空间点直线平面之间的位置关系

1、平面,桌面,海平面,今后，一般用A、B、C表示点，a、b、c表示线， 表示面,1平面,理解：平面是无限延伸的，无大小，无厚薄之分， 不可度量,几何画法：通常用平行四边形来表示平面,符号表示：通常用希腊字母 等来表示，如：平面 也可用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如：平面AC,判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打 ，否则打 . 1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( ) 2、平面有边界； ( ) 3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( ) 4、平面是无限延展、没有厚度的 ； ( ) 5、一个平面可以把空间分成两部分. ( ),巩固:,平面的表示,两个相交平面的画法

2、和表示,平面和平面相交于一条直线a,被遮住的部分画虚线,平面平面=直线a,平面的表示,直线和平面都可以看成点的集合,“点P在直线上l ”,“点A在平面内”,用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线与平面的关系,“点P在直线l 外”,“点A在平面外”,直线 l 在平面内，或者说平面经过直线 l,直线 l 在平面外.,2平面的基本性质,公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内,作用:1、判定线在面内 2、判定点是否在平面内,思考1:把一根木条固定在墙面上需要几根钉子?,符号语言表述：,直线a在平面a内,记作：a a,直线a在平面a外,注 ：空间中线与面的位置关

3、系,强调: 空间中点与线(面)只有和 关系 空间中线与面只有 与 的关系,条件结论,推导符号“”的使用：,思考2:固定一扇门需要几样东西？,回答:确定一个平面需要什么条件?,公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.,作用:1、确定一个平面 2、证明点、线共面问题.,如何理解？,推论1.一条直线和直线外一点确定一个平面。,推论2.两条相交直线确定一个平面。,推论3.两条平行直线确定一个平面。,公理2.不共线的三点确定一个平面.,确定一平面还有哪些方法？,应用:过空间中一点可以做几个平面？ 过空间中两点呢？三点呢？,结论：过空间中一点或两点可以做无数个平面，过空间中不共线的三点只能做

4、一个，否则有无数个。,思考3:如图所示，两个平面、,若相交于一点,则会发生什么现象?,P,公理3 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线,两面共一点则两面共一线且点在线上,作用:用于证明点在线上或多点共线.,例题,例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.,解：1） A ，B ， =l，a =A，a =B,2) a,b,=l,al=P, bl=P, ab=P,2根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形,3、一个平面把空间分成_部分，两个平面把空间最多分成_部分，三个平面把空间最多分成_部分 4、正

5、方体中，试画出过其中三条棱的中点P,Q,R的平面截得正方体的截面形状,2.1.2,空间中直线与直线之间的位置关系,两条直线的位置关系,思考1：同一平面内两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？,C,两条直线的位置关系,定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.,异面直线的图示,理解：1、两条直线永不具备确定平面的条件，因此异面直线既不相交也不平行；注意把握异面直线的不共面性 2、不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线,空间中的直线与直线之间有三种位置关系：,不同在任何一个平面内，没有公共点,同一平面内，有且只有一个公共点；,同一平面内，没有公共点；,如图是一个正方

6、体的表面展开图,如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对?,探究,直线EF 和直线HG,直线AB 和直线CD,直线AB 和直线HG,答：3对,平行直线,如图, 在长方体ABCDABCD中, BBAA，DDAA，那么BB与DD平行吗 ?,观察,答：平行,平行直线,公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.,空间中的平行线具有传递性,如果a/b，b/c，那么a/c,三条平行线共面,三条平行线不共面,平行直线,已知三条直线两两平行，任取两条直线能确定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？,三条平行线共面,三条平行线不共面,问题,平行直线,例2 如图，空间

7、四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形.,在上例中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH 是什么图形？,探究,答：四边形EFGH是菱形,等角定理,在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行， 那么这两个角相等或互补”空间中，结论是否仍然成立？,思考1,如图,四棱柱ABCD-ABCD的底面是平行四边形，ADC与ADC, ADC与BAD的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ?,思考2:,ADC=ADC,ADC+BAD=1800,如图，在空间中AB/ AB，AC/ AC，你能证明BAC与BAC 相等吗

8、？,思考3,等角定理,定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.,等角定理推论：空间中如果两个角的两边分别对应平行且方向相同，那么这两个角相等.,异面直线所成的角,思考,在同一平面内两条相交直线形成四个角，常取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系，这个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条异面直线的位置关系呢？,a,平面内两条相交直线,空间中两条异面直线,异面直线所成的角,已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线 ，把 与 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角,异面直线所成的角,我们规定两条平行直线的夹角为0，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什

9、么？,如果两条异面直线所成角为900，那么这两条直线垂直.,探究,记直线a垂直于b为：ab,异面直线所成的角,探究,（1）在长方体 中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？,（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？,（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？,垂直,异面直线所成的角,例3 已知正方体 ,（1）哪些棱所在直线与直线 是异面直线？,（2）直线 和 的夹角是多少？,（3）哪些棱所在的直线与直线 垂直？,解:（1）由异面直线的定义可知，,棱 所在的直线分别与直线 是异面直线,（2）由 可知，,为,异面直线 与 的夹角， ， 所以 与

10、 的夹角为 ,在如图所示的长方体中，AB= ，且 AA1=1，求直线BA1和CD所成角的度数.,30O,练习1,如图，在四面体ABCD中，E，F分别是棱AD，BC上的点,且 ，已知AB=CD=3， , 求异面直线AB和CD所成的角.,练习2,2.1.3,空间中直线与平面之间的位置关系,直线与平面,思考？,1）一支铅笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种关系？,2）如图，线段AB所在直线与长方体ABCD-ABCD的六个面所在平面有几种位置关系？,直线与平面,直线和平面的位置关系有且只有三种,(1)直线在平面内,有无数个公共点,a,记为：a,直线与平面,(2)直线与平面相交,有且只有一个公

11、共点,a,记为：a=A,A,直线与平面,（3）直线与平面平行,没有公共点,a,记为：a/,直线与平面,直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,记为：a,a,a/,a,a=A,A,或,直线与平面,例1. 下列命题中正确的个数是 ( ) 1）若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l/ 2) 若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都平行 3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 4）若直线 l与平面平行，则 l与平面内的任意一条直线都没有公共点.,(A） 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3,B,平面与平面之间的位置关系,2.1.4,平面与平面之间的位置关系,思考,（1）拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？,（2）如图，围成长方体ABCD-ABCD的六个面，两两之间的位置关系有几种？,两个平面的位置关系,两个平面的位置关系有且只有两种 两个平面平行没有公共点 两个平面相交有一条公共直线,分类的依