绘制,2）转角频率 3）画渐近线 从环节至环节 4）修正曲线 在转角频率处-3db 5）计算 画， 如1=-210,解： 1）,6.5.4 Minimum phase system (最小相位系统) and non-minimum phase system(非最小相位系统） Definition（定义）： 最小相位系统开环传函零极点不在右半平面。 非最小相位系统 有开环传函零极点在右半平面。 之所以称最小相位系统，顾名思义相位变化最小。

25、 例： 两者幅频特性相同，但相频特性不同。,-90,0,0,-180,L() (db),(),L1=L2,1(),2(),对于最小相位系统的判别 看开环零极点； 看时 相角极限 若 则为最小相位系统，否若则为非最小相位系统。 上例：,含延迟环节的系统是典型非最小相位系统。 非最小相位系统含有较大相位滞后，很难控制。所以非最小相位系统是我们所不期望的。但是计算机控制系统常常是非最小相位系统，使我们不得不面对它。,6.6 Bode Diagram Analysis for the Control system (控制系统的伯德图分析) 6.6.1 Stability, Gain and Phase

26、 Margins (控制系统相对稳定性及其判别) 劳斯判别，奈氏判据只能判别系统的绝对稳定性，实际中需要知道稳定的深 度 相对稳定性(relative stability)。 一般要求系统不但绝对稳定而且有一定的稳定裕量。 稳定裕量常用 表达 用奈氏图和伯德图均可看出两种裕量，Bode图更直观。,增益稳定裕量,相位稳定裕量,相位裕量Phase Margin (PM),c 剪切频率，截止频率， 增益穿越频率(Gain crossover point),奈氏图中与单位圆G的交点 伯德图中与L的交点 增益裕量Gain Margin(GM),GM，PM常作为控制系统的频域设计指标。 GM，PM大表明相

27、对稳定性好,但响应速度低。 GM，PM小表明相对稳定性差,但响应速度高。 过大或过小都不好，较好的经验值为：,GM和PM分别定义，所以两者间无固定的比例关系 ，PM大未必GM大 ，PM小未必 GM小 ，有时恒有GM= ，如有些惯性环节 ；有时没有PM值，如迟延环节。,奈氏图,伯德图,稳定闭环系统的GM和PM,c,PM,PM0,c,GMb0,PM,g,jIm,Re,L(),(),0,-180,0,Kg1,1,奈氏图,伯德图,不稳定闭环系统的GM和PM,c,PM,PM0,c,GMb0,PM,g,jIm,Re,L(),(),0,-180,0,Kg1,M1,M时，收敛于（-1，j0）,M0时，收敛于原

28、点,6.7.4 等N圆（等圆） 闭环相频特性函数。,(利用正切函数的差角公式),此式说明等N轨迹在G(s)平面形成圆簇。由图可见等N圆均通过(-1, j0)和原点，其圆心在 ，半径为 。从G(j)曲线与等N圆簇线的交点可确定W(j)的tg()，=主值k180，是多值函数。,jI(),R(),=20,=30,=40,=60,=-20,=-30,=-40,=-60,=80,=120,=-80,=-120,-2,0,-1,6.7.5 利用等M圆和等N圆求闭环频率特性,对于单位反馈系统，可直接利用等M圆和等N圆由奈氏图G(j)求闭环频率特性W(j)。具体作法为： 1. 将G(j)曲线叠加在等M圆线图上, 读取G(j)与等M圆的交点数据i, M(i), 1