平行四边形的判定（23）

1、平行四边形的判定,定义：,1、平行四边形对边,分别相等,分别相等,2、平行四边形对角,分别相等，邻角互补,3、平行四边形对角线,互相平分,平行四边形的性质,两组对边分别平行的四边形是平行四边形。, 性质：,平行四边形的两组对边分别相等,两组对边分别相等的四边形是平行四边形。,平行四边形两组对角分别相等,两组对角分别相等的四边形是平行四边形。,平行四边形对角线互相平分,对角线互相平分的四边形是平行四边形。,它的逆命题：,它的逆命题：,它的逆命题：,平行四边形判定定理,1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。,ABCD，ADBC（已知）,数学语言表示为：,四边形ABCD是平行四边形 （两组对

2、边分别平行的四边形 是平行四边形。）,学习了平行四边形后，余刚同学回家用硬纸条钉制了一个平行四边形。,请你帮忙,问：凭什么确定这四边形就是平行四边形呢？,猜想：两组对边分别相等的四 边形是平行四边形。,已知：如图，在四边形ABCD中，AD=CB，AB=CD,求证：四边形ABCD是平行四边形。,证明：连结AC,ABC CDA (SSS),1=2，3=4,1,2,3,4, ABCD， ADCB,四边形ABCD是平行四 边形 (平行四边形定义),判定定理： 2、,平行四边形判定定理：,3、 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。, A= C， B= D （已知）,数学语言表示为：,四边形ABCD是平

3、行四边形 （两组对角分别相等的四边形是平行四边形。）, ,4、对角线互相平分的四边形是平行四边形。,已知：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，并且 AO=CO，BO=DO。,求证：四边形ABCD是平行四边形。,证明：在AOB和COD中, AOB COD (SAS),AB=CD,同理 ： AD=CB,四 边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四 边形是平行四边形。）,你能根据上述判定定理证明,平行四边形判定定理 ：,1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（定义）,平行四边形的判定方法（P87）,2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（判定定理）,4、对角线互相平分的四

4、边形是平行四边形。 （判定定理）,3、两组对角分别相等的四边形是平行四边形（判定定理）,例1： 已知：如图 ，E、F是平行四边形ABCD对角线AC 上的两点，并且 AE=CF。 求证：四边形BFDE是平行四边形。,证明：连结BD，交AC于点O,四边形ABCD是平行四边形,AO=CO ，BO=DO,AE=CF,EO=FO,BO=DO,四边形BFDE是平行四边形 (对角线互相平分 的四边形是平行四边形),O,延长线,上的两点,且E.F是OA.OC的中点.,上的两点,且DEOA.BFOC.,某同学说：“只要给我一把尺，我就能判断 一个四边形是否为平行四边形。” 请你说出该 同学是怎样判断的。,是非题

5、 1、有三个角是直角的四边形是平行四边形,2、有两组对边分别相等的四边形是平行四边形,3、两条对角线相等的四边形是平行四边形,4、任意相邻两个角都互补的四边形是平行四边形,5、一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形,6、有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形,( ),( ),( ),( ),( ),( ),在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上两点，且，请添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形。,通过了本节课学习, 你有哪些收获?,将一根木棒从AB平移到DC，AB与DC之间的位置关系、数量关系？,四边形ABCD是什么样的图形？,猜测：一组对边平行且

6、相等的四边 形是平行四边形,将一根木棒从AB平移到DC，AB与DC之间的位置关系、数量关系？,四边形ABCD是什么样的图形？,猜测：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,已知：四边形ABCD中 ABCD， ABCD,求证：四边形ABCD是平行 四边形,证明：连接BD,判定方法（5）(P88),一组对边平行且相等（记作：“ ”） 的四边形是平行四边形,=,归纳：平行四边形判定方法, ABCD,(1) ABCD, BCAD,(2) AB=CD，BC=AD,(4) A= C ， B= D,(3) AO=OC, BO=OD,(5) ABCD,AB=CD,A,B,C,D,O,两组对边分别相等,1、什么

7、叫三角形的中线？有几条？,2、三角形的中线有哪些性质？,A,B,C,连结三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线.,三角形的每一条中线把三角形的面积平分. 三角形的中线相交于同一点.,E,P89连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。,思考：,1、一个三角形有几条中位线？,2、这三条中位线把三角形分成几个三角形？,D,DE是ABC的中位线,定义：,三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？,思考：,中位线是两条边中点的连线，而中线是一个顶点和对边中点的连线。,三角形的中位线具有怎样的性质呢？,即DE与BC有什么样的 位置关系和数量关系？,1、如图在等边ABC中，AD=BD，AE=EC，,AD

8、E是什么三角形？,DE与BC有什么样的位置关系和数量关系？,等边三角形,请思考！,一般的三角形的中位线与第三边有什么样的位置关系和数量关系呢？,DE是ABC的什么线？,中位线,猜想：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。,如何证明？,A,B,C,D,E,F,DE=EF 、AED=CEF 、AE=ECADE CFE,证明：如 图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 结CF.,AD=FC 、A=ECF ABFC,又AD=DB BD CF且 BD =CF 所以 ，四边形BCFD是平行四边形,还有另外的证法吗？,DFBC，DFBC,又,即DEBC,P88例4已知在ABC 中，DE是AB

9、C 的中位线 求证：DE BC，且DE= BC 。,请看教材P88的证法,P88已知：如图，点D、E分别是ABC的边AB、AC的中点，求证DEBC且DE= BC,B,C,A,D,E,F,证明：延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF.,四边形ADCF是平行四边形,四边形DBCF是平行四边形,AE=EC,CFDA，CF=DA,CFBD，CF=BD,DFBC，DF=BC,又DE= DF,DEBC且DE= BC,三角形的中位线的定理（P89）,三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半,练一练,1.ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， BC=10cm，则DE=_.,A,E,D,C,B,

10、(1),2. ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，A=50, B=70,则AED=_.,5cm,60,应用：,例1：口答 （1）三角形的周长为18cm，这个三角形的三条中位线围成三角形的周长是多少？为什么？,（2）如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的中点，且AD=10cm，那么OE= cm。,5,9cm,（3）如图：如果AD= AC，AE= AB， DE=2cm，那么BC= cm。,（4）在ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是 。,8,11,作业：新支点P61 第二课时,再见!,两组对边分别相等,复习,1、三角形

11、中位线的定义,2、三角形中位线定理,连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半,1、什么叫三角形的中线？有几条？,2、三角形的中线有哪些性质？,A,B,C,连结三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线.,三角形的每一条中线把三角形的面积平分. 三角形的中线相交于同一点.,例2：如图，点D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点， 求证：（1）A= DEF （2）四边形AFED的周长等于AB+AC,思考：,（1）图中有几个平行四边形？,（2）这四个三角形有什么关系？,例3：已知，如图AD是ABC的中线，EF是中位线， 求证：AD与E

12、F互相平分,例4：求证顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。,已知：E、F、G、H分别是四边形ABCD中AB、 BC、CD、DA的中点。 求证：EFGH是平行四边形。,任意四边形四边中点连线所得的四边形一定是平行四边形。,例5：如图，任意四边形ABCD，E、F分别是AD、BC的中点，试说明EF与两条对角线AC、BD有什么关系。,M,任意四边形一组对边中点的连线段小于两条对角线和的一半。,例6：已知，四边形ABCD中，F是AB的中点，E是CD的中点， 求证：EF （AD+BC）,G,（1）点G不在EF上时,（2）点G在EF上时,如图，l1 / l2 ， 线段AB/CD/EF, 且点A、

13、C、E在l1上，B、D、F在l2上，则AB、CD、EF的长短相等吗？为什么？,猜 一 猜,夹在两平行线间的平行线段相等。（补充）,如图，l1 / l2 ，点A、C、E在l1上，线段AB、CD、EF都垂直与l2 ，垂足分别为B、D、F，则AB、CD、EF的长短相等吗？为什么？,一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。（P89）,平行线间的距离处处相等（P89）,它与点与点的距离、点到直线的距离的联系与区别,如图，在平行四边形ABCD的一组对边AD、BC上截取EFMN，连接EM、FN，EM和FN有怎样的关系？为什么？,巩固练习,课后巩固 1（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是 cm 2（填空）已知：ABC中，点D、E、F分别是ABC三边的中点，如果DEF的周长是12cm，那么ABC的周长是 cm,270,24,小结,1、三角形中位线的定义,2、三角形中位线定理,连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,三角